丁先文，鄒 舒，林金官

（1.江蘇技術(shù)師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，常州 213001；2.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 211189）

參數(shù)方法計(jì)算置信區(qū)間的理論和應(yīng)用已得到大量的研究成果，非參數(shù)方法計(jì)算置信區(qū)間近來得到許多統(tǒng)計(jì)工作者的研究和推廣，本文通過隨機(jī)模擬對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較研究。

1 經(jīng)典方法計(jì)算參數(shù)的置信區(qū)間

由引理2即可計(jì)算參數(shù)λ的置信度為1-α的置信區(qū)間。

2 Bootstrap方法

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)又稱任意分布檢驗(yàn)。它是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。如果在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，其總體分布不能用有限個(gè)實(shí)參數(shù)來刻畫，只能對(duì)它作一些諸如分布連續(xù)、有密度、具有某階矩等一般性的假定，則稱之為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)問題。這類檢驗(yàn)不對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行比較，而是用于分布之間的比較，檢驗(yàn)資料的總體分布型是任意的。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，有如下幾點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：(1)使用于任何分布的資料；(2)不受總體方差一致的限制；(3)可用于等級(jí)資料的統(tǒng)計(jì)分析；(4)有些問題本身沒有適當(dāng)?shù)膮?shù)檢驗(yàn)方法，而非參數(shù)檢驗(yàn)則恰能處理。

在構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間時(shí)，目前常用的非參數(shù)方法有經(jīng)驗(yàn)似然方法、Bootstrap方法、Jackknife方法等。由于非參數(shù)推斷不需知道總體的分布，因而在實(shí)際問題中得到廣泛的應(yīng)用。統(tǒng)計(jì)學(xué)中Bootstrap方法是指用原樣本自身的數(shù)據(jù)抽樣得出新樣本及統(tǒng)計(jì)量，它是根據(jù)給定的原始樣本復(fù)制觀測(cè)信息，不需要進(jìn)行分布假設(shè)或增加新的樣本信息，可對(duì)總體的分布特征進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，屬于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。Bootstrap方法的核心是利用自助樣本來估計(jì)未知概率測(cè)度的某種統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，基本思想是：在有n個(gè)原始樣本范圍內(nèi)作有放回抽樣，樣本容量仍然為n，原始數(shù)據(jù)中每個(gè)觀測(cè)對(duì)象被抽到的概率相等，為1/n，所得到的樣本稱之為Bootstrap樣本，于是每次觀測(cè)都可得到參數(shù)θ的估計(jì)值，重復(fù)B次，就可得到該參數(shù)的B個(gè)估計(jì)值，然后根據(jù)實(shí)際問題的需要，再作進(jìn)一步計(jì)算。

Bootstrap方法計(jì)算參數(shù)的置信區(qū)間可以采用標(biāo)準(zhǔn)Bootstrap、百分位數(shù)Bootstrap、t百分位數(shù)Bootstrap和修正偏差后的百分位數(shù)Bootstrap等四種方法來估計(jì)，本文以正態(tài)分布和Possion分布為例，采用百分位數(shù)Bootstrap方法計(jì)算參數(shù)的置信區(qū)間[2]。

3 模擬計(jì)算

3.1 模擬計(jì)算1

利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)產(chǎn)生一組均值為10，方差為4的樣本容量為30正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，分別用Bootstrap方法和經(jīng)典方法計(jì)算均值的置信區(qū)間，比較置信區(qū)間的長度差異。進(jìn)行一次抽樣，得到正態(tài)隨機(jī)數(shù)組如下：

11.1776 4.6553 12.8573 16.4942 7.2329 13.4320 15.0160 3.6251 4.2361 12.2846 8.4005 12.7600 13.2625 12.8476 15.1610 12.6744 14.7634 5.1902 9.9208 9.3731 3.5837 11.0292 5.7741 15.6606 6.7796 12.1150 10.8773 6.3124 1.3173 9.7632

計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 經(jīng)典方法與Bootstrap方法的比較

由表1可知：

(1)無論是經(jīng)典方法還是Bootstrap方法，隨著置信區(qū)間的置信度減小，區(qū)間的長度也減小，這與理論結(jié)果是一致的；

(2)對(duì)Bootstrap方法，計(jì)算的精度重復(fù)與重復(fù)抽樣的次數(shù)B有一定關(guān)系，但差別不大，選取適當(dāng)?shù)腂可以提高置信區(qū)間的精度；

(3)對(duì)正態(tài)分布而言，Bootstrap方法得到的置信區(qū)間的長度比經(jīng)典方法的大一些。

經(jīng)典方法的置信區(qū)間用于估計(jì)均值的波動(dòng)情況，與樣本容量有關(guān)，樣本容量越大，則區(qū)間長度越??；Bootstrap方法得到的區(qū)間長度稍大，用作對(duì)下一個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)比較合理。

3.2 模擬計(jì)算2

分別用Bootstrap方法和經(jīng)典方法計(jì)算Poisson分布中參數(shù)λ的置信區(qū)間，比較置信區(qū)間的長度差異[4]。

解：利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)產(chǎn)生一組Poisson分布P(4)的隨機(jī)數(shù)，如下所示：

4 4 8 1 9 2 2 3 9 4 3 2 4 2 3 4 6 6 4 3 3 2 3 0 23 2 4 3 3

計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 經(jīng)典方法與Bootstrap方法的比較

由表2可知：

(1)無論是經(jīng)典方法還是Bootstrap方法，隨著置信區(qū)間的置信度減小，區(qū)間的長度也減小，這與理論結(jié)果是一致的；

(2)對(duì)Bootstrap方法，計(jì)算的精度重復(fù)與重復(fù)抽樣的次數(shù)B有一定關(guān)系，但差別不大，選取適當(dāng)?shù)腂可以提高計(jì)算精度；

(3)對(duì)Bootstrap而言，Bootstrap方法得到的置信區(qū)間的長度與經(jīng)典方法沒有明顯的差異，選取合適的抽樣次數(shù)B，結(jié)果甚至優(yōu)于經(jīng)典的參數(shù)方法。

上例說明在Poisson分布場(chǎng)合，Bootstrap方法得到的置信區(qū)間的長度與經(jīng)典方法沒有明顯的差異。由于Bootstrap方法在計(jì)算置信區(qū)間時(shí)，不需要假設(shè)總體的分布已知，也不需要構(gòu)造樞軸量，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)論

本文通過對(duì)正態(tài)分布和Poisson分布分別用經(jīng)典方法和Bootstrap方法計(jì)算參數(shù)的置信區(qū)間，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較分析。由于Bootstrap方法在計(jì)算置信區(qū)間時(shí)，不必假定總體分布，不需構(gòu)造樞軸量及精度較好等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，Bootstrap方法的出現(xiàn)為解決實(shí)際問題提供了一種新的途徑，這在一定程度上為統(tǒng)計(jì)工作者提供了很大的方便。

[1]韋博成.參數(shù)統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2006.

[2]Bradley Efron，Robert J.Tibshirani.An Introduction to the Bootstrap[M].New York：Chapman&Hall,1993.

[3]趙慧琴.Bootstrap方法在區(qū)間估計(jì)中的應(yīng)用[J].江西科學(xué),2010,(4).

[4]姚源果，夏開萍，羅朝暉.Bootstrap方法下的Poisson分布置信區(qū)間的估計(jì)[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào),2008,(2).