陳志勇， 劉婷婷， 陳燭薔， 王學軍

（安徽大學 數(shù) 學科學學院，安徽 合 肥 230601）

0 引 言

AANA序列是一類廣泛的負相依序列，對其研究具有一定的價值。文獻［1］介紹了AANA序列的定義，并獲得了Kolmogorov型不等式和Marcinkiewicz－Zygmund強大數(shù)定律；文獻［2］討論了獨立同分布平均加權的幾乎處處收斂性；文獻［3］獲得了 Hájek－Rényi型極大值不等式，并給出了隨機變量和的強大數(shù)定律；文獻［4］研究了AANA序列的 Hájek－Rényi型不等式及其應用；文獻［5－6］在文獻［3］研究的基礎上，進一步給出了隨機變量和的強收斂速度；文獻［7］建立了AANA序列的一些Rosenthal型不等式；文獻［8］獲得了AANA序列的收斂性質；文獻［9］研究了AANA序列極大不等式和強大數(shù)定律；有關其他相依序列及其應用研究，見文獻［10－13］。本文繼續(xù)研究AANA序列，在一類φ（x）函數(shù)的條件下，獲得部分和的強大數(shù)律、強收斂速度及其上確界積分性質。

1 定義和引理

定義1 稱｛Xi，1≤i≤n｝是NA的，如果任意｛1，2，…，n｝不相交的子集A1和A2有：

其中，f和g都是一致非降函數(shù)且協(xié)方差存在。進一步，稱隨機變量序列｛Xn，n≥1｝為NA序列，如果任意有限個｛Xi，1≤i≤n｝為NA的。

定義2 稱｛Xn，n≥1｝為AANA序列，如果存在非負序列q（n）→0（n→∞），有

其中，n，k≥1；f和g都是關于各變元非降的連續(xù)函數(shù)且方差存在。

引理1 假設｛Xn，n≥1｝是均值為0的AANA序列，混合系數(shù)｛q（n），n≥1｝滿足∑∞n＝1q2（n）＜∞［9］，則對1＜p≤2，存在只依賴于p的正數(shù)Cp，使得：

文獻［1－2］又指出NA序列是AANA序列，其中混合系數(shù)滿足q（n）≡0，n≥1。故引理1推廣了NA序列的極大值不等式，其中不等式系數(shù)有所差別。

引理2 假設｛Xn，n≥1｝是均值為0的AANA序列，混合系數(shù)｛q（n），n≥1｝滿足∑∞n＝1q2（n）＜

∞［9］。又若｛bn，n≥1｝為非降的正數(shù)序列，則對1＜p≤2和任意的ε＞0，有

對1＜p≤2，文獻［14］給出了有關NA極大值不等式，即

文獻［15］給出了有關 NA 的 Hájek－Rényi型極大值不等式，即同樣地，由于NA序列是AANA序列q（n）≡0，n≥1，故引理2推廣了 NA的 Hájek－Rényi型極大值不等式，其中不等式系數(shù)有所差別。

引理3 假設｛Xn，n≥1｝為一隨機變量序列，｛bn，n≥1｝為一非降的正數(shù)序列。定義φ（x）是在（－∞，＋∞）上的正值偶函數(shù)，且在［0，＋∞）上非降。又若p＞0為常數(shù)，滿足xp／φ（x）在［0，＋∞）上單調上升，則

證明 因為xp／φ（x）在［0，＋∞）上單調上升，所以當｜Xi｜≤bi時，有

即

從而有：

證畢。

引理4 假設｛Xn，n≥1｝是隨機序列，｛bn，n≥1｝為非降、無界的正數(shù)序列，｛αn，n≥1｝為非負實數(shù)序列，r和C為固定的正常數(shù)［3，6］，記，若

則

并且有收斂速度為：

其中

進一步，有

另外，假設αk＞0對無限多個k成立，則

2 主要結果

定理1 設｛Xn，n≥1｝是均值為0的AANA序列，且混合系數(shù)｛q（n），n≥1｝滿足∞，｛bn，n≥1｝為非降、無界的正數(shù)序列。假設φ：R→R＋為在［0，∞）上的非降偶函數(shù)，在［0，∞）上滿足x2／φ（x）↑。記。若

則

且有收斂速度，即

其中

C2是一個只依賴于＜∞的正數(shù)，且對任意0＜r＜2，有

證明 由引理1（p＝2）、引理3（p＝2）及（6）式，得

其中，C2為引理1中Cp取p＝2的情況。所以：

由引理4及條件（1）式、（2）式及（9）式，即得到 （ 3）～（6）式和（8）式。

下證（7）式。對任意0＜r＜2，由引理2（p＝2）及引理3（p＝2），易得：

所以：

證畢。

若在引理3里取φ（x）＝｜x｜p，則所以令φ（x）＝x2，可以得到推論1。

推論1 設｛Xn，n≥1｝是均值為0的AANA序列，且混合系數(shù)｛q（n），n≥1｝滿足∞，｛bn，n≥1｝為非降、無界的正數(shù)序列。如果

證明 取φ（x）＝x2，并注意到：

結合條件（10）式和定理1，立即得出所要證明的結論，證畢。

由于NA序列是AANA序列，其中混合系數(shù)滿足q（n）≡0，n≥1，故由推論1得到推論2。

推論2 設｛Xn，n≥1｝是均值為0的NA序列，假設｛bn，n≥1｝為非降、無界的正數(shù)序列，如果（10）式成立，則（3）～（5）式成立，其中αk＝C2EX2k，k≥1，C2是不依賴于n的正數(shù)，且對任意0＜r＜2，（11）式和（12）式成立。

［1］ Chandra T K，Ghosal S.Extensions of the strong law of large numbers of marcinkiewicz and zygmund for dependent variables［J］.Acta Mathematical Hungarica，1996，71（4）：327－336.

［2］ Chandra T K，Ghosal S.The strong law of arge numbers for weighted averages under dependence assumptions ［J］.Journal of Theoretical Probability，1996，19（3）：797－809.

［3］ Fazekas I，Klesov O.A general approach to the strong law of large numbers［J］.Theory of Probability Applications，2001，45：436－449.

［4］ Ko M H，Kim T S，Lin Z.The Hájek－Rényi inequality for the AANA random variables and its applications［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2005，9（1）：111－122.

［5］ Hu S H，Hu M.A general approach rate to the strong law of large numbers［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2006，76：843－851.

［6］ Hu S H，Chen G J，Wang X J.On extending the brunkprokhorov strong law of large numbers for martingale differences［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2008，78：3187－3194.

［7］ Yuan D，An J.Rosenthal type inequalities for asymptotically almost negative associated random variables and applications［J］.Science in China，Series A：Mathematics，2009，52（9）：1887－1904.

［8］ Wang X J，Hu S H，Yang W Z.Convergence properties for asymptotically almost negative associated sequence ［J／OL］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2010.http：／／dx.doi.org／10.1155／2010／218380.

［9］ Wang X J，Hu S H，Li X Q，et al.Maximal inequalities and strong law of large numbers for AANA sequences ［J］.Communications of the Korean Mathematical Society，2011，26：151－161.

［10］ 楊文志，魏永利，胡舒合，等.Lr（r＞1）混合序列一矩不等式及其應用［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2010，33（5）：783－785.

［11］ 程 偉，凌能祥.基于相依函數(shù)型數(shù)據(jù)具有穩(wěn)健性質的條件分位數(shù)核估計［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2010，33（4）：613－615，624.

［12］ 姚 梅，凌能祥.截尾樣本下非參數(shù)回歸函數(shù)改良分割估計的漸近正態(tài)性［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2011，34（4）：1756－1760.

［13］ 陸曉恒，石賢匯，凌能祥.α－混合相依函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計的漸近正態(tài)性［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2011，34（10）：1584－1587.

［14］ Shao Q M.A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables［J］.Journal of Theoretical Probability，2000，13：343－356.

［15］ 胡舒合，胡曉鵬，張林松.二階矩限制下的 Hájek－Rényi型不等 式 及 其 應 用 ［J］.應 用 數(shù) 學 學 報，2005，28（2）：227－235.