李志平，郭建國，周軍

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西西安 710072)

引言

比例導(dǎo)引律通常是工程最易實(shí)現(xiàn)的制導(dǎo)律，也是一種最優(yōu)制導(dǎo)律，但是隨著當(dāng)前導(dǎo)彈技術(shù)的發(fā)展，它已經(jīng)不能適應(yīng)導(dǎo)彈制導(dǎo)發(fā)展的需求［1］。如對(duì)于空地導(dǎo)彈，要求它能夠按照指定的角度攻擊地面目標(biāo)，給制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)提出了新的需求。

對(duì)于具有終端角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題，通常是基于最優(yōu)控制的方法來完成設(shè)計(jì)［1-6］。最簡單的情況是在垂直平面內(nèi)利用線性二次型最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)攻擊勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律［1］，從而滿足終端角度約束的條件。文獻(xiàn)［2-3］分別基于線性二次型最優(yōu)控制理論和最小值原理的方法推導(dǎo)出了兩種形式的終端角度約束制導(dǎo)律，但這種最優(yōu)控制的方法往往都依賴于剩余時(shí)間的估計(jì)。文獻(xiàn)［4-5］不僅給出剩余時(shí)間估計(jì)方法，而且給出了終端角度約束最優(yōu)制導(dǎo)律的閉環(huán)解的形式。

此外，非線性控制的方法也應(yīng)用于這種特殊制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。針對(duì)固定目標(biāo)，文獻(xiàn)［6］基于制導(dǎo)控制一體化的思想設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［7-8］分別采用H∞控制方法和Nussbaum-type增益技術(shù)，設(shè)計(jì)了兩種自適應(yīng)終端角度約束制導(dǎo)律。

為解決有終端角度約束條件制導(dǎo)問題，本文基于變結(jié)構(gòu)控制方法，根據(jù)終端角度約束條件，提出一種新的非線性的滑動(dòng)模態(tài)，設(shè)計(jì)了一種新的具有角度約束的魯棒自適應(yīng)非線性變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律，并利用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的有限時(shí)間可達(dá)性和穩(wěn)定性。最后通過數(shù)字仿真證明了設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

考慮空地導(dǎo)彈和目標(biāo)在末端三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)的關(guān)系，如圖1所示的視線坐標(biāo)系為末制導(dǎo)過程的參考坐標(biāo)系。原點(diǎn)O位于導(dǎo)彈質(zhì)心;Oxyz為慣性坐標(biāo)系;Ox4y4z4為末制導(dǎo)開始的視線坐標(biāo)系，其中Ox4軸與彈目視線重合，由導(dǎo)彈指向目標(biāo)為正;Oy4軸位于縱向平面，向上為正;Oz4軸按右手法則來確定，且位于側(cè)向平面內(nèi)。設(shè)視線坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為Ω，那么慣性牽連坐標(biāo)系可認(rèn)為經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后與視線坐標(biāo)系重合，兩次旋轉(zhuǎn)的角速度大小分別為，，若慣性牽連坐標(biāo)系與各軸對(duì)應(yīng)的單位矢量分別為i，j，k，那么導(dǎo)目相對(duì)距離R二次求導(dǎo)可得:

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

同時(shí)有:式中，a1=2;a(x)=cosqsinq;b=1/R;u=aM;aT=aty，設(shè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的加速度是有界的，即|aT|≤d。

2 非線性滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 末端角度約束問題

考慮到對(duì)命中目標(biāo)有一定的終端角度約束，即要求在命中點(diǎn)處導(dǎo)彈的彈道傾角為期望的碰撞角度θf。假設(shè)qf為命中點(diǎn)處期望的視線角，且目標(biāo)不機(jī)動(dòng)情況下，有下列關(guān)系［9］:

顯然，地面目標(biāo)速度相對(duì)導(dǎo)彈速度較小，因此若忽略其速度，則由式(2)知，sin(θm－qf)≈0，故 θm≈qf，所以當(dāng)qf= θf，則 θm≈θf，從而實(shí)現(xiàn)了終端角度的約束條件。

2.2 滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)縱向平面內(nèi)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(2)，利用變結(jié)構(gòu)控制方法，設(shè)計(jì)一種新型的具有角度約束的制導(dǎo)律。

根據(jù)制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原理，即準(zhǔn)平行接近原理。在末制導(dǎo)段，期望彈目視線角速率在制導(dǎo)過程中趨向于零，即→0。同時(shí)考慮到qf=θf的條件，令x1m=qf，選取滑動(dòng)模態(tài)s為:

式中，k＞0;0＜c1(t)d/R＜ε。則在有限時(shí)間內(nèi)制導(dǎo)系統(tǒng)的彈目視線角速率為零，既保證了末制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也實(shí)現(xiàn)了終端角度x1m的約束。

證明:

(1)有限時(shí)間的可達(dá)性:

對(duì)滑動(dòng)模態(tài)s求一次導(dǎo)，得:限時(shí)間內(nèi)達(dá)到終端視線角x1m，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了x2=0的要求;當(dāng)e(t)=0，即x1(t)=x1m時(shí)，可求出有限到達(dá)時(shí)間為:

由以上證明知，系統(tǒng)狀態(tài)在控制律式(4)的作用下在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)入選定滑動(dòng)區(qū)域，并在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)理想的終端視線角，式(4)為導(dǎo)彈在縱向平面的制導(dǎo)指令。

注意:

(1)在末制導(dǎo)過程中，a(x)的值較小時(shí)，變結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)有魯棒性，同時(shí)考慮到抖振問題，故將式(4)變?yōu)?

(2)制導(dǎo)指令式(4)、式(5)也是由比例導(dǎo)引項(xiàng)和非線性補(bǔ)償項(xiàng)組成，這樣它的形式同一般的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的形式相同。

(3)當(dāng)終端角度x1m=0，可認(rèn)為是無終端角度的要求時(shí)，式(5)變?yōu)?

特別地，當(dāng)c1(t)=c1，c2(t)=c2，m=n=1 時(shí)，即為常規(guī)變結(jié)構(gòu)控制方法中的線性滑動(dòng)模態(tài);而當(dāng)c1(t)=R，c2(t)=0，k=k'||/R時(shí)，就為文獻(xiàn)［10］設(shè)計(jì)的滑動(dòng)模態(tài)和制導(dǎo)指令。

3 數(shù)字仿真與分析

下面通過數(shù)字仿真對(duì)本文所設(shè)計(jì)的具有終端角度約束的滑模制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)字仿真驗(yàn)證。

考慮初始末制導(dǎo)的距離為5 km;導(dǎo)彈飛行馬赫數(shù)為Ma=0.75;目標(biāo)分別為固定目標(biāo)和運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，運(yùn)動(dòng)速度為20 m/s;初始彈道傾角為0°;最大過載為6;非線性滑模制導(dǎo)律仿真參數(shù)為c1(t)=c2(t)=R，n=3，m=5;期望在命中時(shí)刻導(dǎo)彈的彈道傾角θf=－90°。仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

由圖可知，對(duì)于固定目標(biāo)，導(dǎo)彈飛行時(shí)間為22.14 s，命中點(diǎn)彈道傾角θ為－89.81°，最終視線角q為－89.9°，視線角速率保持在零值附近。

對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)，導(dǎo)彈飛行時(shí)間為23.84 s，同樣能夠獲得如圖2～圖4所示的彈道傾角、視線角以及視線角速率的變化趨勢(shì)，命中點(diǎn)彈道傾角 θ為－85.49°，最終視線角q仍為 －89.9°，視線角速率仍保持在零值附近。相對(duì)于固定目標(biāo)，彈道傾角與期望的－90°的角度有了一定的誤差，主要原因是對(duì)于式(2)，當(dāng)目標(biāo)固定，則完全能得到θf=qf，而當(dāng)目標(biāo)在機(jī)動(dòng)時(shí)，則有θf≈qf。所以目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)影響到命中點(diǎn)彈道傾角實(shí)現(xiàn)的精度。

圖2 彈道傾角θ變化曲線

圖3 視線角q變化曲線

圖4視線角速率變化曲線

最后采用本文的制導(dǎo)律，固定目標(biāo)時(shí)脫靶量為0.13m，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)的脫靶量為0.04 m，從而保證了制導(dǎo)系統(tǒng)的精度。以上的仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的非線性滑模制導(dǎo)律的有效性和適用性。

4 結(jié)論

本文利用期望彈道傾角和命中視線角的關(guān)系，設(shè)計(jì)了非線性滑模制導(dǎo)律，通過數(shù)學(xué)仿真，得到如下結(jié)論:基于準(zhǔn)平行接近原理的思想，借助于控制命中點(diǎn)視線角的非線性變結(jié)構(gòu)控制方法，可以較為有效地解決空地導(dǎo)彈具有終端角度約束的制導(dǎo)問題，便于帶有復(fù)合制導(dǎo)系統(tǒng)的工程應(yīng)用。

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