李 強(qiáng)

0 引言

鐵路電氣化改造的逐步實(shí)施，武廣、鄭西、京滬等客運(yùn)專線的開通，標(biāo)示著中國(guó)鐵路正快速邁入電氣化時(shí)代。電氣化鐵路雖然在提高運(yùn)行速度、增加運(yùn)力等方面具有明顯的經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益，但也同時(shí)帶來了其他不利影響，其中，交-直型、大功率、單相整流電力機(jī)車所引起的諧波污染對(duì)公共電網(wǎng)及鐵路沿線設(shè)備帶來了嚴(yán)重危害[1～3]，必須采取措施對(duì)其進(jìn)行有效治理，而實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確的諧波檢測(cè)是諧波治理的前提和主要依據(jù)。

目前，用于諧波檢測(cè)的算法主要有：傅里葉變換、瞬時(shí)無功功率理論、小波變換、Hilbert-Huang變換、Prony 算法。傅里葉變換計(jì)算量大、實(shí)時(shí)性不夠好、易產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)；基于瞬時(shí)無功功率理論的方法不能對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間和頻率聯(lián)合檢測(cè)；小波變換無法單獨(dú)提取任意頻次的諧波信號(hào)，且小波基系數(shù)受噪聲影響大；Hilbert-Huang變換可以得到諧波的時(shí)頻分布，但應(yīng)用中存在端點(diǎn)效應(yīng)，需做處理[4]。Prony 算法受噪聲干擾、參數(shù)選擇影響較大[5～6]。

1989 年，Roy 和Kailath 提出了一種新的信號(hào)參數(shù)提取算法—ESPRIT（Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques）算法，它基于子空間技術(shù)，把待估計(jì)信號(hào)分解成信號(hào)子空間和噪聲子空間，通過信號(hào)空間估計(jì)出信號(hào)參數(shù)[7～8]。具有優(yōu)良的抗噪聲性能、高分辨率、良好的參數(shù)適應(yīng)性。ESPRIT 的思想是通過求旋轉(zhuǎn)算子φ得出信號(hào)的衰減和頻率，再由最小二乘（Least Square，LS）或總體最小二乘（Total Least Square，TLS）得出幅值和相位[9]。

TLS - ESPRIT（Total Least Square - Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques）是振蕩衰減正弦信號(hào)參數(shù)辨識(shí)、諧波恢復(fù)的有效工具[8]。目前已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)陣列信號(hào)、語音信號(hào)、生物信號(hào)處理等場(chǎng)合，也正逐漸被引入到電力系統(tǒng)領(lǐng)域，如電壓閃變參數(shù)提取、低頻振蕩模式分析[8～11]。本文將TLS-ESPRIT 算法引入到電氣化鐵路諧波檢測(cè)中，從而為治理電氣化鐵路諧波污染奠定基礎(chǔ)。

1 TLS-ESPRIT 算法[8，11]

設(shè)信號(hào)x(n)由p 個(gè)幅值按指數(shù)函數(shù)變化的正弦分量和白噪聲組成，在采樣時(shí)刻n，可表達(dá)如下：

ESPRIT 算法可由構(gòu)造觀測(cè)數(shù)據(jù)自相關(guān)和互相關(guān)矩陣、進(jìn)行特征值、奇異值分解來實(shí)現(xiàn)，具體過程參見文獻(xiàn)[9]和[12]。由于該方法計(jì)算量較大，本文將通過由采樣數(shù)據(jù)序列構(gòu)造Hankel 矩陣來實(shí)現(xiàn)該算法，計(jì)算簡(jiǎn)單、快捷、易于實(shí)現(xiàn)。

設(shè)有n 個(gè)采樣數(shù)據(jù)序列x(0)，x(1)，x(2)，…x(n-1)，構(gòu)造r×m 階Hankel 矩陣如下：

式中，r＞p，m＞p；且滿足：r + m -1 = n。

對(duì)H 矩陣進(jìn)行SVD 分解，有：

式中，U 為r 階正交矩陣；∑為r×m 階對(duì)角陣，其對(duì)角元素由矩陣H 的奇異值作遞減排列得到；V為m 階正交矩陣，Vs、Vn分別與信號(hào)子空間和噪聲子空間對(duì)應(yīng)。

令Vs作式（4）分解：

則存在可逆陣P，使得[8，11]：

求出P 的特征值即可估計(jì)出各信號(hào)分量的衰減和頻率[11]，這可由總體最小二乘法（TLS）實(shí)現(xiàn)。

令K = [V1，V2]，對(duì)K 做SVD 分解，即K =，其中，將V3分塊成4 個(gè)p×p的子矩陣，有：

則式（5）的總體最小二乘解為

求得Ptls的特征值λi(i = 1,2,…p)，則式（1）信號(hào)中所包含的各正弦分量的衰減因子、頻率計(jì)算：

則式（1）中各信號(hào)分量的幅值、初相為

至此，信號(hào)分量的各參數(shù)均已求出。

2 評(píng)價(jià)指標(biāo)與計(jì)算步驟

2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

rms 反映了擬合模型輸出數(shù)據(jù)偏離原始采樣數(shù)據(jù)的程度，可作為擬合衡量指標(biāo)。無噪聲干擾下，其值越小，擬合效果越好，當(dāng)rms = 0 時(shí)，擬合曲線和原始曲線完全重合；有噪聲時(shí)，該值則與噪聲的均方差接近。

2.2 TLS-ESPRIT 計(jì)算步驟

TLS-ESPRIT 算法的完整實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）由測(cè)量、記錄裝置或時(shí)域仿真獲得采樣數(shù)據(jù)序列X = [x(0),x(1),x(2),…x(n-1)]。

（2）由式（2）構(gòu)造r×m 階Hankel 矩陣H。

（3）按照式（3）對(duì)H 進(jìn)行SVD 分解，并將右奇異向量V 分解成信號(hào)子空間Vs、噪聲子空間Vn。

（4）由式（4）分解Vs，得到矩陣V1、V2。

（5）由式（6），式（7）求得Ptls的特征值λi(i= 1,2,…p)，再按照式（8）求出各分量的衰減因子ai、頻率fi。

（6）根據(jù)式（9），式（10），求出各分量幅值ci、初相φi。

（7）由式（11）評(píng)價(jià)擬合結(jié)果、做輔助分析。

3 電氣化鐵路諧波

3.1 諧波產(chǎn)生原因

國(guó)內(nèi)電氣化鐵路采用工頻交流50 Hz三相供電單相用電，其牽引網(wǎng)供電電流為單相交流的電力牽引電流制，這種電流制在電力機(jī)車上將交流電降壓后整流以供應(yīng)直流牽引電動(dòng)機(jī)[2～4]。因此，當(dāng)三相電力系統(tǒng)向電氣化鐵路牽引負(fù)荷供電時(shí)，電力機(jī)車可看作是波動(dòng)性很大的大功率單相整流負(fù)荷，這種高壓?jiǎn)蜗喾蔷€性負(fù)載，將會(huì)產(chǎn)生大量諧波，并作為諧波源，注入電網(wǎng)中，造成系統(tǒng)波形畸變，嚴(yán)重影響供電質(zhì)量、輸電效率和用電設(shè)備的使用壽命。

3.2 電氣化鐵路諧波特點(diǎn)

（1）電力機(jī)車產(chǎn)生的諧波源具有基波能量很大，其他各次諧波能量相對(duì)較低（主要是3 次、5次、7 次、11 次諧波）等特點(diǎn)。

（2）交流側(cè)電流波形為鏡對(duì)稱，不含偶次諧波。

（3）諧波含量會(huì)隨機(jī)車型號(hào)、數(shù)量、分布和運(yùn)行工況而有較大的變化。電氣化鐵道諧波比其它非線性負(fù)荷引起的諧波更為復(fù)雜。

（4）由于電力機(jī)車的功率大，速度、負(fù)載狀況變化頻繁，因此牽引電網(wǎng)諧波含量高，同時(shí)還伴隨有負(fù)序電流。

4 仿真測(cè)試

本文根據(jù) 2.2 節(jié)的計(jì)算步驟編寫了TLS-ESPRT 算法計(jì)算程序。由電氣化鐵路諧波特點(diǎn)，構(gòu)造了諧波信號(hào)，并進(jìn)行以下仿真測(cè)試，以研究算法辨識(shí)電氣化鐵路諧波的性能。

4.1 模式辨識(shí)

若某信號(hào)解析表達(dá)式為

y = 100exp(-0.2t)cos(2π×50t + π / 6) +2exp(-1.5t)cos(2π×250t + π / 5) + 5exp(-t)cos(2π×550t + π / 7) + 3exp(-4t)cos(2π×370t + π / 8) （12）

該信號(hào)含基波、2 個(gè)諧波、1 個(gè)間諧波模式，取采樣頻率為 1 500 Hz，時(shí)間窗為 0.1 s，TLS-ESPRIT 對(duì)該信號(hào)的辨識(shí)結(jié)果和擬合曲線分別如表1 和圖1 所示。

表1 TLS-ESPRIT 算法對(duì)測(cè)試信號(hào)各模式的辨識(shí)結(jié)果表

表1 說明，在選取合適的采樣頻率和時(shí)間窗參數(shù)下，TLS-ESPRIT 算法能準(zhǔn)確辨識(shí)出基波、各次諧波、間諧波模式，分量5 由于其幅值接近于0，可忽略該分量。均方根接近于0，擬合曲線和實(shí)際曲線幾乎完全重合，說明TLS-ESPRIT 算法辨識(shí)諧波模式非常準(zhǔn)確。

4.2 頻率分辨率

設(shè)信號(hào)解析表達(dá)式如式（13）所示：

式（13）中，含基波和2 個(gè)頻率相差0.02 Hz的諧波模式，TLS-ESPRIT 對(duì)該信號(hào)的辨識(shí)結(jié)果和擬合曲線如表2、圖2 所示。

圖1 實(shí)際曲線及TLS-ESPRIT 辨識(shí)曲線圖

圖2 實(shí)際曲線及TLS-ESPRIT 辨識(shí)曲線圖

表2 TLS-ESPRIT 算法對(duì)頻率相近諧波信號(hào)辨識(shí)結(jié)果表

可見，利用TLS-ESPRIT 算法可分辨出頻率差為0.02 Hz 的諧波分量（分量4 可忽略，解釋同上），具有較高的頻率分辨率，這對(duì)諧波測(cè)量意義重大。

5 結(jié)論

本文將TLS-ESPRIT 算法應(yīng)用到電氣化鐵路諧波檢測(cè)中，詳細(xì)闡述了其算法原理、評(píng)價(jià)指標(biāo)、計(jì)算步驟。用編寫的TLS-ESPRIT 算法程序?qū)π盘?hào)測(cè)試表明：在合適的采樣頻率和時(shí)間窗長(zhǎng)度下，TLS-ESPRIT 算法能準(zhǔn)確識(shí)別出各次諧波、間諧波模式，具有較高的頻率分辨率。進(jìn)而為進(jìn)一步治理電氣化鐵路諧波奠定了基礎(chǔ)。當(dāng)然，TLS-ESPRIT算法辨識(shí)參數(shù)選擇、抗干擾問題也較為重要，這是本文的后續(xù)研究工作。

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