范奎武

海軍駐航天一院軍代表室，北京100076

愛爾蘭數(shù)學(xué)力學(xué)家哈密爾頓于1843年發(fā)明四元數(shù)，之后四元數(shù)用于描述剛體在三維空間中的姿態(tài)。描述剛體姿態(tài)的還有姿態(tài)角(歐拉—克雷洛夫角)和方向余弦矩陣。在建立飛行器運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，可以初步把它們看作是剛體?，F(xiàn)在四元數(shù)在飛行器捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中得到了廣泛使用。建立四元數(shù)與方向余弦矩陣之間的關(guān)系，描述剛體合成轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)與歐拉角之間的關(guān)系，推導(dǎo)出四元數(shù)微分方程，這是初學(xué)四元數(shù)時(shí)會(huì)遇到的3個(gè)難理解的問(wèn)題。以下將敘述并推導(dǎo)這些問(wèn)題。

1 四元數(shù)的定義與表示方法的簡(jiǎn)要回顧

四元數(shù)由1個(gè)實(shí)數(shù)單位和3個(gè)虛數(shù)單位組成

式中i，j，k是正交單位矢量，與平面內(nèi)的復(fù)數(shù)相似，可以用向量式、復(fù)數(shù)式、指數(shù)式、三角式及矩陣式等多種形式表示四元數(shù)。

定義四元數(shù)的范數(shù)為

于是，有

在定義了四元數(shù)之后，相應(yīng)地定義了相等與數(shù)乘、四元數(shù)之間的乘法。四元數(shù)乘法服從結(jié)合律，但不服從交換律，四元數(shù)的乘法和加法服從乘法對(duì)加法的分配律。文中用“?”表示四元數(shù)相乘。

與Λ標(biāo)量部分相同，向量部分反號(hào)的四元數(shù)λ0－λ稱為Λ的共軛四元數(shù)，記為Λ*=λ0－λ。

2個(gè)四元數(shù)的乘積的共軛四元數(shù)等于這2個(gè)四元數(shù)各自的共軛四元數(shù)以相反的順序相乘的乘積，即

上式可以推廣到2個(gè)以上四元數(shù)乘積的情況。

即

對(duì)規(guī)范化四元數(shù)，有Λ－1=Λ*。當(dāng)Λ≠0，P≠0時(shí)，有

同理可以推廣到n個(gè)四元數(shù)乘積的共軛四元數(shù)情況

2 用四元數(shù)描述剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

設(shè)起始時(shí)刻慣性坐標(biāo)系OIxIyIzI與體軸坐標(biāo)系OIxbybzb重合，A為剛體上的一點(diǎn)，位置向量r=OA，剛體繞過(guò)原點(diǎn)O的瞬時(shí)軸n轉(zhuǎn)過(guò)角度σ時(shí)，r變成新位置r1=OB，體軸坐標(biāo)系 OIxbybzb也轉(zhuǎn)到新位置，如圖1所示。

圖1

設(shè)在坐標(biāo)系OIxIyIzI中，向量r和r1的分量列陣分別是［x，y，z］T和［x1，y1，z1］T，r0是任意常數(shù)，定義由矢量r和r1生成的2個(gè)四元數(shù)

若令

結(jié)合圖1，可以證明有下面的關(guān)系式成立［1-2］

形如Λ?()?Λ*的算子稱為轉(zhuǎn)動(dòng)算子，它確定了繞瞬時(shí)軸n轉(zhuǎn)角為σ的轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)?/p>

所以轉(zhuǎn)動(dòng)變換Λ*?()?Λ給出了繞－n軸轉(zhuǎn)過(guò)角度σ的轉(zhuǎn)動(dòng)。

3 四元數(shù)與方向余弦矩陣的關(guān)系

按照四元數(shù)相乘的矩陣形式［1］，可以把(9)式寫成

這是一個(gè)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)前后，其在同一個(gè)坐標(biāo)系的投影與描述轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)之間的關(guān)系。實(shí)際上需要的是坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)前后同一個(gè)矢量在不同坐標(biāo)系的分量與描述轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)之間的關(guān)系，即方向余弦矩陣。

把坐標(biāo)系OIxIyIzI和OIxbybzb中坐標(biāo)軸上的單位矢量記為iI，jI，kI和ib，jb，kb，把它們對(duì)應(yīng)地看作是轉(zhuǎn)動(dòng)前后的矢量 r和 r1，設(shè) ib，jb，kb在坐標(biāo)系OxIyIzI中 的 投 影 分 別 為 ［ibxIibyIibzI］T，［jbxIjbyIjbzI］T，［kbxIkbyIkbzI］T則根據(jù)(9)和(10)式，有

設(shè)向量r在這2個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的投影分別是［xIyIzI］T，［xbybzb］T，則有

根據(jù)(11)式，把(12)式的左端化為

即從坐標(biāo)系Oxbybzb到OxIyIzI的坐標(biāo)變換矩陣是(13)式，這是解析表達(dá)的方法。

用向量r在OxIyIzI和Oxbybzb這2個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的投影［xIyIzI］T，［xbybzb］T生成四元數(shù)RI和Rb，即

則可得出

4 多次轉(zhuǎn)動(dòng)的合成四元數(shù)

如果剛體依次進(jìn)行2次轉(zhuǎn)動(dòng)，它們分別由四元數(shù)Λ1和Λ2表示(瞬時(shí)軸通過(guò)同一點(diǎn))，則有

這說(shuō)明剛體依次進(jìn)行由Λ1和Λ2表示的轉(zhuǎn)動(dòng)，等效于由四元數(shù)Λ2?Λ1確定的一次轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于多次轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，有

以垂直發(fā)射的飛行器為例，設(shè)由發(fā)射慣性系OxIyIzI繞OzI軸轉(zhuǎn)動(dòng)俯仰角 φ得到Ox1y1z1，再繞Oy1軸轉(zhuǎn)動(dòng)偏航角ψ得到Ox2y2z2，再繞Ox2軸轉(zhuǎn)滾動(dòng)角γ得到體軸系Oxbybzb，如圖2所示，則從發(fā)射慣性系到體軸系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為:

于是可以寫出合成轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)

其中n1，n2，n3分別是OzI，Oy1，Ox2軸上的單位矢量，這3個(gè)軸在發(fā)射慣性系OxIyIzI內(nèi)的方向余弦分別是［0，0，1］，［－sinφ，cosφ，0］，［cosφcosψ，sinφcosψ，－sinψ］，根據(jù)描述轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)的定義，得出合成轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)是:

可見，用這種順序相乘時(shí)，過(guò)程非常繁瑣。還有一種簡(jiǎn)便的方法，以三次轉(zhuǎn)動(dòng)為例，由(16)式得出

圖2 3次轉(zhuǎn)動(dòng)的示意圖

可以驗(yàn)證與(19)式的結(jié)果相同，但卻明顯化簡(jiǎn)了推導(dǎo)過(guò)程。因此，可以把繞相應(yīng)的坐標(biāo)軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)的合成四元數(shù)的確定方法簡(jiǎn)單記為:1)在每次的新坐標(biāo)系里列寫四元數(shù)，但虛部的單位還是最初的坐標(biāo)系內(nèi)的單位;2)相乘的順序是對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)動(dòng)的先后順序從左到右相乘，與合成轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣相乘順序正好相反。

對(duì)于多次轉(zhuǎn)動(dòng)的合成四元數(shù)求取情況［3］，第2種相乘順序能明顯簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程。文獻(xiàn)［4］中給出的有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理可以說(shuō)明這兩種相乘順序的理論依據(jù)。

5 四元數(shù)微分方程

方向余弦矩陣形式的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程是

寫成矩陣形式為

式中

是用坐標(biāo)系Oxbybzb相對(duì)OxIyIzI的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在坐標(biāo)系Oxbybzb中的投影［ωxb，ωyb，ωzb］T生成的反對(duì)稱矩陣，剛體的姿態(tài)在隨時(shí)間變化，所以描述姿態(tài)的四元數(shù)也是時(shí)間的函數(shù)，因此，存在四元數(shù)微分方程。

文獻(xiàn)［1-2］給出了根據(jù)四元數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)其微分方程的方法。下面介紹利用方向余弦矩陣形式的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程及四元數(shù)與方向余弦矩陣之間的關(guān)系推導(dǎo)四元數(shù)微分方程的方法［5］。由(13)式，得出

于是，再利用(21)式，就可以得出

把上式中方向余弦矩陣的元素用四元數(shù)表示，整理得

由此得出對(duì)λ0的微分方程

把方程組(22)式中的第2，3，4式分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，類似前面推導(dǎo)過(guò)程得出

寫成矩陣形式為

在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)體角速度直接由速率陀螺測(cè)得，若把采樣時(shí)刻內(nèi)運(yùn)動(dòng)體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度視為常量，則描述轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的方向余弦矩陣微分方程和四元數(shù)微分方程都有解析解，作者用拉普拉斯變換法的方法求出了具體表達(dá)式，見文獻(xiàn)［3］。

6 小結(jié)

本文給出了方向余弦矩陣與四元數(shù)之間關(guān)系的推導(dǎo)方法，證明了合成轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)的求取方法，介紹了四元數(shù)微分方程的推導(dǎo)方法。四元數(shù)在描述剛體姿態(tài)、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形、人造地球衛(wèi)星軌道、彈性力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)、偏微分方程等領(lǐng)域都得到了應(yīng)用。當(dāng)前四元數(shù)理論與方法仍在發(fā)展，已經(jīng)擴(kuò)展到八元數(shù)并在相關(guān)領(lǐng)域得到應(yīng)用。

［1］ 以光衢.陀螺理論與應(yīng)用［M］.北京航空航天大學(xué)出版社，1990，11.

［2］ 秦永元.慣性導(dǎo)航［M］.科學(xué)出版社，2006，5.

［3］ 范奎武，劉竹生.水下彈射模型彈彈道復(fù)現(xiàn)算法［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2007，(1):1-5.

［4］ 賈書惠.剛體動(dòng)力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1987.

［5］ И.Ф.Кавинов.Инерциальная навигация в околоземном пространстве［M］.машиностроение，1988.

［6］ 勃拉涅次，等.梁振和，譯.四元數(shù)在剛體定位問(wèn)題中的應(yīng)用［M］.國(guó)防工業(yè)出版社，1977，8.

［7］ 耿長(zhǎng)福.航天器動(dòng)力學(xué)［M］.中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2006，9.