李響，柳長安，王澤江，張后軍

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081;2.西安航天動(dòng)力研究所，陜西 西安710100;3.中國空氣動(dòng)力學(xué)研究中心，四川綿陽621000)

0 引言

高超聲速飛行器一般指馬赫數(shù)Ma 為5 以上的飛行器，以吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的高超聲速導(dǎo)彈武器已經(jīng)成為目前的研究熱點(diǎn)［1］。

對(duì)吸氣式高超聲速導(dǎo)彈進(jìn)行考慮燃油經(jīng)濟(jì)性的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)，確定合理的飛行參數(shù)，是其方案彈道設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。文獻(xiàn)［2－3］討論的彈道優(yōu)化是無動(dòng)力的，不存在燃油經(jīng)濟(jì)性問題。文獻(xiàn)［4］中討論的月球軟著陸航跡設(shè)計(jì)問題雖然考慮了燃油的經(jīng)濟(jì)性，但此類飛行器的飛行環(huán)境(如不存在氣動(dòng)力)、飛行模式與動(dòng)力形式與本文討論的吸氣式高超聲速導(dǎo)彈完全不同。

本文討論的吸氣式高超聲速導(dǎo)彈在大氣層內(nèi)進(jìn)行有動(dòng)力飛行，彈道受到導(dǎo)彈自身的氣動(dòng)性能和動(dòng)力性能的綜合影響。具有較寬的飛行高度和速度范圍，其氣動(dòng)與動(dòng)力性能難以用解析式表達(dá)。因此首先計(jì)算了導(dǎo)彈的氣動(dòng)和動(dòng)力性能，在此基礎(chǔ)上，在給定燃油消耗總量的前提下，以最大巡航行程為目標(biāo)進(jìn)行了優(yōu)化，并對(duì)幾種不同巡航速度下的方案進(jìn)行了對(duì)比，計(jì)算結(jié)果可以為將來的研究和設(shè)計(jì)提供參考。

1 導(dǎo)彈氣動(dòng)與動(dòng)力性能的計(jì)算

1.1 氣動(dòng)性能

文獻(xiàn)［5］中提供了一高超聲速導(dǎo)彈的基本外形數(shù)據(jù)，該導(dǎo)彈具有面對(duì)稱構(gòu)形，細(xì)長彈身，薄翼型、小展弦比彈翼，已經(jīng)過吹風(fēng)試驗(yàn)。本文對(duì)其氣動(dòng)性能數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算校核，結(jié)果如圖1所示，α 為攻角，h為飛行高度。

圖1 導(dǎo)彈升阻特性Fig.1 Aerodynamic performances

1.2 動(dòng)力性能

吸氣式高超聲速導(dǎo)彈的動(dòng)力系統(tǒng)必須在較大空域及較寬速度范圍內(nèi)正常工作。本文中采用火箭基組合循環(huán)(RBCC)發(fā)動(dòng)機(jī)，這是一種較新的動(dòng)力形式，結(jié)合了火箭和沖壓2 種循環(huán)方式，吸取了各自的優(yōu)點(diǎn)，在高、低速情況下都有較好的性能。關(guān)于RBCC 的詳細(xì)介紹可參見文獻(xiàn)［5－6］.

SCCREAM (Simulated Combined－Cycle Rocket Engine Analyze Module)是目前國際上使用較廣的RBCC 性能計(jì)算平臺(tái)。其基于一維燃燒模型，在考慮了加質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)放熱、摩擦及變幾何截面積等因素下，能在整個(gè)方案設(shè)計(jì)階段根據(jù)給定的發(fā)動(dòng)機(jī)配置參數(shù)分析各種工作模態(tài)下發(fā)動(dòng)機(jī)性能隨馬赫數(shù)與飛行高度的變化關(guān)系。研究中采用文獻(xiàn)［8］中的RBCC 模型基本數(shù)據(jù)，并假定在Ma 為2.5 時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)由火箭引射模態(tài)轉(zhuǎn)化為亞燃沖壓模態(tài)，在Ma 為5.5時(shí)由亞燃沖壓模態(tài)轉(zhuǎn)化為超燃沖壓模態(tài)。如圖2所示計(jì)算得到的該模型的動(dòng)力性能。

圖2 動(dòng)力系統(tǒng)性能Fig.2 Performances of propulsion system

2 航程優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

僅考慮縱向平面內(nèi)的巡航航程優(yōu)化問題，由于本文研究的導(dǎo)彈飛行速度高，航程遠(yuǎn)，其動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)考慮地球的曲率和自轉(zhuǎn)，具體參見文獻(xiàn)［7］.

航程優(yōu)化設(shè)計(jì)以燃油經(jīng)濟(jì)性為目標(biāo)，具體定義為在給定可用燃油總量范圍內(nèi)，導(dǎo)彈的航程最遠(yuǎn)，同時(shí)在飛行過程中滿足攻角限制，如(1)式所示:

式中:v、θ、R0、h、α、分別是導(dǎo)彈速度、彈道傾角、地球半徑、飛行高度、攻角和燃油流量;α 和是控制變量，分別控制氣動(dòng)力和發(fā)動(dòng)機(jī)推力;αu、αl分別為攻角的上下限。

3 優(yōu)化方法

(1)式是Lagrange 型最優(yōu)控制問題，本文采用直接法求解，即將泛函優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)非線性優(yōu)化問題。

3.1 控制變量的參數(shù)化

直接法首先要解決的是控制變量的參數(shù)化描述，目前報(bào)道的有分段插值、Gauss 偽譜［8］、自適應(yīng)變結(jié)點(diǎn)樣條等方法［9］。本文中采用了非均勻有理B樣條(NURBS)進(jìn)行控制變量的參數(shù)化描述［10－11］。

一條k 次NURBS 曲線可表示為一分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù):

式中:ωi是控制點(diǎn)權(quán)因子，分別與控制點(diǎn)Pi相聯(lián)系;要求首末權(quán)因子ω0、ωn＞0，其余ωi≥0，ωi值越大，曲線越靠近該控制點(diǎn);Bi，k(u)是由節(jié)點(diǎn)向量U={u1，…，un+k－1}按de Boor－Cox 遞推公式?jīng)Q定的k 階規(guī)范B 樣條基函數(shù)［11］。

3.2 優(yōu)化算法

由彈道優(yōu)化的泛函優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化而成的參數(shù)優(yōu)化問題是復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題。對(duì)于這類問題，求得一個(gè)準(zhǔn)確的梯度是非常困難的，再加上這類問題一般都是多峰多谷的，對(duì)初值十分敏感，采用基于梯度的優(yōu)化算法解決這類問題是不合適的，在此情況下，選用了遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算［12］。在遺傳算法中需要解決的一個(gè)關(guān)鍵問題是設(shè)計(jì)變量的編碼，參照前文的敘述，根據(jù)若干時(shí)間點(diǎn)上的飛行器攻角αi及發(fā)動(dòng)機(jī)燃油流量，利用NURBS 曲線就可以描述控制規(guī)律，因而遺傳算法的編碼也是針對(duì)控制點(diǎn)上的值進(jìn)行的。在本文的工作中，采用實(shí)數(shù)編碼，需要特別注意的是由于飛行末時(shí)刻tf不確定，因而編碼的部分片段并不能對(duì)應(yīng)實(shí)際的飛行狀態(tài)，在遺傳算子操作過程中需要進(jìn)行相應(yīng)的處理，即采用標(biāo)志位標(biāo)記編碼有效長度，在進(jìn)行遺傳操作時(shí)僅對(duì)有效長度進(jìn)行交叉、變異操作。具體計(jì)算中，種群規(guī)模取為100，交叉概率取為0.8，變異概率取為0.2.

4 計(jì)算結(jié)果及討論

參照目前高超聲速飛行通常使用的載機(jī)掛飛后投放模式，該導(dǎo)彈的飛行任務(wù)假定如下，先通過載機(jī)掛飛到10 km 高度，Ma 為0.7，隨后被載機(jī)投放，發(fā)動(dòng)機(jī)立即起動(dòng)，并以火箭引射模態(tài)工作，使飛行器迅速進(jìn)入加速爬升狀態(tài)，爬升到35 km 時(shí)，轉(zhuǎn)入巡航狀態(tài)。當(dāng)速度達(dá)到Ma 為2.5，發(fā)動(dòng)機(jī)從火箭引射模態(tài)轉(zhuǎn)換到?jīng)_壓模態(tài)。假設(shè)初始質(zhì)量4 000 kg，巡航結(jié)束時(shí)質(zhì)量1 200 kg.推力參考面積取為1.2 m2，優(yōu)化后的結(jié)果如圖3所示，分別顯示了巡航速度Ma 為5、6、7 時(shí)的彈道、速度、燃油流量和攻角。

從圖3中可知，導(dǎo)彈的爬升段飛行持續(xù)時(shí)間在1 000 s 左右，在這段時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)彈快速地到達(dá)了預(yù)定高度35 km，后由于慣性等原因，在超過35 km 后逐步回調(diào)。分析認(rèn)為，該發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖在低空時(shí)比在高空時(shí)小，此外，高空氣動(dòng)阻力較小，因此，這種巡航方式有利于燃油在較高效率下使用。Ma 在4～6左右進(jìn)行調(diào)整后達(dá)到預(yù)定的巡航馬赫數(shù)。從圖2可知，在Ma 為4～5 時(shí)，比沖較大，導(dǎo)彈在這個(gè)速度范圍內(nèi)飛行有利于提高燃油效率，又由于導(dǎo)彈自身的慣性，在這個(gè)速度范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整是合理的。

圖3 優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Results of the optimization

圖3中的燃油流量有一個(gè)突降，這是因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)從火箭引射模態(tài)轉(zhuǎn)換到?jīng)_壓模態(tài)的緣故。

在總耗油量2 800 kg 的條件下，巡航速度Ma 為5 時(shí)導(dǎo)彈的航程最大，為2 611 km;而在巡航速度Ma為6、7 時(shí)，航程分別為2 510 km 和2 380 km.這應(yīng)該從導(dǎo)彈的氣動(dòng)性能及動(dòng)力性能進(jìn)行綜合分析。從動(dòng)力性能來看，速度Ma 為5 時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖較Ma為6 和7 高，而該導(dǎo)彈Ma 在4～8 范圍內(nèi)升阻比變化較小，如以0°攻角為例，在此范圍內(nèi)最大與最小升阻比分別為2.08 和1.83.由此也可根據(jù)Breguet航程方程定性地得出結(jié)論，就航程而言，以Ma 為5的速度巡航飛行較為經(jīng)濟(jì)。

5 總結(jié)與展望

1)考慮燃油經(jīng)濟(jì)性前提下，吸氣式高超聲速導(dǎo)彈速度不宜太高，而是應(yīng)綜合考慮給定導(dǎo)彈的氣動(dòng)升阻性能及動(dòng)力系統(tǒng)的高度速度特性，從而設(shè)計(jì)出合適的飛行參數(shù)與飛行軌跡。

2)RBCC 由于兼?zhèn)淞嘶鸺c沖壓2 種循環(huán)方式，能在較寬的高度及速度范圍內(nèi)保持較好的性能，適合作為吸氣式高超聲速導(dǎo)彈的動(dòng)力系統(tǒng)。

3)NURBS 方法有較強(qiáng)的自由曲線描述能力，采用NURBS 進(jìn)行控制變量的參數(shù)化描述能夠較精確地表達(dá)復(fù)雜的控制規(guī)律，在本文計(jì)算中取得了較好的效果。

4)目前的研究只考慮了航程最遠(yuǎn)，是單目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，而在某些情況下，還應(yīng)該考慮快速性、突防性能等，此時(shí)的彈道設(shè)計(jì)問題是一多目標(biāo)的優(yōu)化問題，如何在航程與速度之間取得折中，確定合理的飛行參數(shù)，對(duì)此將來還可以作進(jìn)一步的研究(甚至，動(dòng)力系統(tǒng)以及氣動(dòng)布局的設(shè)計(jì)也應(yīng)通盤考慮)。此外，由于本文主要考察的是燃油的經(jīng)濟(jì)性，因而設(shè)計(jì)模型中未考慮氣動(dòng)熱問題，在后續(xù)研究中也應(yīng)加以考慮。

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