王 磊

（1.遼寧工程技術大學基礎教學部，遼寧葫蘆島 125105；2.遼寧工程技術大學理學院，遼寧阜新 123000）

由于在社會科學以及工程領域的運動問題研究中模糊性的大量存在，模糊微分方程的研究越來越受到關注［1－5］。而模糊線性微分系統(tǒng)（模糊微分方程組）的研究則是近幾年被提出的［6］；文獻［7］利用λ－水平截集研究模糊線性微分系統(tǒng)初值問題；文獻［8］從測度論的角度研究了一階模糊線性微分系統(tǒng)解的結構；文獻［9－10］將λ－水平截集表示成復數(shù)，從而把模糊線性微分系統(tǒng)轉化成經(jīng)典的常微分線性系統(tǒng)，分別研究了模糊初值和系數(shù)矩陣為模糊矩陣2種情形下系統(tǒng)的解；文獻［11］利用一種新的擴展原理研究了一階微分方程組模糊初值問題；文獻［12］利用特征值和特征向量法研究了由結構元法線性生成的模糊線性微分系統(tǒng)的解析解。

以上方法都是求模糊微分系統(tǒng)的解析解，然而由微分方程理論可知只有少數(shù)的微分系統(tǒng)才有解析解，所以有必要研究模糊微分系統(tǒng)的近似解析解。因此，本文利用結構元方法將模糊微分系統(tǒng)轉化成分明的線性微分系統(tǒng)，進而利用變分迭代法［13－14］給出方程的近似解析解。

1 預備知識

定義1 設E為實數(shù)域R上的模糊集，若隸屬函數(shù)E（z），z∈R滿足：①E（0）＝1；②在區(qū)間［－1，0）上E（z）是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1］上是單降左連續(xù)函數(shù)；③ 當－∞＜z＜－1或 1＜z＜＋∞時，E（z）＝0，且E（－z）＝E（z），稱E為R上的對稱模糊結構元［15］。

定理1 設E是R上的任意模糊結構元，又設函數(shù)f（t）在區(qū)間［－1，1］上是單調有界的，＾f（t）是f（t）的延拓集值函數(shù)，則＾f（E）是R上有界閉模糊數(shù)，且＾f（E）的隸屬函數(shù)為E（f－1（t）），這里f－1（t）是f（t）關于變量t和y的輪換對稱函數(shù)（若f（t）是連續(xù)嚴格單調的，則f－1（t）是f（t）的反函數(shù)）［15］。

定義2 設二元函數(shù)g（t，y）＝f（t）＋ω（t）y，其中f（t）和ω（t）在T?R上有界，且ω（t）非負，易知函數(shù)g（t，y）關于y在［－1，1］上單調有界，對于給定的對稱結構元E，稱（1）式為模糊結構元E線性生成的關于變量t的模糊值函數(shù)［15］，即

對于給定t∈T，f（t）和ω（t）≥0都為常數(shù)，則（1）式為由模糊結構元E線性生成的模糊數(shù)。

定理2 設模糊值函數(shù)~x（t）由對稱模糊結構元E線性生成，即~x（t）＝f（t）＋ω（t）E，且ω（t）非負，若函數(shù)f（t）和ω（t）可導［15］，則

定理2表明，對于模糊結構元E線性生成的模糊值函數(shù)~x（t），其導函數(shù)也是由結構元E線性生成的模糊值函數(shù)。

2 模糊線性微分系統(tǒng)的變分迭代法

2.1 線性生成的模糊線性微分系統(tǒng)

線性微分系統(tǒng)：

其中，A＝（aij）n×n∈Rn×n；），…，。

其中，ui（t）、vi（t）為未知函數(shù)，且vi（t）≥0，有

將方程（4）、（5）帶入系統(tǒng)（3），得2個分明的線性微分系統(tǒng)：

和

其中，c＝（c1，c2，…，cn）T；d＝（d1，d2，…，dn）T；A′＝（a′ij）n×n（i，j＝1，2，…，n）；ω（t）＝（ω1（t），ω2（t），…，ωn（t））T；φ（t）＝（φ1（t），φ2（t），…，φn（t））T，且

于是，系統(tǒng)（3）的求解便轉化為對分明的線性微分系統(tǒng)（6）和（7）的求解，文獻［12］利用特征值和特征向量法［9］給出了系統(tǒng)（6）和（7）的解。然而，大多數(shù)微分方程往往很難或不可能獲得其解析解，有時即使能求出解析解，也因表達式過于復雜而不實用，因此下面利用變分迭代法給出系統(tǒng)（6）和（7）的近似解析解。

2.2 分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代法

為了說明變分迭代算法［13－15］的基本思想，考慮如下的非線性方程：

其中，L為線性算子；N為非線性算子；g（t）為已知的連續(xù)函數(shù)。利用變分迭代算法的思想為（9）式構造一個校正泛函如下：

其中，λ為廣義拉氏乘子，可用變分理論最佳識別；un（t）為初始近似解（可以包含待定常數(shù)或待定函數(shù)）為限制變分量，即＝0。

下面給出如下的一階分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代算法：

其中，y（t）＝（y1（t），y2（t），…，yn（t））T；g（t）＝（g1（t），g2（t），…，gn（t））T；B＝（bij）n×n∈Rn×n?？紤]系統(tǒng)（11）的第i個方程：

構造校正泛函如下：

其中，yi，n（t）表示第i個方程的第n次近似解。令上述校正泛函取駐值，有

于是，得駐值條件：

由常微分方程理論，廣義拉氏乘子λi可識別為：

于是系統(tǒng)（11）的第i個方程的近似解表示為：

令i＝1，2，…，n，得系統(tǒng)（11）近似解的變分迭代算法的矩陣為：

其中，Λ＝diag［b11，b22，…，bnn］。

于是，根據(jù)算法（18）求得系統(tǒng)（6）和（7）的近似解，進而求得原模糊系統(tǒng)（3）的模糊近似解。

3 算 例

例1 考查如下的模糊線性微分系統(tǒng)：

其中，E為三角模糊結構元。

解 根據(jù)前面討論，系統(tǒng)（19）可轉化為：

利用特征值和特征向量法［9］得系統(tǒng)（20）和（21）的解析解為：

于是系統(tǒng)（19）的模糊解為：

根據(jù)（18）式的變分迭代算法，進行6次迭代計算得系統(tǒng)（20）和（21）的近似解為（25）式、（26）式。其中分別表示u1（t）、u2（t）、v1（t）、v2（t）的近似值。

于是系統(tǒng)（19）的模糊近似解為（17）式。

取t∈［0，1］，近似解與精確解的誤差見表1所列。其中，u1（t）與（t）的誤差采用的計算公式為，其余類似。表1中的誤差反映出逼近效果較好。

表1 近似解與精確解的誤差

將t∈［0，1］進行10等分，圖1a給出了近似解＾u1（t）、＾u2（t）和精確解u1（t）、u2（t）的比較，圖1b給出了＾v1（t）、＾v2（t）和v1（t）、v2（t）的比較，反映出逼近效果較好，說明了變分迭代法的有效性。

圖1 例1近似解與精確解比較

例2 考察下面的捕食者－獵物模型［13］：

其中，E為三角模糊結構元。

解 利用特征值和特征向量法［9］得解析解：

由（18）式的變分迭代算法，進行6次迭代計算得近似解為（31）式、（32）式。將t∈［0，1］進行10等分，圖2給出了近似解和精確解的比較，進一步說明了變分迭代法的有效性。

圖2 例2近似解與精確解比較

4 結束語

本文利用結構元方法將模糊線性微分系統(tǒng)的模糊初值問題轉化成同解的分明線性微分系統(tǒng)的值問題，構造了求解分明線性微分系統(tǒng)的變分迭代法，給出了模糊線性微分系統(tǒng)的模糊近似解。實際計算中可根據(jù)逼近精度需要選擇迭代次數(shù)。

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