顧大可

(東北電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院，吉林吉林132012)

近年來(lái)，隨著航天技術(shù)的發(fā)展，目前空間技術(shù)正從空間利用提升為空間操作(或空間控制)，其中在交會(huì)對(duì)接、空間攔截撞擊、在軌監(jiān)視或者維修等方面的技術(shù)研究迅速發(fā)展。在空間操作中，有時(shí)候需要要求某個(gè)衛(wèi)星相對(duì)于另外一個(gè)衛(wèi)星、空間站或者大型航天器的相對(duì)位置始終保持不變，即追蹤星位于目標(biāo)星軌道的下方某個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)，并且要求追蹤星和目標(biāo)星的軌道相位與軌道角速度均相同，這樣追蹤星仿佛“懸?！痹谀繕?biāo)星的下方，但追蹤星的軌道低于目標(biāo)星的軌道。追蹤星的軌道稱為懸停軌道，這就是一個(gè)懸停問(wèn)題［1］。在空間操作技術(shù)中，這種形式的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)具有重要的科學(xué)意義和很大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，可以設(shè)計(jì)一個(gè)小衛(wèi)星懸停在目標(biāo)星下方，時(shí)刻監(jiān)視目標(biāo)星的飛行狀態(tài)、外形結(jié)構(gòu)、工作目的以及可以隨時(shí)檢查被追蹤的飛行器是否正常工作，從而得到準(zhǔn)確的信息并且減少一些不必要的費(fèi)用，這是衛(wèi)星的一個(gè)新的應(yīng)用領(lǐng)域。

對(duì)于這樣的追蹤星懸停軌道，按照通常在地球引力場(chǎng)中的開普勒軌道設(shè)計(jì)其軌道根數(shù)顯然是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。為此，本文從衛(wèi)星相對(duì)空間目標(biāo)的Hill方程出發(fā)，提出了懸停軌道的最優(yōu)控制策略，即保證在連續(xù)推力控制最省燃料的情況下，衛(wèi)星運(yùn)行在新的懸停軌道上。主要目的是將懸停問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶有終端狀態(tài)約束的標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)控制問(wèn)題。雖然以前文獻(xiàn)中有一些方法可以用來(lái)解決帶有約束的最優(yōu)控制問(wèn)題。不過(guò)，這些方法是針對(duì)一般情況的，不是十分有效，如文獻(xiàn)［2－5］中的方法。本文采用一種約束變換的思想將復(fù)雜的約束條件轉(zhuǎn)換為可以求解的標(biāo)準(zhǔn)形式，這樣我們獲得一系列具有標(biāo)準(zhǔn)約束條件的最優(yōu)控制問(wèn)題，然后應(yīng)用控制參數(shù)化思想和時(shí)間尺度變換技術(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)有效的計(jì)算方法來(lái)求解衛(wèi)星對(duì)于空間目標(biāo)懸停的最優(yōu)控制問(wèn)題，該方法的數(shù)值解可以利用最優(yōu)控制軟件包MISER3.2［6］來(lái)計(jì)算。

1 問(wèn)題描述

1.1 懸停軌道動(dòng)力學(xué)模型

Hill方程是在目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系內(nèi)研究追蹤星相對(duì)于目標(biāo)星的運(yùn)動(dòng)特性。其中坐標(biāo)原點(diǎn)O在目標(biāo)星質(zhì)心，OY沿地球半徑方向朝外，OX與OY垂直指向飛行的前方，并在目標(biāo)星的軌道平面內(nèi)，OZ與前兩者構(gòu)成右旋正交系(圖1)。

圖1 軌道坐標(biāo)系示意圖

設(shè)目標(biāo)星的運(yùn)行軌道為圓形，可以用下面的方程描述懸停的追蹤星相對(duì)于目標(biāo)星的運(yùn)動(dòng)方程:

當(dāng)連續(xù)推力使得在某一時(shí)刻tf，追蹤星和目標(biāo)星的相對(duì)速度和相對(duì)位置與時(shí)間有關(guān)項(xiàng)的系數(shù)均為零時(shí)，則可以實(shí)現(xiàn)懸停效果:

這樣，目標(biāo)星與追蹤星的相對(duì)位置才能始終保持為

1.2 懸停燃料最省的控制問(wèn)題

為了簡(jiǎn)單起見，我們主要考慮平面運(yùn)動(dòng)的情況。假設(shè)目標(biāo)星和追蹤星已處于共面的圓軌道上，令x=［xy］T，u=［axay］T，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

其中初始狀態(tài)

終端狀態(tài)

我們這里考慮的在固定時(shí)間段［0，tf］內(nèi)，滿足給定的邊界條件即初始狀態(tài)和終端狀態(tài)，考慮控制過(guò)程中最省燃料，目標(biāo)是使如下二次型性能指標(biāo)最小:

其中，控制量滿足如下約束umin≤ui≤umax，i=1，2。

綜上我們可以歸納成如下的懸停最優(yōu)控制問(wèn)題:

問(wèn)題P:對(duì)于系統(tǒng)(4)，滿足初始約束條件(5)和終端約束條件(6)下，尋找控制u=［u1u2］T使得在滿足控制約束的前提下，使性能指標(biāo)(7)達(dá)到最小。

2 計(jì)算方法

我們給出有效地解決上述問(wèn)題P的方法。首先將時(shí)間間隔［0，tf］分割成為np個(gè)子區(qū)間，其中np+1個(gè)分割點(diǎn)記作

對(duì)于每個(gè)分區(qū)間上構(gòu)造如下式所示的分段常值控制器

其中:χ［τρk-1，τp

k)(t)是時(shí)間區(qū)間［)上的特征函數(shù)，其定義如下:

σ1ρ，k，k=1，2，…，np是控制參數(shù)，k=0，1，…，np是滿足式(6)切換時(shí)間點(diǎn)。

記Γp為所有滿足式(8)向量τp的集合。令。我們所討論問(wèn)題P的控制函數(shù)(t)、(t)表達(dá)形式如式(9)所示，這樣把問(wèn)題P記為問(wèn)題Pp。

問(wèn)題Pp:對(duì)于系統(tǒng)(4)，滿足初始約束條件(5)和終端約束條件(6)下，尋找控制參數(shù)矢量和使得在滿足控制約束的前提下，使性能指標(biāo)(7)達(dá)到最小。

當(dāng)p≥1時(shí)，問(wèn)題Pp是一個(gè)關(guān)于和最優(yōu)參數(shù)選擇問(wèn)題。性能指標(biāo)J關(guān)于控制參數(shù)矢量和以及控制量的初值ζ1，ζ2的梯度很容易得到，詳見文獻(xiàn)［3］的定理5.2.1。事實(shí)上，根據(jù)定理5.3.1我們可以得到性能指標(biāo)J關(guān)于切換序列的梯度公式，盡管這些公式對(duì)于數(shù)值計(jì)算不是很有效。因此本文引入時(shí)間尺度變換的思想把時(shí)間切換變量映射到固定的時(shí)間點(diǎn)。

引入一個(gè)新的時(shí)間變量s，則從不定的時(shí)間區(qū)間t∈［0，tf］到固定的時(shí)間區(qū)間s∈［0，1］的映射由如下微分方程給出

其中，初始和終端條件為t(0)=0和t(1)=tf，函數(shù)(s)稱為強(qiáng)化控制，定義為

系統(tǒng)狀態(tài)方程

并且滿足如下的約束條件

綜上所述，原始的衛(wèi)星對(duì)于空間目標(biāo)懸停的最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，即非線性規(guī)劃問(wèn)題，利用SQP的數(shù)值優(yōu)化算法即可求出衛(wèi)星對(duì)于空間目標(biāo)懸停的最優(yōu)控制的最優(yōu)解。

3 數(shù)值仿真

考慮目標(biāo)星為地球靜止軌道，即軌道半徑為r0=42164.169 km，而追蹤星與目標(biāo)星運(yùn)行在同平面的圓軌道上，初始條件x0=［-114.57615.460.0070］T，終端約束條件為xtf=［0-100000］T，推進(jìn)系統(tǒng)能產(chǎn)生的加速度為≤0.5，i=1，2，終端時(shí)刻為tf=150 s，np=20，將［0，tf］分為20等份，利用最優(yōu)控制軟件包MISER3.2進(jìn)行求解，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 追蹤星位置和速度的變化曲線

圖2為追蹤星的位置和速度隨時(shí)間的變化曲線;圖3為追蹤星的x－y平面的最優(yōu)懸停軌跡;圖4為最優(yōu)控制輸入u1和u2隨時(shí)間的變化曲線。由上面的仿真圖可以看出，追蹤星的終端位置和速度都達(dá)到了要求，并且運(yùn)動(dòng)軌跡較為平滑，整個(gè)懸停過(guò)程較為平穩(wěn)。從圖4可以得出控制輸入滿足給定的約束條件。綜上，追蹤星可以在本文設(shè)計(jì)的控制器作用下，滿足控制約束就可以精確、快速地由初始位置轉(zhuǎn)移到指定的懸停位置。

圖3 追蹤星x－y平面的最優(yōu)懸停軌跡

圖4 最優(yōu)控制律u1和u2的變化曲線

4 結(jié)論與展望

本文給出懸停問(wèn)題的最省燃料控制的解決途徑，將懸停問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶有終端狀態(tài)約束的標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)控制問(wèn)題。進(jìn)而我們把約束條件轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，獲得一系列具有標(biāo)準(zhǔn)約束條件的最優(yōu)控制問(wèn)題，然后應(yīng)用控制參數(shù)化思想和時(shí)間尺度技術(shù)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)有效的計(jì)算方法。數(shù)值仿真表明本文提出的算法有效準(zhǔn)確。

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