黃 沄，羅小華，張 鵬

(1.重慶郵電大學(xué)資產(chǎn)管理處，重慶 400065;2.重慶郵電大學(xué)光電學(xué)院，重慶 400065;3.重慶郵電大學(xué)教務(wù)處，重慶 400065)

0 引言

由于多渦卷混沌系統(tǒng)比傳統(tǒng)的單渦卷和雙渦卷混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，在保密通信和信息隱藏等領(lǐng)域具有更好的應(yīng)用前景，因此，構(gòu)造新的多渦卷混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)已成為目前混沌研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。

1993年，Sukens等［1］通過(guò)增加非線性函數(shù)曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)發(fā)現(xiàn)了多渦卷混沌吸引子，從此人們展開了對(duì)多渦卷混沌系統(tǒng)的研究。起初，都集中在研究只有一個(gè)非線性函數(shù)的多渦卷混沌系統(tǒng)，得到單方向多渦卷混沌吸引子［1－5］;2002年，文獻(xiàn)［6］提出了在多渦卷混沌系統(tǒng)中引入兩個(gè)或多個(gè)的相同類型非線性函數(shù)，獲得了網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子。之后又相繼提出大量的網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)［7－11］，擴(kuò)展和補(bǔ)充了多渦卷混沌系統(tǒng);2009年，一種含有不同類型的非線性函數(shù)的網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)被提出并研究［12］，進(jìn)一步補(bǔ)充和完善了多渦卷混沌系統(tǒng)。然而，對(duì)于含有光滑二次函數(shù)的多渦卷混沌系統(tǒng)還未見(jiàn)報(bào)道，顯然有必要對(duì)這類多渦卷混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究。

在文獻(xiàn)［9］的多渦卷混沌系統(tǒng)上添加了一個(gè)光滑二次函數(shù)，并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男薷?，得到了一個(gè)新的具有光滑二次函數(shù)的多渦卷混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)中同時(shí)含有光滑二次函數(shù)和三角波函數(shù)。分析了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為，包括平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖和Poincaré截面。最后，利用FPGA進(jìn)行了硬件實(shí)驗(yàn)，硬件實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致。

1 光滑二次函數(shù)的多渦卷混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)［9］的產(chǎn)生單方向多渦卷混沌吸引子的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

在(3)式和(4)式中，取a=0.2，b=0.8，c=2，d=0.25，β=0.02，m=1，2，…，M。系統(tǒng)(3)能產(chǎn)生 M+1個(gè)渦卷。當(dāng) M=1，2，3，4 時(shí)，系統(tǒng)(2)產(chǎn)生的2，3，4和5渦卷混沌吸引子如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(3)在y－z平面上的多渦卷吸引子Fig.1 Multi－scroll chaotic attractors of system(3)in y － z plane

2 系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為

2.1 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

表1 渦卷平衡點(diǎn)的特征值Tab.1 Eigenvalue of scroll equilibrium point

從表1可知，λ1為負(fù)實(shí)根，λ2和λ3是一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，因此，系統(tǒng)(3)的所有渦卷平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)的鞍焦點(diǎn)。

2.2 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

取M=4，系統(tǒng)(3)隨二次函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)a變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)(3)的lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.2 Lyapunov exponent spectrum of system(3)and its bifurcation diagram

2.3 Poincaré截面

以五渦卷為例，對(duì)系統(tǒng)(3)的Poincaré截面進(jìn)行數(shù)值模擬。取通過(guò)所有平衡點(diǎn)的面x－0.65y=0作為Poincaré截面，其在y－z平面上的Poincaré映射如圖3所示。從圖3可以看出，截面上的Poincaré映射是成片的密集點(diǎn)且分成5個(gè)部分，而每個(gè)部分的點(diǎn)向多個(gè)方向散開，表明系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

圖3 系統(tǒng)(3)的Poincaré截面Fig.3 Poincarémaps of system(3)

3 系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)

基于 IEEE－754 標(biāo)準(zhǔn)和 FPGA 技術(shù)［13］，對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行了硬件實(shí)驗(yàn)。

在用FPGA對(duì)系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)之前，必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散處理，采用Euler算法對(duì)系統(tǒng)(3)作離散化處理，系統(tǒng)(3)離散化后的方程為

圖4 利用FPGA對(duì)系統(tǒng)(6)進(jìn)行硬件設(shè)計(jì)的模塊簡(jiǎn)圖Fig.4 Module diagram of hardware designed for system(6)based on FPGA

圖4中，開關(guān)K置于位置1時(shí)，選擇系統(tǒng)初始值;置于位置2時(shí)，選擇系統(tǒng)迭代值。開關(guān)K1，K2，K3，K4控制系統(tǒng)產(chǎn)生渦卷的個(gè)數(shù)，當(dāng)開關(guān)K1置于位置1，K2置于位置2，K3置于位置2，K4斷開時(shí)，F(xiàn)PGA能產(chǎn)生二渦卷，如圖5a所示;當(dāng)開關(guān)K1和K2置于位置1，K3置于位置2，K4斷開時(shí)，F(xiàn)PGA能產(chǎn)生三渦卷，如圖5b所示;當(dāng)開關(guān)K1，K2和K3置于位置1，K4斷開時(shí)，F(xiàn)PGA能產(chǎn)生四渦卷，如圖5c所示;當(dāng)開關(guān) K1，K2和 K3置于位置1，K4閉合時(shí)，F(xiàn)PGA能產(chǎn)生五渦卷，如圖5d所示。

圖5 FPGA產(chǎn)生的多渦卷混沌吸引子Fig.5 Multi－scroll chaotic attractor generated by FPGA

從圖1和圖5可以看出，利用FPGA產(chǎn)生的多渦卷吸引子與數(shù)值仿真結(jié)果相一致。

4 結(jié)論

構(gòu)造了一個(gè)含光滑二次函數(shù)和分段函數(shù)的多渦卷混沌系統(tǒng)。分析了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，對(duì)系統(tǒng)的多渦卷混沌吸引子和Poincaré截面的數(shù)值仿真，呈現(xiàn)出了其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。最后，利用FPGA對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了硬件實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致。另外，值得注意的是對(duì)該系統(tǒng)的構(gòu)造方法還可用于其他多渦卷混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)而不失一般性。

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(編輯:田海江)