姚寶鑫，杜子平

（天津科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，天津 300222）

0 引言

在套期保值中，不管是一種期貨對(duì)應(yīng)一種現(xiàn)貨的單品種期貨套期保值還是多種期貨對(duì)應(yīng)一種現(xiàn)貨的多品種期貨套期保值，在模型的計(jì)算和估計(jì)中，都會(huì)用到資產(chǎn)價(jià)格或是資產(chǎn)收益率的協(xié)方差或是相關(guān)系數(shù)，在傳統(tǒng)的期貨套期保值模型中，大多數(shù)會(huì)用到線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)；我們知道，金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)有時(shí)候是厚尾的，并不是線(xiàn)性相關(guān)的，如此以來(lái)，用線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)得到了結(jié)果往往并不是理想的結(jié)果，會(huì)有很大的偏差。

從現(xiàn)有的研究來(lái)看，一是大多數(shù)研究者采用一種期貨對(duì)一種現(xiàn)貨的套期保值，但這種保值方法不能很好的分散基差風(fēng)險(xiǎn)；二是雖然有學(xué)者用多元GARCH模型研究多品種套期保值[1]，但由于多元GARCH模型的參數(shù)本身估計(jì)缺陷，使模型的有效性較差；三是大多數(shù)的研究者用Copula理論研究期貨套期保值，基本局限在二元Copula的單品種期貨套期保值[2]，對(duì)于高維（多元）Copula函數(shù)在多品種套期保值研究較少。本文提出了藤結(jié)構(gòu)[3]Copula—GARCH模型一方面將套期保值模型的研究從單品種套期保值過(guò)度到多品種套期保值模型上，即多元Copula理論的多品種套期保值模型研究；另一方面利用藤結(jié)構(gòu)Copula—GARCH理論克服多元GARCH模型中的組合序列分布必須符合一個(gè)確定的橢圓分布和多元GARCH模型的相依關(guān)系局限于線(xiàn)性相關(guān)等缺陷問(wèn)題，同時(shí)藤結(jié)構(gòu)的應(yīng)用比較好的解決高維（多元）Copula函數(shù)描述尾部相關(guān)性只有一個(gè)參數(shù)，沒(méi)有考慮維數(shù)的影響問(wèn)題，也很好的解決了兩兩資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系，得到了很好的套期保值效果。

1 藤結(jié)構(gòu)Copula的構(gòu)建

在處理高維Copula模型的過(guò)程中，為了方便、準(zhǔn)確的估計(jì)多維變量之間的兩兩相關(guān)關(guān)系，我們將圖形建模工具中的“藤”的思想[7]用于解決高維Copula的相關(guān)關(guān)系；在藤結(jié)構(gòu)中比較常用的是Canonical藤和D藤。本文是研究?jī)煞N期貨對(duì)一種現(xiàn)貨的套期保值，即是三維空間變量的兩兩特征；由于Canonical“藤”和D“藤”在描述三維空間變量的圖形變化是一樣的，所以，可以用Canonical“藤”和D“藤”的任何一種，本文選用Canonical“藤”進(jìn)行建模。Canonical“藤”結(jié)構(gòu)如圖1、圖2和圖3所示(以四維為例)：

圖1

圖2

圖3

2 多品種最小方差套期保值模型的構(gòu)建

2.1 多品種期貨套期保值最小方差模型的建立

設(shè)多品種期貨套期保值的綜合收益率函數(shù)如下：

其中Rh是期貨和現(xiàn)貨的總收益率，Rs是現(xiàn)貨收益率，Rf是套期保值中不同期貨收益率組合成的收益率向量，H就是不同的期貨合約需要對(duì)用現(xiàn)貨套期保值比率所組成的向量H=(h1,h2,...,hn)。根據(jù)最小方差的原理，分別對(duì)（3）式兩邊同時(shí)取方差，得到以下結(jié)果：

其中Cov(Rfi,Rfj)為不同期貨之間的協(xié)方差，Cov(Rs,Rf)為期貨和現(xiàn)貨的協(xié)方差。對(duì)（4）式的向量H分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可知，二階導(dǎo)數(shù)是恒大于0的，故（4）式有最小值，即令一階導(dǎo)數(shù)為0，得到最小方差的套期保值比率如下：

對(duì)于本文考慮的是兩種期貨對(duì)應(yīng)一種現(xiàn)貨的的套期保值，可以將（5）式寫(xiě)成如下形式：

其中var(Rf1)和var(Rf2)表示兩種期貨收益率的方差；cov(Rf1,Rf2)表示兩種期貨的協(xié)方差；cov(Rf1,Rs)和cov(Rf2,Rs)表示兩種期貨分別和一種現(xiàn)貨的協(xié)方差。將（6）式變成如下形式：

圖4

圖5

2.2 Copula—GARCH模型的構(gòu)建

2.2.1 GARCH（p，q）模型定義如下：

2.2.2 Copula—GARCH模型定義如下

根據(jù)Copula理論和（8）中的GARCH模型，可知由一個(gè)Copula函數(shù)鏈接的各個(gè)變量的邊緣分布可以是任意的一個(gè)一元分布，因此可以將正態(tài)邊緣分布假設(shè)下的Copula—GARCH、Copula—GARCH-t和 Copula—GARCH-GED 模型結(jié)合起來(lái)，擴(kuò)展到N元Copula-GARCH模型的一般形式，若{y1t},{y2t},...{ynt}用GARCH過(guò)程來(lái)描述金融時(shí)間序列，結(jié)合Copula理論和GARCH模型可以得到N元Copula—GARCH模型如下：

其中Ct(*,...,*)表示任意一個(gè)N元的Copula的函數(shù)，F(xiàn)1(*),F2(*),...Fn(*)或是表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或是均值為0，方差為1的正規(guī)化t-分布或是正規(guī)化GED分布中的任意一種分布函數(shù)。即(ξ1t,ξ2t,...ξnt)或是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或是服從均值為0、方差為1的正規(guī)化t-分布或是服從正規(guī)化GED分布中的任意一種分布。

3 實(shí)證研究與分析

本文的多種期貨對(duì)一種現(xiàn)貨的套期保值是采用豆油期貨和豆粨期貨對(duì)大豆現(xiàn)貨進(jìn)行套期保值，數(shù)據(jù)采用大連商品交易所2010年1月5日至2010年9月14日171個(gè)交易日的豆油期貨和豆粨期貨結(jié)算價(jià)數(shù)據(jù)，大豆的現(xiàn)貨價(jià)格數(shù)據(jù)來(lái)自于中華糧網(wǎng)。豆粨的期貨合約是m1009，豆油的期貨合約是y1009。由于期貨市場(chǎng)和現(xiàn)貨市場(chǎng)的資產(chǎn)價(jià)格變化比較快，對(duì)信息也比較敏感，對(duì)一個(gè)要求較長(zhǎng)時(shí)期的套期保值者來(lái)說(shuō)，靜態(tài)套期保值比率已經(jīng)不能很好的反應(yīng)市場(chǎng)的變化，所以本文用動(dòng)態(tài)套期保值的方法來(lái)完成套期保值比率的估計(jì)。Chen S S[4]證明了套期保值比率一周變化一次是比較理想的。本文以60天的數(shù)據(jù)為步長(zhǎng)（一周的交易日是5天），計(jì)算第61天的套期保值比率的方法對(duì)2010年4月6日至2010年9月14日的大豆現(xiàn)貨進(jìn)行動(dòng)態(tài)套期保值。本文的實(shí)證中以第一周的套期保值比率估計(jì)為例（同樣的方法可以求出未來(lái)每一周的套期保值比率）。

3.1 期貨與現(xiàn)貨的數(shù)據(jù)整理

為了解決連續(xù)復(fù)利條件下的連續(xù)加減問(wèn)題，將期貨和現(xiàn)貨資產(chǎn)的結(jié)算價(jià)轉(zhuǎn)化成收益率時(shí)間序列：期貨收益率時(shí)間序列如（10）式所示，現(xiàn)貨收益率時(shí)間序列如（11）式所示。

所以期貨和現(xiàn)貨的價(jià)格和收益率如表1所示：

3.2 GARCH模型及其收益率分布的選擇

3.2.1 基本統(tǒng)計(jì)量的描述

金融時(shí)間序列的一個(gè)顯著特征是存在條件異方差，Engle（1982）[5]提出ARCH模型來(lái)刻畫(huà)時(shí)間序列的條件二階矩性質(zhì)，刻畫(huà)了波動(dòng)的時(shí)變性和集群性；Bollerslev（1986）[6]提出GARCH模型能更好的描述金融時(shí)間序列的異方差特性。期貨和現(xiàn)貨的基本統(tǒng)計(jì)量如表2。

表1

表2

從表2的基本統(tǒng)計(jì)量可以看出，偏度值都是負(fù)數(shù)，所以是左偏的，從值的大小可以看出豆粨的偏度比豆油和大豆的偏度要?。槐碇械姆宥戎刀际谴笥?，并且豆油和大豆的峰度大于豆粨的峰度值，說(shuō)明大豆和豆油更呈現(xiàn)出尖峰厚尾的的特征，而豆粨的峰度較正態(tài)分布凸起不是很明顯；最后根據(jù)JB（Jarque-Bera）統(tǒng)計(jì)量和其相伴概率檢驗(yàn)序列的觀測(cè)值是否符合正態(tài)分布，從表中的JB統(tǒng)計(jì)量的相伴概率可以看出，對(duì)于豆粨數(shù)據(jù)序列接受在1%顯著性水平的零假設(shè)，即序列服從正態(tài)分布，而對(duì)于豆油和大豆數(shù)據(jù)序列是拒絕在1%顯著性水平的零假設(shè)，即序列不服從正態(tài)分布的。

3.2.2 不同分布的GARCH模型的比較

根據(jù)（8）式中的GARCH模型設(shè)置金融時(shí)間序列符合不同的分布情況可以得到豆粨、豆油和大豆的三種不同分布的GARCH模型，整理如表3、表4和表5（下面的結(jié)果由Eviews6.0軟件產(chǎn)生）：

表3

表4

表5

從表3、表4和表5的ARCH檢驗(yàn)可以看出，豆粨、豆油和大豆的數(shù)據(jù)存在異方差，故用GARCH（1，1）模型對(duì)三種數(shù)據(jù)建模是合適的，同時(shí)根據(jù)對(duì)數(shù)極大似然率的選優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)和表3、表4和表5的數(shù)據(jù)，可以對(duì)豆粨數(shù)據(jù)時(shí)間序列用GARCH正態(tài)分布模型，豆油數(shù)據(jù)序列選用GARCH—GED模型，大豆數(shù)據(jù)序列選用GARCH—t模型。與此同時(shí)可以給出三種模型的均值方程和方差方程如表6所示。

根據(jù)豆粨期貨、豆油期貨和大豆現(xiàn)貨三個(gè)品種的GARCH模型，由Eviews6.0可以估計(jì)出豆粨期貨、豆油期貨和大豆現(xiàn)貨對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差回歸預(yù)測(cè)值分別為0.008962、0.008213、0.009086以及豆粨期貨、豆油期貨收益率的方差分別為0.00008183和0.00006986。即：

表6

3.3 藤結(jié)構(gòu)Copula函數(shù)的參數(shù)的估計(jì)

為了方便計(jì)算和估計(jì)藤結(jié)構(gòu)Copula函數(shù)的參數(shù)，本文使用阿基米德Copula函數(shù)族的Gumbel Copula函數(shù)。N元Gumbel Copula函數(shù)的表達(dá)式如（14）式所示。

其中Fi(xi)表示期貨和現(xiàn)貨序列的邊緣分布，cf1s、cf2s和cf1f2|s是Copula密度函數(shù)（可以根據(jù)（1）式求出），其余參數(shù)的含義與上文相同。根據(jù)藤結(jié)構(gòu)分解的Copula估計(jì)方法和步驟[7],，并將表六中的豆粨期貨、豆油期貨以及大豆現(xiàn)貨的GARCH模型的參數(shù)估計(jì)值帶入到（15）式，令對(duì)數(shù)似然函數(shù)值最大化后就可以得到參數(shù)估計(jì)的終值，本文用Matlab2010軟件工具編寫(xiě)完成。參數(shù)估計(jì)的終值如（16）式所示。

3.4 套期保值比率的計(jì)算

將（12）式、（13）式和（16）式的數(shù)據(jù)帶入到（7）中，就可以得到套期保值比率如（17式）所示。

所以，2010年4月6日期貨套期保值比率向量為H=（0.6757，0.1678），即豆粨期貨對(duì)大豆現(xiàn)貨的套期保值比率為0.6757；豆油期貨對(duì)大豆現(xiàn)貨的套期保值比率為0.1678。同理,可以求未來(lái)每周的套期保值比率：第二周H=（0.3541，0.2104）；第三周H=（-0.5249，0.2016）；第四周H=（0.8237,-0.3356），其余每周的套期保值比率同理可以計(jì)算出來(lái)。

4 模型的可行性分析

本文是多種期貨對(duì)一種現(xiàn)貨的交叉套期保值，為了進(jìn)行此模型的可行性分析，將此模型和一種期貨對(duì)應(yīng)一種現(xiàn)貨的單品種交叉套期保值模型和傳統(tǒng)的基于多元GARCH模型的多品種期貨套期保值模型進(jìn)行比較。套期保值的損益是每天期貨和現(xiàn)貨的損益和。其損益公式[8]如（20）式所示。為了減輕計(jì)算量，本文的可行性分析限定在前四周的套期保值情況。

4.1 縱向可行性分析

求出本文的豆粨期貨對(duì)應(yīng)大豆現(xiàn)貨的套期保值比率和豆油期貨分別對(duì)應(yīng)大豆現(xiàn)貨的單品種期貨套期保值比率。這種單品種的交叉套期保值的套期保值比率只是本文的一個(gè)特例，用二元Copula—GARCH模型就可以求出，不必要進(jìn)行藤結(jié)構(gòu)分解了；在這里求出的豆粨期貨對(duì)應(yīng)大豆現(xiàn)貨的套期保值比率和豆油期貨對(duì)應(yīng)大豆現(xiàn)貨的單品種交叉期貨套期保值比率分別為：0.5386和0.0983。

4.2 橫向可行性分析

對(duì)于多品種期貨交叉套期保值的傳統(tǒng)模型是用多元GARCH模型，將本文的模型和多元GARCH模型進(jìn)行比較，根據(jù)多元GARCH多品種套期保值模型［4］估計(jì)出豆粨期貨、豆油期貨對(duì)大豆現(xiàn)貨的前四周套期保值比率分別為H=（0.7052，02011）、（0.4096，0.1988）、（-0.5106，0.2381）、（0.7955，-0.3621）。

將以上數(shù)據(jù)帶入到（20）式可以得到前四周的總損益如表7所示。

表7

從表七中可以看出，不進(jìn)行套期保值是總損益為-117，損失是最大的，而進(jìn)行套期保值的總損益均比不進(jìn)行套期保值的損益較小，其中多元GARCH模型和本文模型能使總損益為正值，這兩種模型較好，但本模型更能好的分散基差風(fēng)險(xiǎn)，這也充分證明了本模型的有效性和可行性，取得了預(yù)期規(guī)避價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的效果。

5 結(jié)論

本模型的研究體現(xiàn)了多品種期貨套期保值分散基差的優(yōu)勢(shì)，并和傳統(tǒng)的單品中期貨套期保值模型以及基于多元GARCH模型的多品種期貨套期保值模型進(jìn)行了比較研究，證明了本模型的可行性和有效性，其特征主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）提出了動(dòng)態(tài)套期保值模型比率的計(jì)算方法，克服了靜態(tài)套期保值比率不能很好的適應(yīng)市場(chǎng)變化的缺陷，使套期保值者能根據(jù)市場(chǎng)情況隨時(shí)調(diào)整期貨套頭比率，作出更加符合實(shí)際的套期保值操作，把價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)控制在自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力之內(nèi)。

（2）應(yīng)用Copula理論進(jìn)行多品種套期保值，解決了統(tǒng)一形式的多元GARCH模型中的組合序列分布必須符合一個(gè)確定的橢圓分布和多元GARCH模型的相依關(guān)系局限于線(xiàn)性相關(guān)等缺陷問(wèn)題。本研究對(duì)兩種期貨和一種現(xiàn)貨分別用不同的分布描述其特征，很好的擬合了數(shù)據(jù)序列自身的特征，更加符合數(shù)據(jù)本身的特性。

（3）將Copula理論應(yīng)用在多品種期貨套期保值模型中，更好的反應(yīng)了期貨和現(xiàn)貨以及期貨和期貨之間的非線(xiàn)性特性，同時(shí)將Copula藤結(jié)構(gòu)的分解方法用于多元Copula函數(shù)的分解中，這樣避免多元Copula描述多種資產(chǎn)非線(xiàn)性相關(guān)特性時(shí)只有一個(gè)相關(guān)參數(shù)且不能很好反應(yīng)不同資產(chǎn)兩兩之間的尾部相關(guān)特征的特點(diǎn)，本文的通過(guò)藤結(jié)構(gòu)的分解，得到了基于Copula理論的期貨與期貨、期貨與現(xiàn)貨之間的兩兩非線(xiàn)性相依關(guān)系，將Copula理論從二元Copula的單品種套期保值擴(kuò)展到N元Copula函數(shù)的多品種套期保值，很好的擬合了期貨和現(xiàn)貨的非線(xiàn)性對(duì)沖和期貨與期貨之間的非線(xiàn)性疊加，提高了套期保值的準(zhǔn)確度。

（4）本研究是采用最小方差套期保值的思想進(jìn)行的多品種期貨套期保值研究，但在真實(shí)市場(chǎng)中投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度是不一樣的，以及是不是套期保值的期貨品種越多對(duì)套期保值者越有利呢，以及更多的（三種期貨以上的套期保值）期貨套期保值它們的相依關(guān)系如何處理等問(wèn)題，這些都是今后需要進(jìn)一步努力方向。

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