馮長先， 單小磊， 王志謙

(1．蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070;2．蘭州交通大學 數(shù)理與軟件工程學院，甘肅 蘭州 730070)

齒輪高速轉動時，由于齒側間隙、時變嚙合剛度、內外部激勵以及安裝誤差等因素的存在，使輪齒間產(chǎn)生嚙合、脫和、再嚙合重復沖擊的強非線性振動，并在一定的參數(shù)條件下產(chǎn)生混沌運動，對齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性有著不良影響［1］。改善齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性的有效方法之一是抑制混沌運動，使系統(tǒng)運動回到周期的有序狀態(tài)。目前混沌控制已成為學者研究的一個熱點［2-7］。文獻［2］～文獻［4］分別將彈簧剛度反饋法、時滯控制法和耦合反饋控制法應用到一類單自由度振動碰撞系統(tǒng)，完成了將系統(tǒng)的混沌運動抑制到周期軌道的控制目標。文獻［5］分析了一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)，通過調節(jié)外加正弦驅動力，將系統(tǒng)混沌運動穩(wěn)定到周期軌道。文獻［6］運用OGY 控制原理，以混沌吸引子內部不穩(wěn)定周期軌道為控制目標，通過對系統(tǒng)外部激勵參數(shù)連續(xù)施加小擾動信號，實現(xiàn)了系統(tǒng)混沌運動的穩(wěn)定化，由于該方法需要精確的計算出不動點的位置以及目標周期軌道在Poincar˙e 截面上的穿越點，故很難應用于高維非線性系統(tǒng)。

因此，在文獻［7］自適應脈沖微擾法的基礎上，提出了根據(jù)系統(tǒng)運動與自適應速度k 的變化規(guī)律圖，有目的的選取k 值，從而將系統(tǒng)的混沌運動控制到不同的周期軌道。將該方法運用到間隙非線性齒輪系統(tǒng)，并且對加入高斯白噪聲后的系統(tǒng)進行了控制，數(shù)值模擬結果表明該方法設計的控制器結構簡單、反應靈敏、具有較強的魯棒性。

1 力學模型及其動力學方程分析

圖1 中T1，T2分別表示系統(tǒng)的輸入轉矩和負載轉矩;θ1，θ2分別表示主動輪和從動輪的扭轉角位移;I1，I2分別為主動輪和從動輪的轉動慣量; rb1，rb2分別為主、從動輪的基圓半徑;c 為輪齒嚙合的阻尼系數(shù);2δ 為沿嚙合線上的齒側間隙;e( τ) 為沿齒輪基圓切向度量的綜合誤差，e( τ) = eacos( wt +φc) ，ea為誤差激勵幅值，φc為誤差初相位角。

圖1 單級齒輪系統(tǒng)間隙非線性動力學模型

考慮時變嚙合剛度得到該模型量綱一化后的微分方程

將其化為狀態(tài)空間的微分方程組如下

其中

式中，x 為量綱一化位移;ζ 為量綱一化阻尼;k0為量綱一化時變嚙合剛度幅值;Fm為量綱一化內部平均載荷;Fah為量綱一化外部平均載荷;Ω 為量綱一化激勵頻率。

2 脈沖自適應控制

設n 維非線性系統(tǒng)為

式中，x = ( x1，x2，x3，…，xn) 為系統(tǒng)變量;f 為關于x 的非線性函數(shù);a = ( a1，a2，…，am) 為系統(tǒng)參變量。采用系統(tǒng)參變量脈沖控制混沌系統(tǒng)時，其控制算法可概述如下:

選擇系統(tǒng)某一參變量aλ(1 ≤λ ≤m) 作為微擾脈沖對象。從t0時刻開始，每隔Δt 時刻將a′加入到系統(tǒng)中，a′ 正比于參變量aλ的形式為

式中，h = 0，1，2，…，式中具有兩個可控參量:脈沖作用時間間隔Δt 和脈沖強度r。當Δt 和r 取得適當值時，就可以把混沌運動鎮(zhèn)定到周期軌道或不動點。其中，脈沖強度r 的選擇是實現(xiàn)控制的主要環(huán)節(jié)。

為此，設計自適應控制器˙r = kxij( i ∈［1，n］，j = 0，1，2，…) 來選取適當?shù)拿}沖強度r。系統(tǒng)參變量xi為自適應控制器的輸入變量，xi可以是x 的任意分量，k 為自適應速度。自適應控制器的表達式最終可表示為

式中，E 可為任意常數(shù)，j +1 為自適應控制器的階。j 在理論上可為無限大，但在實際應用時為了實施方便，既不失一般性，又避免選擇的參數(shù)過多，可取E = 0，且j 為低階。

3 數(shù)值模擬

取參數(shù)齒寬b =25 mm，間隙δ =0．01 mm，齒數(shù)z1=25，z2=25，模數(shù)m =3 mm。計算參數(shù)k =0．1，Ω =1．0，F(xiàn)m=0．1，F(xiàn)ah=0．2，初值矢量為(0，0)［8］。

系統(tǒng)隨阻尼比ζ 從0．05 至0．09 變化的分岔圖和最大lyapunov 指數(shù)圖如圖2 和圖3 所示。

當ζ =0．055 時，最大lyapunov 指數(shù)λmax=0．035 3，在此參數(shù)條件下系統(tǒng)為混動運動狀態(tài)，圖4、圖5分別為x1的相圖和時間歷程圖。

選取系統(tǒng)(2) 式中的ζ 作為微擾對象，以x2作為控制器的輸入變量。則自適應控制器的形式為:r =kx23/3( j = 2，E = 0) 。從t0時刻開始，在t0+ hΔt 時刻系統(tǒng)方程為

其余時間仍為(2) 式。

在使用自適應脈沖控制方法對混沌運動進行控制時，控制的另一個關鍵環(huán)節(jié)是如何選擇自適應速度k，不同的k 將得到不同的周期軌道控制目標。但若隨意選取k 后，其控制后的目標信息無法預測，更有可能無法達到控制的目的。因此，為了確切的對目標進行控制，避免對k 值的毫無目的的試探，通過對受控系統(tǒng)在Poincar˙e 截面上的信息來確定控制后的目標結果。圖6 是通過Poincar˙e 截面法獲得的受控系統(tǒng)在ζ = 0．055，其它數(shù)據(jù)同上的變化規(guī)律圖。

圖2 系統(tǒng)隨阻尼比ζ 的分岔圖

圖3 最大lyapunov 指數(shù)圖

圖4 ζ=0．055 相圖

圖5 ζ=0．055 時間歷程圖

采用四階Runge-kutta 法求解，步長0．01，開始控制時間n =3 000，為檢驗控制的穩(wěn)定性，共積分5 000 步，圖7 為h =2 的數(shù)值仿真結果，圖中數(shù)據(jù)從1 000 步開始截取。

通過對圖6 的分析，可以很方便的選取k 值來獲得目標軌道的周期數(shù)，由控制效果圖和相圖可以看出系統(tǒng)的混沌運動迅速的轉化為穩(wěn)定的周期運動。圖7 中( a)( b) ，( c) ( d) ，( e) ( f) 分別將混沌運動鎮(zhèn)定到周期二軌道、周期四軌道和周期八軌道的控制效果圖和相圖。經(jīng)過試驗還發(fā)現(xiàn)改變j 仍可以獲得不同的周期軌道，而且當j 逐漸增大，其他參數(shù)不變時，在一定程度上可以加快混沌運動穩(wěn)定到不動點或周期軌道的速度。

對于實際系統(tǒng)還應考慮安裝誤差，齒形誤差，及其它外界影響，假設系統(tǒng)(2) 的變量x2受到幅值為σ 的正態(tài)分布的高斯白噪聲，即

式中，N 為標準正態(tài)分布的高斯白噪聲序列，其均值為0，方差為1。取σ =0．01，k =0．01，系統(tǒng)在n =3 000時進行控制，圖中數(shù)據(jù)從n =1 000 開始截取，仿真結果如圖8 所示。

圖6 系統(tǒng)隨自適應速度k 的變化規(guī)律圖

圖7 選取不同的k 值將混沌運動控制到不同的周期軌道

將圖8( a) ( b) 和圖7( a) ( b) 比較可知，在系統(tǒng)受到噪聲干擾與未受干擾時的控制效果基本一致，這說明使用該方法控制混沌時能夠有效抑制噪聲干擾，具有一定的魯棒性。

另分別選取系統(tǒng)(2) 式中的pm和pah作為微擾對象，仍以x2作為控制器的輸入變量，其控制效果圖為圖9。

圖8 加入噪聲背景后的控制效果圖和相圖

圖9 控制效果圖

圖9( a) 中，k = -0． 1，σ = 0．01，共疊代9 000 步，數(shù)值從第1 000 步開始截取，從第3 000 步開始加入控制，5 000 ～7 000 為控制關閉，第7 000 步開始實施控制并加入高斯白噪聲;圖9( b) 中，k = -0． 07，σ = 0．01，共疊代10 000 步，數(shù)值從第5 000 步開始截取，從第6 000 步開始加入控制，6 000 ～7 000 為控制關閉，第8 500 步加入高斯白噪聲并重新實施控制。從圖中可以看出以pm和pah作為微擾對象，選取不同的k 值時，仍可以將系統(tǒng)的混沌運動鎮(zhèn)定到周期軌道，并在加入噪聲背景后具有較好的控制效果。

4 結論

基于間隙齒輪系統(tǒng)非線性動力學模型，采用自適應脈沖控制法，成功的將其混沌運動穩(wěn)定到周期軌道，對實際的齒輪傳動設計有一定的理論指導意義。該控制方法的主要原理是每隔Δt 對控制參量施加一次脈沖信號，數(shù)值模擬表明了該方法的有效性和較好的魯棒性，而且該方法還具有如下優(yōu)點:

(1) 該方法不必預先求出系統(tǒng)的不動點和周期軌道的詳細信息，也不必等到系統(tǒng)運行到控制目標附近時才施加控制，增加了可操控性。

(2) 該方法可以根據(jù)系統(tǒng)運動隨自適應速度k 的變化規(guī)律，來選擇預期的控制目標軌道，克服了只能用試錯法來不斷調整控制參量的缺陷。

(3) 可以通過改變控制器的參數(shù)來適當?shù)母淖兛刂祈憫乃俣?，適用于實時在線遞推處理，從而在工程中有一定的應用價值。

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