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        非均勻磁場(chǎng)中Heisenberg XXZ自旋鏈的熱量子失協(xié)*

        2012-03-09 08:14:38
        關(guān)鍵詞:度量消失磁場(chǎng)

        (武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430070)

        0 引 言

        量子糾纏是一種量子關(guān)聯(lián),在量子通信和信息處理如量子編碼、量子態(tài)隱形傳態(tài)、量子密鑰分配和量子計(jì)算中起著舉足輕重的作用[1].隨著研究的深入和理論及應(yīng)用的需要,人們發(fā)現(xiàn)量子糾纏僅僅是一種特殊的量子關(guān)聯(lián),并沒(méi)有完全刻畫(huà)經(jīng)典關(guān)聯(lián)與量子關(guān)聯(lián)的本質(zhì)區(qū)別,于是比量子糾纏更一般的的量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象的研究變得迫切起來(lái).2001年H.Oliveier和 W.H.Zurek提出了量子失協(xié)(quantum discord,QD)這個(gè)概念[2],用于量化量子關(guān)聯(lián).量子失協(xié),它是用來(lái)量化系統(tǒng)中的所有非經(jīng)典關(guān)聯(lián).據(jù)觀察,量子失協(xié)是更一般的量子關(guān)聯(lián)度量,它可能包含一個(gè)獨(dú)立的量子糾纏.此外,量子失協(xié)給非經(jīng)典關(guān)聯(lián)提供一個(gè)更大區(qū)域的量子態(tài),并且提供一個(gè)非零值的量子關(guān)聯(lián).這種量子關(guān)聯(lián)不是量子糾纏,而是比量子糾纏更一般的量子關(guān)聯(lián)-量子失協(xié).

        近十年來(lái)量子失協(xié)已在許多方面受到重視,如熱力學(xué)和關(guān)聯(lián)、量子計(jì)算、失協(xié)的動(dòng)力學(xué)等.特別是,一些文獻(xiàn)研究了在不同的海森堡模型中的熱糾纏和量子失協(xié)[3-5].結(jié)果表明:對(duì)于在有限溫度時(shí)熱量子失協(xié)比熱糾纏更強(qiáng)大,因?yàn)榱孔邮f(xié)在有限溫度下不會(huì)消失,但熱糾纏在一定溫度下完全消失.所以在描述量子關(guān)聯(lián)時(shí)量子失協(xié)比量子糾纏更實(shí)際,而且基于量子失協(xié)的量子算法比那些基于量子糾纏的算法更強(qiáng)大.介于此目的,本文研究了在非均勻磁場(chǎng)中兩量子比特的一維海森堡XXZ自旋鏈的熱量子失協(xié),通過(guò)比較其量子失協(xié)和量子糾纏,探討二者之間存在的差異.

        1 量子失協(xié)和量子糾纏

        為了描述量子關(guān)聯(lián),采用兩種類(lèi)型的度量,包括concurrence和量子失協(xié).由 Wootters[6]定義的concurrence是計(jì)算2個(gè)量子比特混合態(tài)ρAB的形成糾纏度.它可以由C=max}表示.式中:物理量λ1,λ2,λ3,λ4分別是矩陣R=ρAB(σy?σy)ρA*B(σy?σy)按降序排列的本征值.C=0對(duì)應(yīng)于沒(méi)有糾纏態(tài),而C=1為最大糾纏態(tài).

        另一方面,在經(jīng)典信息理論中,對(duì)于任意的二分態(tài),2個(gè)子系統(tǒng)之間的總關(guān)聯(lián)可以用量子相互信息來(lái)描述[7],有

        式中:S(ρ)=tr(ρlbρ)是馮·諾伊曼熵,ρA(B)=trB(A)ρ是通過(guò)追蹤系統(tǒng)B(A)的約化密度矩陣.量子相互信息具有基本物理的重大意義,它通常被用來(lái)度量包含量子和經(jīng)典的總關(guān)聯(lián).對(duì)于子系統(tǒng)A和B的經(jīng)典關(guān)聯(lián)可以定義為

        式中:L(ρAB|{Bk})是在量子系統(tǒng)B 上的一個(gè)基于給定度量基{Bk}的量子相互信息的變量,即

        式中:ρk=(Ik?Bk)ρAB(Ik?Bk)/pk是在得到結(jié)果k在B 的概率pk=tr[(Ik?Bk)ρAB(Ik?Bk)]之后對(duì)A投影度量態(tài),Ik是子系統(tǒng)A 的恒等運(yùn)算.當(dāng)子系統(tǒng)B中描述二維希爾伯特空間{|0〉,|1〉}時(shí),局部度量的完全集由{Bk=V|k〉|k〉V+,(k=0,1)}給出,這里任意幺正變換V(θ,φ)(其中θ∈[0,π],φ∈[0,2π])為

        2 結(jié)果及其討論

        非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中各向異性的2量子比特-維海森堡XXZ自旋鏈的哈密頓量為

        式中:J和Jz為自旋耦合系數(shù),J>0和Jz>0對(duì)應(yīng)反鐵磁情況,而J<0和Jz<0對(duì)應(yīng)鐵磁情況;B為Z方向上均勻磁場(chǎng);b為Z方向上的非均勻磁場(chǎng),b值控制其非均勻磁場(chǎng)的梯度,并且σi(i=x,y,z)是泡利矩陣.

        密度矩陣ρAB=exp(-H/kT)/Z描述在溫度為T(mén) 下的熱(正則系綜)平衡系統(tǒng).式中:Z=tr{exp(-H/kT)}是一個(gè)配分函數(shù);k是玻耳茲曼常數(shù),為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),假定k=1.因此,在基矢{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}中,式(6)具有以下形式

        通過(guò)哈密頓量H可以得到這些非零矩陣元素的精確值為

        通常情況下,量子失協(xié)難以計(jì)算,并且無(wú)法得到解析解.對(duì)于密度矩陣(7)描述的X狀態(tài),如果

        圖1描繪了量子糾纏量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD在不同溫度T下的關(guān)系.從圖中可以看出,在以下3種情況下:(1)無(wú)外加磁場(chǎng)(B=0,b=0);(2)均勻磁場(chǎng)(B=2,b=0);(3)非均勻磁場(chǎng)(B=2,b=5),量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都隨溫度T的增加而減?。@種行為的原因是最大糾纏態(tài)與其他態(tài)的混合而引起的.然而,顯而易見(jiàn)的是,它們之間存在著一定的差異:量子糾纏concurrence的值在臨界溫度處下降到零時(shí),而量子失協(xié)QD隨著溫度T漸近地下降到零.由于沒(méi)有引進(jìn)退相干,量子關(guān)聯(lián)不會(huì)消失.所以在這個(gè)意義上說(shuō),量子失協(xié)在有限溫度下比量子糾纏更強(qiáng)大,在量子計(jì)算和量子通訊中比量子糾纏更現(xiàn)實(shí).從圖1中還可以發(fā)現(xiàn),外加磁場(chǎng),不管是均勻的還是非均勻的,對(duì)量子糾纏和量子失協(xié)都有比較顯著的影響.而且從圖1a)中還可以看出,均勻磁場(chǎng)B并不能改變臨界溫度T的值,而非均勻磁場(chǎng)b可以增加臨界溫度T的值.從這一點(diǎn)可以得到:非均勻磁場(chǎng)在有限溫度下有益于量子糾纏.(注:所有參數(shù)都為量綱一量化,圖1~4中的所有參數(shù)都同樣為量綱一量化.)

        圖1 與溫度T的關(guān)系(J=1,Jz=0.5)

        圖2 與均勻磁場(chǎng)B的關(guān)系(J=1,Jz=0.5,b=0)

        圖3 與非均勻磁場(chǎng)b的關(guān)系(J=1,Jz=0.5,B=0)

        接下來(lái)繼續(xù)討論外加磁場(chǎng)(均勻和非均勻)對(duì)量子糾纏和量子失協(xié)的影響.圖2描述的是均勻磁場(chǎng)下的情況;圖3描述的是非均勻磁場(chǎng)的情況.從圖中可以看出:量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都關(guān)于均勻磁場(chǎng)|B|和非均勻磁場(chǎng)|b|在零點(diǎn)處對(duì)稱(chēng),但兩者有明顯的不同:(1)對(duì)于在均勻磁場(chǎng)情況下,如圖2所示,無(wú)論溫度T如何變化,量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都隨著|B|的增加而減??;當(dāng)然在溫度T超過(guò)溫度臨界點(diǎn)的時(shí)候,量子糾纏消失,其concurrence值為0,比如圖2中的較高溫度曲線T=2.0,而這種情況下在量子失協(xié)上不存在;(2)對(duì)于在非均勻情況下,如圖3所示,在較低溫度下,圖3中的較低溫度曲線T=0.5,量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD都隨著|b|的增加而較小,兩者的變化趨勢(shì)是相同的.但隨著溫度T的增加,如圖3所示,兩者有明顯的差別:量子失協(xié)QD依然隨著|b|的增加而減小,而量子糾纏concurrence隨著|b|的增加先增加到最大值,然后再隨著|b|的增加而減小,concurrence最初值甚至從0開(kāi)始.因此可以找到一個(gè)在量子糾纏concurrence增加而量子失協(xié)QD減小的區(qū)域,甚至是沒(méi)有量子糾纏而量子失協(xié)依然存在的區(qū)域.這是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象,可以理解為:在溫度T達(dá)到一個(gè)合適的值時(shí),一個(gè)合適的外加場(chǎng)可以部分消弱熱漲落的破壞性影響而增強(qiáng)量子糾纏.

        圖4 與自旋耦合系數(shù)Jz 的關(guān)系(J=1,Jz=0.5,T=1.0)

        最后討論在不同磁場(chǎng)情況下量子糾纏concurrence和量子失協(xié)QD與自旋耦合系數(shù)Jz的關(guān)系.從圖4a)中,無(wú)論是有無(wú)外加磁場(chǎng),或外加磁場(chǎng)無(wú)論是是均勻的還是非均勻的,都可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)Jz從正值到負(fù)值變化時(shí),其量子糾纏concurrence的值也在減少,并在Jz的臨界值時(shí),下降到0.同時(shí)增加非均勻磁場(chǎng)b的值時(shí),可以增加|Jz|的臨界值.但在無(wú)外加非均勻磁場(chǎng)的情況下,均勻磁場(chǎng)的增加并不能改變|Jz|的臨界值.從圖4b)中,很容易發(fā)現(xiàn):在無(wú)外加磁場(chǎng)的情況(B=0,b=0)下,量子失協(xié)QD在|Jz|=±1處產(chǎn)生突變,這表征在此處發(fā)生量子相變,即使是在有限溫度下(通常量子相變發(fā)生在T=0處).因此,與圖4a)相比,在有限溫度下,可以用量子失協(xié)QD來(lái)檢測(cè)量子相變,而量子糾纏concurrence卻不能.可見(jiàn),量子失協(xié)QD對(duì)于在實(shí)驗(yàn)上檢測(cè)量子相變有重要意義.在有外加磁場(chǎng)(無(wú)論是均勻還是非均勻)的情況下,量子失協(xié)發(fā)生突變的Jz的臨界值向Jz>1或者Jz<-1兩端變化,這表明量子失協(xié)依然可以用來(lái)檢測(cè)量子相變.但隨著外加磁場(chǎng)的增加,可以發(fā)現(xiàn),量子失協(xié)QD的突變?cè)跐u漸消失,這表明量子相變會(huì)在外加磁場(chǎng)的影響下消失.

        3 結(jié)束語(yǔ)

        本文研究了外加非均勻磁場(chǎng)下一維兩量子比特Heisenberg XXZ自旋鏈中的熱量子失協(xié),討論了溫度T和外加磁場(chǎng)(包括均勻磁場(chǎng)和非均勻磁場(chǎng))對(duì)其量子失協(xié)的影響,并比較了量子糾纏和量子失協(xié)兩者之間的差異.結(jié)果表明:在相同的物理參數(shù)范圍中,導(dǎo)致量子糾纏猝死的這些因素僅僅加速量子失協(xié)的衰變,而當(dāng)量子糾纏消失時(shí),量子失協(xié)會(huì)呈現(xiàn)無(wú)限趨近于0而不會(huì)消失的現(xiàn)象.因此,量子失協(xié)在退相干環(huán)境下比量子糾纏更強(qiáng)大,在量子關(guān)聯(lián)度量中比量子糾纏更普遍,在量子計(jì)算和量子通信中比量子糾纏更實(shí)用.

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