張秀宇，王建國，孫靈芳，付宏偉

(1.東北電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院，吉林吉林132012;2.華北電力科學(xué)研究院，北京100045)

磁滯是最重要的非平滑非線性環(huán)節(jié)之一，廣泛存在于實(shí)際物理系統(tǒng)和裝置中［1］。當(dāng)一個(gè)裝置受到磁滯非線性環(huán)節(jié)影響時(shí)，控制系統(tǒng)將產(chǎn)生諸如準(zhǔn)確性降低、系統(tǒng)發(fā)生抖震甚至變得不穩(wěn)定等嚴(yán)重問題［2］。工程應(yīng)用中，磁滯現(xiàn)象的建模與控制是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的問題。近年來，隨著含有磁滯現(xiàn)象的智能材料的廣泛使用，該問題亦受到研究人員的廣泛重視［3］。

控制系統(tǒng)中磁滯環(huán)節(jié)的處理方法主要分為兩大類:一類方法是在控制系統(tǒng)中引入磁滯現(xiàn)象的逆過程來抵消磁滯現(xiàn)象(詳見參考文獻(xiàn)［4］);另一類方法是在不建立磁滯你環(huán)節(jié)的情況下，利用魯棒自適應(yīng)控制策略來抵消或抑制系統(tǒng)中的磁滯現(xiàn)象。由于這種方法允許設(shè)計(jì)者采用各種魯棒控制策略且便于穩(wěn)定性分析，引起了控制領(lǐng)域?qū)W者的興趣［5］。

在未建立磁滯逆環(huán)節(jié)的情況下，大部分控制策略都采用了自適應(yīng)反推方法，這種方法在過去二十年中被廣泛使用并且成為了解決非線性系統(tǒng)控制問題的重要方法［6］。但是，反推法的缺點(diǎn)也顯而易見，存在所謂“微分爆炸”問題。

近年來，為了克服反推控制方法的缺點(diǎn)，受多滑模面控制方法的啟發(fā)，Swaroop等學(xué)者最先提出了動(dòng)態(tài)面控制方法［7］。目前，在一些文獻(xiàn)中，也有用到動(dòng)態(tài)面技術(shù)來處理一些非平滑非線性環(huán)節(jié)。

針對(duì)帶有PI模型描述的磁滯現(xiàn)象的一類非線性系統(tǒng)，本文所提出的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方案克服了采用反推方法所引起的“微分爆炸”問題。

1 系統(tǒng)描述

對(duì)于系統(tǒng)(1)有如下假設(shè)。

假設(shè)1系統(tǒng)中不確定項(xiàng)Δi(x，t)，i=1，…，n，為未知Lipschitz連續(xù)函數(shù)且滿足

其中:ρi()為已知正光滑函數(shù)，bi為未知正常數(shù)。

假設(shè)2參考信號(hào)yr光滑、有界且對(duì)于t≥0，［yr，］T屬于某一緊集。

假設(shè)3gi，i=1，…，n，的符號(hào)已知且存在一個(gè)常數(shù)gmin，使得gmin≤gi。不失一般性，我們假定gi＞0。

本文中所用到的PI磁滯模型如下:

其中:p(r)為磁滯的密度函數(shù)，F(xiàn)r［u］(t)為Play算子?，F(xiàn)將(3)式代入(1)式可得，其中:β=gnp0(β＞0)，pg(r)=gnp(r)。

2 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)

本文給出了自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面技術(shù)來處理PI模型描述的磁滯現(xiàn)象的控制方案。整個(gè)設(shè)計(jì)過程共包含n步，實(shí)際控制律將在最后一步給出。

第1步定義第一個(gè)面誤差(也是跟蹤誤差)為

其中，yr為參考信號(hào)。考慮如下二次型方程其中，且分別為的估計(jì)值;γg1，γb1，γφ1為大于零的設(shè)計(jì)參數(shù)。因下述不等式成立:

虛擬控制律x2d可設(shè)計(jì)為

且η1，σ1，κ1為正設(shè)計(jì)參數(shù)。令x2d經(jīng)過一階低通濾波器獲得的新變量x2，表示如下:

其中，τ2為濾波器時(shí)間常數(shù)。

第i步(2≤i≤n-1):定義第i個(gè)面誤差為

其中:ci為正設(shè)計(jì)參數(shù)，c2，…，cn用來保證系統(tǒng)跟蹤誤差性能指標(biāo)。考慮如下二次型方程

且ηi，σi，κi為大于零的設(shè)計(jì)參數(shù)。令xi+1d經(jīng)過一階低通濾波器獲得的新變量zi+1如下所示:

其中，τi+1為濾波器時(shí)間常數(shù)。

第n步定義第n個(gè)面誤差為

我們考慮如下二次型方程

將設(shè)計(jì)u為

且ηn，σpr，κn為正設(shè)計(jì)參數(shù)。的調(diào)參律設(shè)計(jì)為

且ηζ為正設(shè)計(jì)參數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

本對(duì)所提出的動(dòng)態(tài)面控制方案采用Lyapunov穩(wěn)定性分析方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

定理1考慮由被控對(duì)象，一階低通濾波器，實(shí)際控制律以及調(diào)參律所組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)。若假設(shè)1-3成立。令Lyapunov函數(shù)定義為如下形式

其中:Vi已分別定義。對(duì)于任意給定的正常數(shù)p，若V(0)≤p成立，則存在ki，τi+1，γgi，γθi，γbi，γζ，γgn，γpr，γbn，ηi，σi，κi，ηn，σpr，κn，i=1，…，n-1，使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致有界，且通過合理調(diào)整可調(diào)參數(shù)，系統(tǒng)的跟蹤誤差可收斂到任意小的鄰域內(nèi)。此外，通過設(shè)置系統(tǒng)的初始化條件，系統(tǒng)跟蹤誤差可滿足性能指標(biāo)。

證明:對(duì)Lyapunov函數(shù)V求導(dǎo)得

令

則當(dāng)V=p時(shí)˙V≤0。這說明V≤p是一個(gè)不變集。若V(0)≤p，那么對(duì)于所有t≥0，V(t)≤p恒成立?？傻?/p>

4 仿真算例

現(xiàn)考慮如下具有磁滯輸入的二階非線性系統(tǒng):

其中ω磁滯環(huán)節(jié)的輸出，g1，g2為未知參數(shù)，Δ1和Δ2為擾動(dòng)項(xiàng)。在仿真中，參數(shù)選擇為g1=1.1，g2=1.1，θ1=0.12，θ2=0.01，f1(x1)=0.9，f2(x1，x2)=0，Δ1=0.2sin(x2)，Δ2=0.15(+)cos3t。因此b1=0.15，ρ1(x1)=1.5，b2=0.12，ρ2()=0.8+0.95。p(r)=0.5e-0.0014(r-1)2?？刂颇康氖鞘瓜到y(tǒng)輸出y能夠跟蹤給定參考信號(hào)yr=sin(1.5t)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)步驟如本文第三部分所示，這里不再詳述。

圖1 磁滯補(bǔ)償項(xiàng)存在時(shí)系統(tǒng)的輸出y與參考信號(hào)yr(分別為實(shí)線和虛線)

圖2 沒有磁滯補(bǔ)償項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的輸出y與參考信號(hào)yr(分別為實(shí)線和虛線)

［1］Mittal S.，Menq C.H..Hysteresis Compensation in Electromagnetic Actuators Through Perisach Model Inversion［J］.IEEE Transactions on Mechatronics，2000，5(4):394－409.

［2］Tao G.，Kokotovic P.V..Adaptive Control of Plants with Unknown Hystereses［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40(2):200－212.

［3］Tan X.，Baras J.S..Adaptive Identification and Control of Hysteresis in Smart Materials［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(6):827－839.

［4］Moheimani S.，Goodwin G.C..Guest Editorial Introduction to The Special Issue on Dynamics and Control of Smart Structures［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2001，9(1):3－4.

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［6］Krsic M.，Kanellakopoulos I.，Kokotovic P.V..Nonlinear and Adaptive Control Design［M］.New York:A Wiley-Interscience Publication，1995.

［7］張秀宇，林巖.具有磁滯輸入非線性系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)控制［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2010，36(9):1264－1271，

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