何成銘，吳緯，孟慶均

(1.裝甲兵工程學(xué)院，北京100072;2.北京特種車輛研究所，北京100072)

0 引言

機械系統(tǒng)各組成單元及其失效模式之間具有復(fù)雜的相關(guān)性，這是機械系統(tǒng)區(qū)別于電子系統(tǒng)的顯著標(biāo)志之一，如何精確刻畫這種相關(guān)性是機械系統(tǒng)可靠性設(shè)計與分析中亟待解決的關(guān)鍵問題之一［1－2］。近年來，一些學(xué)者在金融、保險和工程等領(lǐng)域，應(yīng)用連接函數(shù)Copula 探討相關(guān)性，取得了較為滿意的效果［3－5］。文獻(xiàn)［6－9］探討了應(yīng)用Copula 函數(shù)及有關(guān)理論解決機械系統(tǒng)可靠性中的相關(guān)性問題，盡管探討只是初步的，還沒有達(dá)到實用的程度，但卻表明Copula 理論在解決機械系統(tǒng)可靠性相關(guān)性問題方面前景十分廣闊。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)構(gòu)建了基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型，并將其應(yīng)用于某型裝甲裝備懸掛系統(tǒng)的可靠性預(yù)計中。

1 理論依據(jù)

Sklar 在1959年指出，可將一個聯(lián)合分布分解為k 個邊緣分布和一個Copula 函數(shù)，這個Copula 函數(shù)可描述變量之間的相關(guān)性［10］。Copula 函數(shù)實際上是一類將聯(lián)合分布函數(shù)與它們各自的邊緣分布函數(shù)連接在一起的函數(shù)，因此，也將它稱為連接函數(shù)。

1.1 Copula 函數(shù)的定義與性質(zhì)

用Rn記拓展的n 維空間(n 是任意的正整數(shù))，a=(a1，a2，…，an)表示Rn中的點。對所有的k，如果都有ak≤bk，就說a≤b.對a≤b，用［a，b］=［a1，b1］×［a2，b2］×…×［an，bn］表示n 維立方體，其體積記為VC(［a，b］).

定義1［11］Copula 函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)C(·，…，·):

1)C(·，…，·)的定義域為In，即［0，1］n;

2)對In中的任意u，若u 中至少一個分量為0，則C(u)=0，若除uk外，u 中的所有分量都為1，則C(u)=uk;

3)對In中的a，b(a≤b)，VC(［a，b］)≥0，即C(·，…，·)有基底且是n 增函數(shù)。

定義2［11］若?(u1，u2，…，un)∈In，C1(u1，u2，…，un)≤C2(u1，u2，…，un)，則稱Copula 函數(shù)C1(·，…，·)＜C2(·，…，·)(或C2(·，…，·)＞C1(·，…，·))，記作:C1＜C2(或C2＞C1).

n 維Copula 的Freche－h(huán)oeffding 上、下界分別為

根據(jù)上述定義，可推導(dǎo)出Copula 函數(shù)(簡記為C)的一些基本性質(zhì)［3］:

1)對任意變量ui∈［0，1］，i =1，2，…，n，C(u1，u2，…，un)都是非減的;

2)C(u1，u2，…，0，…，un)=0，C(1，…，1，ui，1，…，1)=ui;

3)?ui，vi∈［0，1］，i = 1，2，…，n，均有|C(u1，u2，…，un)－C2(v1，v2，…，vn)|

4)C－＜C ＜C+;

5)若變量ui∈［0，1］，i =1，2，…，n 相互獨立，則記為C⊥.

1.2 Sklar 定理

定理［10］設(shè)H 是n 維分布函數(shù)，它的邊緣分布為F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·)，那么對Rn中的所有X，存在一個n 維Copula C，使得

如果F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·)連續(xù)，則C 是唯一的。否則C 的唯一性在RanF1× RanF2× … ×RanFn上確定。反之，如果C 是n 維Copula，F(xiàn)1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·)是分布函數(shù)，那么存在由(1)式定義的n 維分布函數(shù)H，它的邊緣分布為F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·).

推論［6］設(shè)X1，X2，…，Xn是隨機變量，它們的分布函數(shù)分別是FX1(x1)，F(xiàn)X2(x2)，…，F(xiàn)Xn(xn)，聯(lián)合分布函數(shù)為H(x1，x2，…，xn)，則存在一個n 維Copula C，使得(1)式成立。如果F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)n(xn)連續(xù)，C 是唯一的。否則C 的唯一性在RanF1×RanF2×…×RanFn上確定。

通過Copula 函數(shù)C 的密度函數(shù)c 和邊緣分布函數(shù)F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)n(xn)，可以方便地求出n 維分布函數(shù)H(x1，x2，…，xn)的密度函數(shù)

式中:ui= Fi(xi);c (u1，u2，…，un) =是邊緣分布Fi(xi)的密度函數(shù)，i=1，2，…，n.

根據(jù)Sklar 定理，利用Copula 函數(shù)，可將邊緣分布和變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開研究，且降低多變量概率模型建模和分析的難度。

2 基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型

2.1 基于Copula 的串聯(lián)機械系統(tǒng)可靠性模型

當(dāng)機械系統(tǒng)由n 個單元串聯(lián)而成時，設(shè)第i 個單元的壽命為Ti，F(xiàn)i(t)為Ti的分布函數(shù)，可靠度為Ri(t)=P(Ti＞t)=1－Fi(t)，i =1，2，…，n，串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為T =min (T1，T2，…，Tn)，T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布函數(shù)為H(t1，t2，…，tn)=P{T1≤t1，T2≤t2，…，Tn≤tn}.

由Sklar 定理，存在一個n 維Copula C，使得H(t1，t2，…，tn)=Cn(F1(t1)，F(xiàn)2(t2)，…，F(xiàn)n(tn))，式中Cn(·)表示n 維Copula C，因為Fi(t)連續(xù)，所以Cn(F1(t1)，F(xiàn)2(t2)，…，F(xiàn)n(tn))是唯一的。串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

式中2≤k≤n.

2.2 基于Copula 的并聯(lián)機械系統(tǒng)可靠性模型

對于n 個單元組成的并聯(lián)機械系統(tǒng)，設(shè)第i 個單元的壽命為Ti，F(xiàn)i(t)為Ti的分布函數(shù)，可靠度為Ri(t)=P(Ti＞t)=1－Fi(t)，i =1，2，…，n，并聯(lián)系統(tǒng)的壽命為T =max (T1，T2，…，Tn)，T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布函數(shù)為H(t1，t2，…，tn)=P{T1≤t1，T2≤t2，…，Tn≤tn}.

由Sklar 定理知，存在一個n 維Copula C，使得H(t1，t2，…，tn)=Cn(F1(t1)，F(xiàn)2(t2)，…，F(xiàn)n(tn)).

并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

當(dāng)各單元之間相互獨立時，由

至此，本文就建立了基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型，這樣就可在不研究多維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)的前提下，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腃opula 函數(shù)，來求解考慮相關(guān)性時機械系統(tǒng)的可靠性量值，從而有效解決機械系統(tǒng)可靠性建模難的問題。

3 基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型在可靠性預(yù)計中的應(yīng)用舉例

利用基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型，通過構(gòu)造能反映機械系統(tǒng)各組成單元相關(guān)結(jié)構(gòu)特征的Copula 函數(shù)，以單元壽命為基本輸入(假定各單元壽命分布規(guī)律已知)，可估計出Copula 模型的參數(shù)，從而預(yù)計機械系統(tǒng)的可靠性。下面以某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)為例說明基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型在可靠性預(yù)計中的應(yīng)用。

3.1 問題描述

由n 個單元組成的串聯(lián)機械系統(tǒng)，第i 單元的壽命為Ti，其分布函數(shù)(故障概率)記為Fi(ti)，可靠度Ri(ti)=1－Fi(ti).已知各單元壽命的一組觀測值(t1j，t2j，…，tnj)，j=1，2，…，w.試估計系統(tǒng)可靠度。

由(3)式，有

(5)式中，F(xiàn)i(t)可通過確定分布類型并估計其分布參數(shù)得到;先選擇合適的Copula 模型，由Copula 函數(shù)的性質(zhì)，估計出Cn(F1(t)，F(xiàn)2(t)，…，F(xiàn)n(t))的參數(shù)，令Fj(t)=1，j =ik+1，ik+2，…，n，就可以得到C(Fi1(t)，F(xiàn)i2(t)，…，F(xiàn)ik(t))，1≤i1＜i2＜…＜ik≤n，2≤k≤n.

因而利用基于Copula 的機械系統(tǒng)模型預(yù)計系統(tǒng)可靠度的基本步驟為:

1)確定邊緣分布，即單元壽命的分布類型Fi(t)，并估計其分布參數(shù);

2)選擇一個適當(dāng)?shù)腃opula 函數(shù)，使之能夠很好地描述各單元壽命之間的相關(guān)特征;

3)估計Copula 模型的參數(shù);

4)計算系統(tǒng)可靠度。

下面對上述各步驟分別進行闡述。

3.2 單元壽命分布類型的確定及其參數(shù)估計

機械產(chǎn)品的壽命比較適宜于用威布爾分布來描述，威布爾分布具有較強的適應(yīng)性，用三參數(shù)威布爾分布擬合機械產(chǎn)品壽命分布，更加符合實際，具有顯著的優(yōu)勢。因此，本文采用三參數(shù)威布爾分布來描述單元壽命。第i 單元的壽命分布函數(shù)(故障概率)和可靠度分別為

式中γi、mi、ηi分別為第i 單元壽命威布爾分布的位置參數(shù)、形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。文獻(xiàn)［12－13］對三參數(shù)威布爾分布提出了較為實用的參數(shù)估計方法。利用該方法可方便地求出3 個參數(shù)的估計值

3.3 Copula 模型的構(gòu)建

文獻(xiàn)［14］介紹了常用的Copula 函數(shù)，可根據(jù)需要選擇。鑒于機械零部件壽命之間的相關(guān)性通常表現(xiàn)為正相關(guān)，同時考慮到模型參數(shù)估計和計算簡便的要求，本文選用阿基米德Copula 函數(shù)族中的多元Gumbel Copula 函數(shù)。文獻(xiàn)［8］指出Gumbel Copula函數(shù)能夠比較準(zhǔn)確地刻畫機械系統(tǒng)的相關(guān)性。多元Gumbel Copula 函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

式中θ∈(0，1］為相關(guān)系數(shù)，θ=1 表示隨機變量u1，u2，…，un獨立，θ→0 表示隨機變量u1，u2，…，un趨向于完全相關(guān)。

令ui=Fi(ti)=1－e－(ti－γi)mi/ηmi，由(8)式有

再根據(jù)(5)式，系統(tǒng)可靠度為

需要先估計出(10)式所示Copula 函數(shù)中參數(shù)θ 的值而后令Fj(t)=1，j =ik+1，ik+2，…，n，將和各單元威布爾分布參數(shù)估計值代入(11)式，即可求解系統(tǒng)可靠度。

3.4 Copula 模型的參數(shù)估計

本文采用NLP－MLE 方法［12－13］對(10)式所建立的模型進行參數(shù)估計。這里以某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)為例，闡述上述Copula 模型參數(shù)估計方法。

已知某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)由平衡肘、扭力軸和液壓減振器組成(每臺裝備上各有10 件)。對5 臺裝備進行了壽命試驗，記錄了各單元的壽命數(shù)據(jù)，如表1～3 所示。

設(shè)扭力軸、平衡肘和液壓減振器的壽命分別為T1、T2、T3，均服從三參數(shù)威布爾分布，分布函數(shù)分別為F1(t1)、F2(t2)、F3(t3)，由(8)式有

由(9)式，可得到三元Gumbel Copula 函數(shù)的密度函數(shù)為

表1 某型裝甲車輛平衡肘的壽命數(shù)據(jù)Tab.1 Elbow balancer’s life data for some type of armored vehicle km

表2 某型裝甲車輛扭力軸的壽命數(shù)據(jù)Tab.2 Torsion bar’s life data for some type of armored vehicle km

表3 某型裝甲車輛液壓減振器的壽命數(shù)據(jù)Tab.3 Hydraulic shock absorber’s life data for some type of armored vehicle km

由(13)式可得到似然函數(shù)為

按照NLP－MLE 方法進行Copula 模型參數(shù)估計，需要先估計邊緣分布的分布參數(shù)，用NLP－MLE方法，可得到扭力軸、平衡肘和液壓減振器壽命威布爾分布的3 個參數(shù)，如表4所示。

表4 某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)部件壽命威布爾分布參數(shù)估計值Tab.4 Weibull distribution parameters estimating result of suspension system for some type of armored vehicle

將表4中的數(shù)值代入(14)式。估計參數(shù)θ 的實質(zhì)是尋找使(14)式取得最大值的，即將問題轉(zhuǎn)化為如下的非線性規(guī)劃問題:Excel的規(guī)劃求解功能，可求得=0.234.

以表1～3 中的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用Microsoft

3.5 預(yù)計系統(tǒng)可靠度

若要預(yù)計該懸掛系統(tǒng)在車輛行駛6 000 km 時的可靠度，將t=6 000 代入(16)式，得R(6 000)=0.532.

若不考慮單元之間的相關(guān)性，懸掛系統(tǒng)在車輛行駛6 000 km 時的可靠度

液壓減振器是懸掛系統(tǒng)中可靠性最低的單元，其在車輛行駛6 000 km 時的可靠度

記基于Copula 的系統(tǒng)可靠度為RC(t)，假設(shè)各單元相互獨立時的系統(tǒng)可靠度為RI(t)，薄弱環(huán)節(jié)理論對應(yīng)的系統(tǒng)可靠度為RW(t)，由上面實例的計算結(jié)果，RC(t)= 0.532，RI(t)= 0.425，RW(t)=0.535，則顯然有

這與可靠性界限模型的結(jié)論是一致的，從而也驗證了基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型的合理性。

部隊多年實際使用數(shù)據(jù)表明，該型裝備懸掛系統(tǒng)行駛6 000 km 的損壞率為48%，相當(dāng)于使用到6 000 km時懸掛系統(tǒng)的可靠度為0.520，略低于預(yù)計值0.532，剔除由于人為操作失誤和維修不當(dāng)?shù)纫蛩匾鸬膿p壞，可以認(rèn)為該模型與實際情況是基本吻合的。這就從理論和實踐2 個方面證實了模型的正確性與合理性。

4 結(jié)論

應(yīng)用Copula 理論進行機械系統(tǒng)可靠性建模及其預(yù)計，將機械產(chǎn)品壽命隨機變量的分布(邊緣分布)和變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開來研究，減小了多變量概率模型建模和分析的難度，并使建模和分析過程更加清晰。機械系統(tǒng)可靠性中的相關(guān)性問題是普遍存在、不能回避的，基于Copula 的機械系統(tǒng)可靠性模型的提出，為解決機械系統(tǒng)可靠性建模與預(yù)計難題提供了科學(xué)實用的方法。

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