鄭東方，陳紅坤，楊志平

（武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢430072）

自從采用交流電作為電能輸送的一種方式起，人們就已經(jīng)意識(shí)到電力系統(tǒng)中存在的諧波問題。近年來隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，大量的電力電子非線性設(shè)備接入電力系統(tǒng)中，使電力系統(tǒng)受到嚴(yán)重的污染，諧波問題更加突出。另外，隨著低碳經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來，國家大力開發(fā)風(fēng)能以及太陽能等清潔資源，并將風(fēng)電、光伏發(fā)電與傳統(tǒng)電網(wǎng)并網(wǎng)，使得系統(tǒng)中的諧波情況更加復(fù)雜，這些對(duì)電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定運(yùn)行造成了極大的危害。如何有效地對(duì)諧波進(jìn)行控制并確定諧波污染責(zé)任和治理責(zé)任，已成為電力系統(tǒng)和用戶共同關(guān)注的問題，而控制和改善諧波的前提就是對(duì)諧波源進(jìn)行準(zhǔn)確辨識(shí)[1]。

目前，電力系統(tǒng)中的典型諧波源，就其非線性特性而言有三類[2]：鐵磁飽和型，包括各種鐵芯設(shè)備，如變壓器、電抗器等，其鐵磁飽和特性呈現(xiàn)非線性，這種鐵芯的非線性磁化特性將引起諧波；電子開關(guān)型，主要為各種交直流換流裝置、雙向晶閘管可控開關(guān)設(shè)備以及脈沖寬度調(diào)制PWM（pulse width modulation）變頻器等電力電子設(shè)備；電弧型，交流電弧爐和交流電焊機(jī)等。

諧波源辨識(shí)最初是作為諧波潮流的逆問題提出的[3]。即通過測(cè)量電網(wǎng)中線路的諧波電流和部分節(jié)點(diǎn)的諧波電壓，采用狀態(tài)估計(jì)的方法計(jì)算負(fù)荷注入電網(wǎng)的諧波功率，當(dāng)注入的諧波功率為正時(shí)，則判定該負(fù)荷為諧波源。此外，瞬時(shí)功率理論也被運(yùn)用于諧波源辨識(shí)研究當(dāng)中，通過三相系統(tǒng)中特定節(jié)點(diǎn)處的濾波裝置數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)諧波的瞬時(shí)有功功率，來辨識(shí)電網(wǎng)中主要的諧波源。另外，有很多新的算法如線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等被應(yīng)用于諧波狀態(tài)估計(jì)中[4]，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)了相應(yīng)的程序和裝置用于實(shí)際電網(wǎng)中諧波源的辨識(shí)。另一類辨識(shí)諧波源的方法是通過研究電流波形和電壓波形之間的聯(lián)系，找出相應(yīng)的負(fù)荷參數(shù)作為判定諧波源的指標(biāo)。以上這些研究主要集中在狀態(tài)估計(jì)方法的基礎(chǔ)上，目的是利用盡可能少的測(cè)量裝置取得令人滿意的辨識(shí)效果，對(duì)于諧波源辨識(shí)的判據(jù)并沒有提出新的觀點(diǎn)。

獨(dú)立分量分析ICA（independent component analysis）是近年來發(fā)展起來的一種高效的盲源分離方法，描述了對(duì)未知源信號(hào)的估計(jì)重現(xiàn)過程，也可以作為一種抽取獨(dú)立信號(hào)源的技術(shù)，已在特征提取、語音識(shí)別、生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、通信等領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[5～7]。本文將電力系統(tǒng)諧波辨識(shí)的問題抽象為盲源分離問題，從而將獨(dú)立分量分析應(yīng)用于諧波辨識(shí)。和一般的盲源分離問題不同的是，基于對(duì)諧波干擾的先驗(yàn)知識(shí)有一定的了解，因而處理起來比較容易。本文以交流電弧爐和飽和變壓器為例在Matlab軟件中進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明，基于獨(dú)立分量分析的諧波辨識(shí)法具有很高的精度和抗噪性能。

1 獨(dú)立分量分析法

1.1 基本原理

獨(dú)立分量分析是盲源分離方法的一個(gè)重要分支，其主要思想是在對(duì)源信號(hào)及其傳輸通道均未知的情況下，使分離出來的獨(dú)立分量最大程度地逼近各個(gè)源信號(hào)，即建立目標(biāo)函數(shù)以尋優(yōu)來實(shí)現(xiàn)逼近。其簡(jiǎn)單原理框圖如圖1所示。

圖1 ICA的簡(jiǎn)單框圖說明Fig.1 Simple diagram shows of ICA

其中S ＝[s1，s2，…，sn]T是相互獨(dú)立的源信號(hào)，X＝[x1，x2，…，xm]T是觀測(cè)信號(hào)，每個(gè)觀測(cè)信號(hào)均由源信號(hào)線性加權(quán)得到，即：

式中A是m×n的混合矩陣，A和S 均未知，利用中心極限定理，即當(dāng)多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量具有有限的均值和方差時(shí)，則不論這些隨機(jī)變量服從何種分布，其和形成的隨機(jī)變量必近似服從高斯分布。由上式知，xi比si更接近高斯分布，換句話說，si比xi有更強(qiáng)的非高斯性。在分離的過程中通過測(cè)量si的非高斯性，當(dāng)si的非高斯性度量達(dá)到最大時(shí)，則說明源信號(hào)從觀測(cè)信號(hào)中分離。ICA 的方法正是通過對(duì)各獨(dú)立量進(jìn)行非高斯性度量，采用某種優(yōu)化方法求解混矩陣B，并令

使Y 盡可能的逼近S。有時(shí)解混過程又可以分為兩步—— 球化W 和正交變換U，球化的目的是使輸出Z的各分量的方差為1，而且互不相關(guān)；正交變換的目的是使輸出Y 的各分量的方差保持為1，同時(shí)使其各分量盡可能獨(dú)立。由于Z中的各分量已經(jīng)滿足獨(dú)立性對(duì)二階統(tǒng)計(jì)量的要求，因此正交變換時(shí)只需考慮三階以上的統(tǒng)計(jì)量，使算法得到很好的簡(jiǎn)化。

對(duì)于式（1），通常有以下3點(diǎn)約束：（1）源信號(hào)S 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；（2）源信號(hào)S 中至多有一個(gè)是服從高斯分布的；（3）觀測(cè)信號(hào)的個(gè)數(shù)不小于源信號(hào)的個(gè)數(shù)。

由上述分析可知，ICA 的主要任務(wù)是：首先建立以分離信號(hào)的獨(dú)立性為量度的目標(biāo)函數(shù)，目前常用的目標(biāo)函數(shù)有互信息、負(fù)熵、似然函數(shù)等[7]；其次是尋找優(yōu)化算法使目標(biāo)函數(shù)取得極值，常用的算法有極大峰度法、自適應(yīng)算法、探查性投影追蹤法等[8]。本文將采用基于負(fù)熵的ICA 固定點(diǎn)算法：FastICA 算法。

隨機(jī)向量y 的負(fù)熵定義為

式中yG為與y 具有相同的均值及方差的高斯分布的隨機(jī)向量；H（y）為概率密度為p（y）的向量y的信息熵：

由信息論的知識(shí)可知，在同方差的情況下，高斯信號(hào)具有最大的信息熵，所以負(fù)熵的值總是非負(fù)的，可以用來作為隨機(jī)向量非高斯量的度量。由于p（y）很難求出，所以無法計(jì)算出式（1.3）中的負(fù)熵J（y），從而無法判斷信號(hào)的非高斯性。負(fù)熵可以近似表示成下式[9]：

式中：k是正的常量；E（·）為均值運(yùn)算；v是一個(gè)與y 具有同均值同方差的高斯隨機(jī)向量。G（y）通常可取以下形式的函數(shù)：

以式（5）為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用FastICA 算法，通過迭代過程來調(diào)整B，使J（y）達(dá)到最大，收斂后可使Y 盡可能的逼近S。

1.2 Fast ICA算法的步驟

采用負(fù)熵作為判據(jù)時(shí)，由式（5）及yi＝Z得：

穩(wěn)態(tài)時(shí)Δui＝0，由此得到固定點(diǎn)迭代的兩步算式[10]：

由于第二步中有歸一運(yùn)算，所以第一步中的系數(shù)可以省略。為了改進(jìn)該算法的收斂性能，用牛頓迭代算法，并將上式等效地表示為[11]：

用牛頓迭代法求解，得：

由于Z是球化數(shù)據(jù)，再對(duì)上式進(jìn)行通分簡(jiǎn)化整理得：

總而言之，采用負(fù)熵的固定點(diǎn)算法的步驟可總結(jié)如下：

（1）將X 去均值，然后通過球化得到Z；

（2）任 意 選 擇ui的 初 值ui（0）， 滿 足‖ui（0）‖2＝1；

（3）令

（5）如不收斂，回到步驟（3）。

采用本算法的優(yōu)點(diǎn)是：由于采用牛頓法，使得收斂較有保證，可以證明它具有三階的收斂速度[10]；迭代過程中不需要引入調(diào)節(jié)步長(zhǎng)等人為設(shè)置的參數(shù)，因而更簡(jiǎn)單方便。

2 仿真

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，這里令si（t）為源信號(hào)中的一路單位信號(hào)，yj（t）為對(duì)應(yīng)的單位分離信號(hào)，殘差r（t）＝si（t）－yj（t），分離結(jié)果的優(yōu)劣用如下的誤差函數(shù)來評(píng)估：

單位最大絕對(duì)誤差：

單位平均絕對(duì)誤差：

單位均方誤差：

誤差越小，說明算法越有效。

2.1 諧波源信號(hào)仿真

對(duì)于交流電弧爐系統(tǒng)，由于其在煉鋼過程中的一些固有特點(diǎn)：電弧延遲發(fā)弧、電弧電阻的非線性、電弧游動(dòng)、冶煉過程中電極同爐料的接觸性短路、爐料的崩塌、爐料成分的氣化、氧化期內(nèi)被熔金屬的劇烈沸騰等原因，使得電弧爐的電弧電壓和電弧電流的變化很不規(guī)則，在此簡(jiǎn)化處理并由文獻(xiàn)[12]得到交流電弧爐的電壓變化曲線如圖2中U21所示；由文獻(xiàn)[13]得到飽和變壓器的電壓變化曲線如圖2中U22所示，縱坐標(biāo)為電壓信號(hào)，橫坐標(biāo)為時(shí)間。

圖2 交流電弧爐和飽和變壓器的電壓信號(hào)Fig.2 Voltage signals of AC－EAF and saturation transformer

為了模擬測(cè)量的電壓信號(hào)，在此用一個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的2×2矩陣對(duì)上述兩個(gè)電壓信號(hào)進(jìn)行線性疊加，得到測(cè)量的電壓信號(hào)如圖3U31、U32所示。

圖3 測(cè)量的電壓信號(hào)（Ⅰ）Fig.3 Measured signals of voltage（Ⅰ）

由圖3可知測(cè)量的電壓信號(hào)已完全失去諧波源信號(hào)的電壓特性，用ICA 的方法可以分離出諧波源信號(hào)，仿真參數(shù)G 采用式（6）的表達(dá)式，應(yīng)用本文算法得到分離后的電壓信號(hào)如圖4U41、U42所示。

圖4 分離的電壓信號(hào)（Ⅰ）Fig.4 Separated signals of voltage（Ⅰ）

由于在ICA 算法中，分離后的電壓信號(hào)與諧波源信號(hào)沒有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系[7]，所以要確定分離后得到的電壓信號(hào)所對(duì)應(yīng)的諧波源信號(hào)。為此構(gòu)造一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣[14]：

式中相關(guān)系數(shù)

由于越相似的電壓信號(hào)其相關(guān)系數(shù)越大，故由c1j可確定分離后的電壓信號(hào)中與第一個(gè)諧波源信號(hào)相對(duì)應(yīng)的電壓信號(hào)，c2j可確定分離后的電壓信號(hào)中與第二個(gè)諧波源信號(hào)相對(duì)應(yīng)的電壓信號(hào)，以此類推可將諧波源信號(hào)中各電壓信號(hào)辨別出來。應(yīng)用式（17）對(duì)上面分離后得到的電壓信號(hào)進(jìn)行計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)矩陣為

由此可知分離后的電壓信號(hào)U41對(duì)應(yīng)的是飽和變壓器的電壓信號(hào)U22，U42對(duì)應(yīng)的是交流電弧爐的電壓信號(hào)U21，由式（14）～（16）計(jì)算得到分離信號(hào)與源信號(hào)的誤差如表1所示。

表1 分離后電壓信號(hào)與諧波源信號(hào)的誤差Tab.1 Errors between the separated voltage signal and signal of harmonic source

由表1可知，該算法的單位最大絕對(duì)誤差依次為0.0101、0.0251，單位均方誤差更小，數(shù)量級(jí)為10－5，各相關(guān)系數(shù)接近1，說明該算法能夠很好地完成諧波源的辨識(shí)。

2.2 帶有噪聲的諧波源信號(hào)仿真

為了說明該算法在更復(fù)雜情況下的有效性，在2.1中兩個(gè)諧波源的基礎(chǔ)上再加上一個(gè)模擬諧波源的電壓信號(hào)，其表達(dá)式為

另外為了檢驗(yàn)該算法的抗噪性能，用一零均值的隨機(jī)信號(hào)來模擬系統(tǒng)中的噪聲，在此也將其看作一個(gè)諧波源信號(hào)，如圖5所示，U51～U54依次為交流電弧爐的電壓信號(hào)，飽和變壓器的電壓信號(hào)，及噪聲。用4×4的隨機(jī)矩陣對(duì)諧波源信號(hào)進(jìn)行線性疊加，得到測(cè)量的電壓信號(hào)如圖6U61～U64所示。

再用本文算法對(duì)測(cè)量的電壓信號(hào)進(jìn)行計(jì)算，得到分離后的電壓信號(hào)如圖7所示。

圖5 諧波源電壓信號(hào)（Ⅱ）Fig.5 Voltage signals of harmonic sources（Ⅱ）

圖6 測(cè)量的電壓信號(hào)（Ⅱ）Fig.6 Measured signals of voltage（Ⅱ）

圖7 分離的電壓信號(hào)（Ⅱ）Fig.7 Separated signals of voltage（Ⅱ）

應(yīng)用式（17）對(duì)分離后的電壓信號(hào)進(jìn)行計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)矩陣為

由相關(guān)系數(shù)矩陣可知分離后的電壓信號(hào)中U71與飽和變壓器的電壓信號(hào)對(duì)應(yīng)，U72與交流電弧爐的電壓信號(hào)對(duì)應(yīng)，U73與模擬諧波源的電壓信號(hào)對(duì)應(yīng)，U74與噪聲信號(hào)對(duì)應(yīng)。由式（14）～（16）計(jì)算得到分離信號(hào)與源信號(hào)的誤差如表2所示。

表2 有噪聲時(shí)分離后電壓信號(hào)與諧波源信號(hào)的誤差Tab.2 Errors between the separated voltage signal and signal of harmonic source with a noise

由表2可知，相對(duì)于2.1的仿真結(jié)果，有噪聲時(shí)分離后的電壓信號(hào)與諧波源信號(hào)的誤差增大，相關(guān)系數(shù)減小。但單位均方誤差仍能保持10－2的數(shù)量級(jí)，各相關(guān)系數(shù)也在0.95以上，誤差仍在可以接受的范圍內(nèi)。說明本文算法具有很好的魯棒性。

3 結(jié)語

本文將諧波源辨識(shí)問題抽象為盲源分離問題，并運(yùn)用該領(lǐng)域流行的獨(dú)立分量分析法進(jìn)行分析，通過仿真研究表明ICA 方法能夠分離多種不同類型的諧波源信號(hào)，可以準(zhǔn)確地對(duì)諧波源進(jìn)行辨識(shí)；即使是在有噪聲的條件下也能取得較好的抗噪效果，說明該方法具有很強(qiáng)的魯棒性。本文算法在電力系統(tǒng)應(yīng)用處于初級(jí)階段，在對(duì)具有復(fù)雜諧波源的網(wǎng)絡(luò)，還需要做更進(jìn)一步的研究。

[1]張哲，陳紅坤（Zhang Zhe，Chen Hongkun）.諧波源辨識(shí)研究的現(xiàn)狀和發(fā)展（Status and development of harmonic source identification）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU－EPSA），2005，17（5）：37－41.

[2]肖湘寧.電能質(zhì)量分析與控制[M].北京：中國電力出版社，2004.

[3]畢會(huì)靜（Bi Huijing）.供電系統(tǒng)諧波辨識(shí)的研究（The Study of Harmonic Identification of Power Supply System）[D].保定：華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院（Baoding：College of Electrical and Electronic Engineering of North China Electric Power University），2006.

[4]范沙浪（Fan Shalang）.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的諧波測(cè)量方法研究（Research of Harmonic Measurement Method Based on Neural Network）[D].西安：西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院（Xi＇an：College of Automation and Information Engineering of Xi＇an University of Technology），2005.

[5]吳強(qiáng)，王行愚（Wu Qiang，Wang Xingyu）.基于獨(dú)立分量分析的圖像融合算法（Image fusion algorithm based on independent component analysis）[J].計(jì)算機(jī)工程（Computer Engineering），2007，33（10）：220－221，224.

[6]劉洋，邱天爽，畢曉輝（Liu Yang，Qiu Tianshuang，Bi Xiaohui）.基于獨(dú)立分量分析和遺傳算法的誘發(fā)電位提取新方法（An ICA and genetic algorithm based EP extraction method）[J].中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào)（Chinese Journal of Biomedical Engineering），2007，26（3）：349－354.

[7]王毅，牛奕龍，陳海洋（Wang Yi，Niu Yilong，Chen Haiyang）.獨(dú)立分量分析的基本問題與研究進(jìn)展（Independent component analysis：problems and progresses）[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用（Computer Engineering and Applications），2005，41（27）：38－42，82.

[8]楊福生，洪波.獨(dú)立分量分析的原理與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[9]Hyvarinen Aapo.Survey on independent component analysis[J].Neural Computing Surveys，1999，2（4）：94－128.

[10]Hyvarinen A，Karhunen J，Oja E.Independent Component Analysis[M].Hoboken：John Wiley ＆Sons，2001.

[11]Hyv?rinen Aapo.Fast and robust fixed－point algorithm for independent component analysis[J].IEEE Trans on Neural Networks，1999，10（3）：626－634.

[12]王豐華（Wang Fenghua）.電弧爐建模研究及其應(yīng)用（Study of Modeling the Electric Arc Furnace and Its Application）[D].上海：上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院（Shanghai：School of Electronic Information and Electrical Engineering of Shanghai Jiaotong University），2006.

[13]劉衛(wèi)東，蘭之達(dá)，劉中岳，等（Liu Weidong，Lan Zhida，Liu Zhongyue，et al）.電力變壓器的非線性模型（Nonlinear models for power transformers）[J].東南 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)（Journal of Southeast University），1993，23（2）：82－89.

[14]王毅，牛奕龍，陳海洋.盲信號(hào)處理[M].北京：國防工業(yè)出版社，2006.