崔旭利，陳懷海，賀旭東，姜雙燕

(1.南京航空航天大學(xué) 振動(dòng)工程研究所南京 210016;2.飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

相對(duì)于單輸入單輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)芨玫啬M真實(shí)環(huán)境，提高對(duì)產(chǎn)品中的缺陷產(chǎn)品的檢測(cè)能力，因此多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注［1-5］。

頻響函數(shù)估計(jì)是多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制算法中的必要環(huán)節(jié)，對(duì)于M輸入和N輸出的系統(tǒng)，需要M+N路通道測(cè)量激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)，利用采集到的激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)做頻響函數(shù)估計(jì)。一般地，隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制算法不需要在隨后的“均衡”過(guò)程中修正頻響函數(shù)，那么這M路激勵(lì)信號(hào)測(cè)量通道將處于閑置狀態(tài)。另外在工程應(yīng)用中可能還需要若干路輔助通道用于監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的其它重要部位的響應(yīng)。在信號(hào)采集通道數(shù)目有限的條件下，工程應(yīng)用中需要節(jié)省激勵(lì)信號(hào)采集通道，將有限的通道都運(yùn)用到響應(yīng)信號(hào)的采集上。

激勵(lì)信號(hào)由頻響測(cè)量程序生成，數(shù)據(jù)存放在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中，然后經(jīng)由信號(hào)發(fā)送設(shè)備發(fā)送給振動(dòng)臺(tái)的功放。振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)由信號(hào)采集設(shè)備采集。利用內(nèi)存中的激勵(lì)信號(hào)和采集到的響應(yīng)信號(hào)作頻響函數(shù)估計(jì)可以節(jié)省激勵(lì)信號(hào)的采集通道。本文所使用的數(shù)字信號(hào)發(fā)送和采集設(shè)備是Agilent VXI數(shù)字信號(hào)發(fā)送和采集系統(tǒng)，它采用的是雙緩存方式發(fā)送信號(hào)，發(fā)送出去的激勵(lì)信號(hào)和采集到的響應(yīng)信號(hào)之間存在時(shí)間延遲，這個(gè)延遲量不是固定不變的，與試驗(yàn)程序中的參數(shù)設(shè)置，計(jì)算機(jī)運(yùn)行的速度等因素有關(guān)，因此無(wú)法在試驗(yàn)前得到延遲量，只能在根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得到。找到這個(gè)時(shí)間延遲量，確定激勵(lì)和響應(yīng)之間的時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系是本文研究的重點(diǎn)。

在多輸入多輸出頻響函數(shù)估計(jì)中，激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)都有多路信號(hào)。試驗(yàn)程序生成的各路激勵(lì)信號(hào)之間是同步的，VXI能夠保證采集到的各路響應(yīng)信號(hào)之間保持同步。每一路響應(yīng)信號(hào)中都有系統(tǒng)對(duì)所有激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)。因此只需選取其中一路激勵(lì)信號(hào)和一路響應(yīng)信號(hào)來(lái)分析，就可以確定所有通道信號(hào)的延遲量。在后文的理論部分中將針對(duì)單路信號(hào)進(jìn)行闡述。

隨機(jī)減量法［9］是從結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)中提取自由衰減信號(hào)的有效方法，在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別［10］中應(yīng)用廣泛。使用隨機(jī)減量法的關(guān)鍵在于隨機(jī)減量函數(shù)的觸發(fā)條件［11-12］，選擇合適的觸發(fā)條件，可以較好地提取結(jié)構(gòu)的自由衰減信號(hào)。

本文根據(jù)激勵(lì)和響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合隨機(jī)減量法，提出二次相關(guān)法。該方法可以準(zhǔn)確定位采集到的響應(yīng)信號(hào)和內(nèi)存中的激勵(lì)信號(hào)之間的時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系。文中在理論分析的基礎(chǔ)上給出了在三軸振動(dòng)臺(tái)上的對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了二次相關(guān)法作頻響估計(jì)的正確性。

1 基本理論

根據(jù)實(shí)際試驗(yàn)作如下假設(shè):激勵(lì)信號(hào)x(t)是由程序生成的零均值高斯白噪聲，可從計(jì)算機(jī)內(nèi)存中獲得，稱為內(nèi)存激勵(lì)信號(hào);采集得到的響應(yīng)信號(hào)記作y(t)。假設(shè)y(t)與x1(t)存在時(shí)間上對(duì)應(yīng)，x1(t)是x(t)的子信號(hào):

那么可以利用x1(t)是y(t)作頻響函數(shù)估計(jì)。

由振動(dòng)理論［6］可知:

其中t1≥0。x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)Rxy(η)［7］:

其中T為樣本長(zhǎng)度。為了后面證明方便，這里將內(nèi)存激勵(lì)信號(hào)x(t)和系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)的定義域擴(kuò)展如下:

將式(4)和式(5)代入式(2)和式(3)可得:

計(jì)算內(nèi)存激勵(lì)信號(hào)x(t)和響應(yīng)信號(hào)y(t)之間的互相關(guān)函數(shù)Rxy(η):

接著計(jì)算單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，(h(t)的獲取方法將在后面介紹)和Rxy(η)之間的互相關(guān)函數(shù)RhRxy(ξ):

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)［8］可得:當(dāng)ξ-t1-λ=0，Rhh(ξ-t1-λ)取最大值;當(dāng)λ=0時(shí)，Rxx(λ)取最大值，由于x(t)是白噪聲:

因此近似認(rèn)為:

那么將式(11)代入式(9)可得:

因此RhRxy(ξ)取最大值的條件是:

即，

通過(guò)尋找RhRxy(ξ)取最大值的時(shí)刻ξ，根據(jù)式(14)即可確定x1(t)在x(t)中的起始時(shí)刻t1，然后根據(jù)式(1)得到x1(t)，最后利用x1(t)和y(t)作頻響函數(shù)估計(jì)。

2 自由衰減響應(yīng)

運(yùn)用隨機(jī)減量法，從試驗(yàn)測(cè)得的響應(yīng)數(shù)據(jù)中提取自由衰減響應(yīng)?h(t)。

隨機(jī)減量法在應(yīng)用中的關(guān)鍵問(wèn)題是確定觸發(fā)條件，本文選取了目前應(yīng)用最廣泛的水平觸發(fā)條件［12］，并取觸發(fā)值為:

利用以滿足觸發(fā)條件的響應(yīng)信號(hào)點(diǎn)作為起始數(shù)據(jù)點(diǎn)，選取一幀長(zhǎng)度信號(hào)。通過(guò)對(duì)多幀信號(hào)求取算術(shù)平均得到(t)。由于(t)中存在測(cè)量噪聲，并非理想的單位脈沖響應(yīng)h(t)，但是(t)和h(t)都包含了系統(tǒng)的固有模態(tài)信息，用(t)代替h(t)代入式(9)，不影響式(14)的結(jié)果。

3 MIMO試驗(yàn)

利用二次相關(guān)法得到的激勵(lì)信號(hào)x1(t)和實(shí)測(cè)的響應(yīng)信號(hào)y(t)作頻響估計(jì)，估計(jì)結(jié)果記作G1(f)，其中f表示頻率，單位Hz。為了檢驗(yàn)二次相關(guān)法的效果，本文做了3輸入3輸出隨機(jī)激勵(lì)頻響估計(jì)試驗(yàn)，試驗(yàn)中采集并記錄了實(shí)測(cè)激勵(lì)信號(hào)x0(t)和實(shí)測(cè)響應(yīng)信號(hào)y(t)，并作了頻響估計(jì)，其結(jié)果記作G0(f)。

試驗(yàn)儀器:Shinken G-6080-3HT-020三軸振動(dòng)臺(tái)，Agilent VXI數(shù)字信號(hào)發(fā)送和采集系統(tǒng)，PCB加速度傳感器。試驗(yàn)設(shè)備和現(xiàn)場(chǎng)如圖1所示。

圖1 試驗(yàn)設(shè)備和現(xiàn)場(chǎng)Fig.1 Test instruments and test field

4 相位修正

在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)G1(f)和G0(f)之間存在隨頻率變化的相位差。通過(guò)儀器自閉環(huán)連接，發(fā)送和采集數(shù)據(jù)，并作頻響估計(jì)，其結(jié)果記作I(f)。理論上，I(f)在每個(gè)頻率上都應(yīng)該是幅值為1，相位為0的單位矩陣，但是試驗(yàn)結(jié)果表明，自閉環(huán)試驗(yàn)估計(jì)得到的頻響函數(shù)I(f)的相位與理論值存在隨頻率變化的相位差(見(jiàn)圖2)，且I(f)的所有對(duì)角元的這種相位差都相等。記錄這個(gè)相位差，并對(duì)G1(f)的所有元素的相位作修正后的到G2(f)。

圖2 自閉環(huán)頻響函數(shù)相位Fig.2 Phase of FRFs under closed loop connection

5 試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)二次相關(guān)法確定的時(shí)間t1，將實(shí)測(cè)激勵(lì)信號(hào)x0(t)和內(nèi)存激勵(lì)信號(hào)x(t)畫在一起(見(jiàn)圖3)，可以看到以t1為時(shí)間起點(diǎn)的內(nèi)存激勵(lì)信號(hào)x1(t)(虛線)與實(shí)測(cè)激勵(lì)信號(hào)x0(t)(實(shí)線)吻合得很好，x1(t)和x0(t)之間的微小差異是由VXI的相位滯后和測(cè)量噪聲等因素造成。

圖3 內(nèi)存激勵(lì)信號(hào)與實(shí)測(cè)激勵(lì)信號(hào)對(duì)比圖Fig.3 Compare between memory excitation signal and test excitation signal

根據(jù)得到的y(t)與x1(t)做頻響函數(shù)估計(jì)，得到G1(f)，其幅頻圖與真實(shí)頻響函數(shù)G0(f)的曲線基本吻合，而相頻圖與G0(f)存在一定的相位差，如圖4所示。

圖4中，虛線表示G0(f)的相位，實(shí)線表示G1(f)的相位。用自閉環(huán)試驗(yàn)測(cè)得的相位差對(duì)G1(f)作相位修正后，得到G2(f)。由于G2(f)和G0(f)非常接近，下面僅給出了G0(f)的結(jié)果。三輸入三輸出頻響函數(shù)G0(f)幅頻圖和相頻圖如圖5和圖6所示:

為比較G2(f)和G0(f)之間的差異，取:

圖4 頻響函數(shù)G0(f)和G1(f)的相頻對(duì)比圖Fig.4 Phase-frequency comparison maps of FRFs

其中g(shù)2，ij，g0，ij分別是G2(f)和G0(f)的第i行第j列上的元素。將dij(f)組裝成矩陣D(f)，D(f)反應(yīng)了G2(f)和G0(f)對(duì)應(yīng)元素的差異。D(f)的幅頻圖和相頻圖如圖7和圖8所示。

圖5 頻響函數(shù)G0(f)幅頻圖Fig.5 Amplitude-frequency maps of FRFs

在圖7和圖8中，D(f)矩陣的非對(duì)角元的幅值和相位在某些頻率相對(duì)較大，即G2(f)和G0(f)之間的幅值差異和相位差在這些頻率相對(duì)較大，這是由于G0(f)的非對(duì)角元的真實(shí)值較小，受到測(cè)量噪聲的影響所致。從D(f)可以看出G2(f)和G0(f)之間的差異很小，說(shuō)明采用二次相關(guān)法可以準(zhǔn)確有效確定響應(yīng)和激勵(lì)的時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而為工程應(yīng)用中節(jié)省激勵(lì)信號(hào)采集通道提供了可行的方法。

6 結(jié)論

本文根據(jù)線性系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系，結(jié)合隨機(jī)減量法，提出了二次相關(guān)法。找到了內(nèi)存激勵(lì)信號(hào)和實(shí)測(cè)響應(yīng)信號(hào)之間的時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系，并在試驗(yàn)中驗(yàn)證了該方法的有效性，從而節(jié)省了激勵(lì)信號(hào)測(cè)量通道，滿足了工程需要。

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