高 德，盧富德

(1.浙江大學(xué) 寧波理工學(xué)院，浙江 寧波 315100;2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，杭州 310027)

泡沫塑料材料由于質(zhì)輕，且具有良好的吸收能量特性，受到包裝工業(yè)領(lǐng)域的青睞［1］，其中發(fā)泡聚乙烯回彈性好，且不易損壞，便于重復(fù)利用，被廣泛用作緩沖包裝材料［2］，許多學(xué)者對(duì)發(fā)泡聚乙烯的力學(xué)行為進(jìn)行了研究，Loveridge［4］指出發(fā)泡聚乙烯具有穩(wěn)定的沖擊性能，且不依賴于氣孔的尺寸，并與聚氨酯泡沫的沖擊性能進(jìn)行了比較;Sombatsompop［5］研究了氣孔尺寸、試驗(yàn)速度對(duì)發(fā)泡聚乙烯的最大動(dòng)態(tài)疲勞應(yīng)力值的影響，并與靜態(tài)試驗(yàn)值做了比較;Marcondes［6］指出發(fā)泡聚乙烯比發(fā)泡聚苯乙烯受溫度的影響大，這對(duì)不同溫度下使用發(fā)泡聚乙烯作為緩沖材料的包裝系統(tǒng)提供了理論依據(jù);Ruiz-Herrero［7-8］研究了發(fā)泡不同密度下的發(fā)泡聚乙烯在沖擊下的力學(xué)行為，并與幾種簡(jiǎn)單理論模型進(jìn)行對(duì)比，得出絕熱與等溫模型并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合;Mills［9］基于有限元分析，利用規(guī)則開爾文泡沫模型預(yù)測(cè)發(fā)泡聚乙烯壓縮沖擊響應(yīng)。

以上研究中，主要用實(shí)驗(yàn)的方法研究發(fā)泡聚乙烯材料壓縮的力學(xué)性能，一些學(xué)者所建立的數(shù)學(xué)模型還不能直接用于緩沖包裝設(shè)計(jì)中，為此，Gao等［10］基于發(fā)泡聚乙烯的本構(gòu)關(guān)系，建立其單自由度緩沖模型并對(duì)緩沖材料進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，此文僅研究單自由度的簡(jiǎn)化包裝系統(tǒng)，而包裝系統(tǒng)通常為多自由度情況，所以本文研究發(fā)泡聚乙烯本構(gòu)關(guān)系在多自由度系統(tǒng)的緩沖包裝設(shè)計(jì)情況，并為其它緩沖材料在多自由度包裝設(shè)計(jì)中提供一般方法。

1 建立發(fā)泡聚乙烯緩沖材料本構(gòu)模型及參數(shù)識(shí)別

發(fā)泡聚乙烯緩沖材料測(cè)試:試樣截面積A為100 mm ×100 mm，厚度h為41 mm，密度為 0.044 g/cm3，動(dòng)態(tài)跌落沖擊試驗(yàn)機(jī)采用陜西科技大學(xué)生產(chǎn)的DY-3型，用USB2010高速A/D板采集跌落時(shí)的加速度信號(hào)。電荷放大器采用江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司生產(chǎn)的YE5852A型。測(cè)試時(shí)質(zhì)量m為10 kg重錘從跌落高度H為800 mm處自由釋放，當(dāng)重錘與發(fā)泡聚乙烯襯墊剛接觸為0時(shí)刻，x為襯墊的變形，測(cè)試示意圖如圖1所示。按ISO2233:2000標(biāo)準(zhǔn)預(yù)處理試樣，試驗(yàn)環(huán)境溫度:23℃，試驗(yàn)環(huán)境相對(duì)濕度為:53%。

圖1 測(cè)試示意圖Fig.1 Testing principle diagram

重錘連續(xù)4次沖擊發(fā)泡聚乙烯襯墊，每次的重錘最大加速度及發(fā)泡聚乙烯的剩余厚度，如表1所示，以第一次沖擊作用的重錘加速度峰值、材料殘余厚度為參考值，第二次、三次和四次與第一次沖擊作用的物品加速度相對(duì)誤差分別為2.97%、3.45%和3.69%;殘余厚度的平均相對(duì)誤差分別為0.51%、1.28%和1.28%。以上分析可見，沖擊次數(shù)對(duì)所研究的發(fā)泡聚乙烯包裝系統(tǒng)力學(xué)性能影響小，不像瓦楞紙板類十分依賴沖擊次數(shù)［11］。發(fā)泡聚乙烯所產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形即塑性變形小，是沖擊次數(shù)對(duì)發(fā)泡聚乙烯材料緩沖性能影響不顯著的原因。

基于以上分析，不考慮塑性的影響，以第一次沖擊時(shí)的加速度脈沖信號(hào)為處理對(duì)象，如圖2(a)中的實(shí)線所示，為了能夠顯示正值，圖形中顯示的是加速度脈沖的相反數(shù)。對(duì)加速度進(jìn)行積分得到速度如圖2(b)，再積分一次得位移如圖2(c)所示。

表1 四次連續(xù)跌落下的重錘最大加速度及發(fā)泡材料的剩余厚度Tab.1 The peak acceleration of falling mass and residual thickness of polyethylene foam under 4 time’s impact

圖2 加速度、速度、位移時(shí)域曲線Fig.2 Acceleration，velocity，displacement-time curves

應(yīng)變?chǔ)?t)由襯墊的幾何關(guān)系得到:

應(yīng)力σ為:

本文所定義的應(yīng)變與應(yīng)力，正值表示材料受壓，負(fù)值表示材料受拉;由于重錘加速度脈沖在材料受壓階段，所以本文不考慮材料受拉。

應(yīng)變率為:

由圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)及式(1)、式(2)與式(3)得應(yīng)力 -應(yīng)變率曲線、應(yīng)力 -應(yīng)變曲線，分別如圖3(a)、圖 3(b)所示。

圖3 應(yīng)力-應(yīng)變率及應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain rate curves and stress-strain curves

圖3(a)所示的應(yīng)力-應(yīng)變率曲不對(duì)稱，導(dǎo)致圖3(b)所示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線有滯后現(xiàn)象，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線趨勢(shì)，用a1ε2+a2項(xiàng)表示圖3(b)的滯后現(xiàn)象，以反映材料的粘滯性質(zhì);用a3ε+a4tan(a5ε)項(xiàng)表示應(yīng)力-應(yīng)變曲線的骨架，以反映材料的非線性彈性性質(zhì)。結(jié)合文獻(xiàn)［2］的模型，建立非線性粘彈性發(fā)泡聚乙烯的跌落沖擊模型如下:

運(yùn)用最小二乘法識(shí)別式(4)的參數(shù)為:

加速度-時(shí)間曲線及應(yīng)力-應(yīng)變曲線的理論計(jì)算值如圖4中的“o”型線所示。

圖4 加速度-時(shí)間曲線、應(yīng)力-應(yīng)變曲線的理論值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比:實(shí)線:實(shí)測(cè)值;“o”:計(jì)算值Fig.4 The comparison between calculated and measured values of acceleration and stress-strain curves solid lines:measured values“o”:calculated values

2 多自由度系統(tǒng)分析及緩沖包裝優(yōu)化設(shè)計(jì)

目前緩沖包裝設(shè)計(jì)中，常用緩沖曲線［12］來設(shè)計(jì)緩沖材料的尺寸，但此方法只能適用單自由度系統(tǒng)，而對(duì)兩自由度及其以上的包裝系統(tǒng)無能為力。本文為克服上述缺點(diǎn)，對(duì)多自由度系統(tǒng)的緩沖包裝設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，發(fā)泡聚乙烯多自由度包裝系統(tǒng)跌落示意圖，如圖5所示。

在圖5所示的包裝系統(tǒng)中，有n層緩沖，n個(gè)質(zhì)量快，mk-1與mk之間的緩沖襯墊為第k塊發(fā)泡聚乙烯(k=1，2，…，n，記m0為 0)的面積為Ak，，厚度為hk，。由式(1)，第k塊緩沖材料的恢復(fù)力如下:

圖5 發(fā)泡聚乙烯多自由度包裝系統(tǒng)跌落示意圖Fig.5 Drop schematic diagram of ulti-DOF EPE packaging system

式中:k=1，2，…，n，記x0=0。

根據(jù)牛頓定律，圖5所示的包裝系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

式(6)的初始條件為:

本文研究n層相同的物品，具有相同的質(zhì)量m，在跌落高度H下自由釋放，其物品所能承受的最大加速度為Gm(易損度)，對(duì)此多自由度系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化緩沖設(shè)計(jì)。要考慮的因素:第一物品最大加速度響應(yīng)值必須小于包裝物品的易損度，為了安全起見，小于給定的許用值。第二材料的用量最省。

設(shè)計(jì)目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型F(y)為:

式中:A0為包裝物品的最大底面積;ns為安全系數(shù);y為設(shè)計(jì)變量為第i個(gè)質(zhì)量塊的最大響應(yīng)加速度。

設(shè)計(jì)變量y為:

式(8)所表示的優(yōu)化函數(shù)為有約束多維優(yōu)化函數(shù)，需轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化函數(shù)，用混合罰函數(shù)方法［13］，求解式(8)約束優(yōu)化問題的算法如下:

① 給定設(shè)計(jì)變量y的初始值y(0)，罰因子r0＞0，縮小系數(shù)C＜1，及精度ε＞0，置k=0;

② 構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)

③ 用模式搜索法，以y(k)為出發(fā)點(diǎn)求解F1(y)的極小值，得到解，則停止迭代，否則令rk+1=crk，置k=k+1，轉(zhuǎn)②繼續(xù)。

3 優(yōu)化結(jié)果及模型驗(yàn)證

以發(fā)泡聚乙烯三自由度跌落包裝系統(tǒng)為例，質(zhì)量塊m1=m2=m3=m=3 kg，底面A0=0.015 m2，從跌落高度H=0.5 m自由下落，物品易損度Gm=80 g，設(shè)計(jì)安全系數(shù)ns=1.1，對(duì)此包裝系統(tǒng)進(jìn)行緩沖設(shè)計(jì)。

運(yùn)用混合罰函數(shù)方法，取初始點(diǎn)y(0)=［0.006;0.015;0.006;0.015;0.006;0.015］T，取罰因子r0=2，縮小系數(shù)C=0.5，精度δ=1.0e-4，所得到的優(yōu)化解，如表2所示

表2 緩沖結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Parameters optimization results of cushion strncture

運(yùn)用上述尺寸，進(jìn)行理論與試驗(yàn)驗(yàn)證，利用加速度傳感器，采集跌落后的信號(hào);運(yùn)用表2的尺寸，得到三自由度系統(tǒng)的三個(gè)質(zhì)量塊加速度響應(yīng)的理論值與試驗(yàn)值，如圖6所示。

圖6 加速度響應(yīng)試驗(yàn)值與理論值對(duì)比實(shí)線:計(jì)算值;虛線:試驗(yàn)值Fig.6 The comparison between measured and calculated values of acceleration response Solid lines:calculated value;Dotted lines:measured value

重物跌落后，第i個(gè)質(zhì)量塊加速度波形相對(duì)誤差eai為下式:

式中:Ni為第i個(gè)質(zhì)量塊的加速度時(shí)域在脈沖沖擊時(shí)間內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)(i，j)(i，j)分別為第i個(gè)質(zhì)量塊沖第j個(gè)采樣點(diǎn)的加速度的實(shí)測(cè)值與計(jì)算值。

由圖6，三自由度跌落，加速度響應(yīng)值的理論值與試驗(yàn)值吻合很好，由式(10)，得平均相對(duì)誤差均在0.8%以內(nèi)，其三個(gè)質(zhì)量塊的響應(yīng)加速度均小于許用值，因此，得出的優(yōu)化解是可靠的。

4 結(jié)論

(1)發(fā)泡聚乙烯緩沖材料跌落試驗(yàn)結(jié)果表明，沖擊次數(shù)對(duì)發(fā)泡聚乙烯的緩沖性能影響不顯著，并產(chǎn)生小塑性變形。各次最大加速度響應(yīng)與第一次比較，誤差在4%以內(nèi);材料的殘余變形在1.5%以內(nèi)。

(2)利用試驗(yàn)結(jié)果，依據(jù)粘彈性力學(xué)理論，建立了發(fā)泡聚乙烯本構(gòu)模型，即非線性粘彈性模型，成功識(shí)別了模型中的參數(shù)，模型理論值與試驗(yàn)值誤差在1%以內(nèi)。

(3)基于發(fā)泡聚乙烯緩沖材料本構(gòu)模型，運(yùn)用混合罰函數(shù)方法，對(duì)多自由度緩沖包裝系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。算例表明，優(yōu)化模型的最優(yōu)解，誤差在0.8%以內(nèi)。利用此設(shè)計(jì)方法可有效地避免欠包裝和過度包裝，克服了最大加速度-靜應(yīng)力曲線不能設(shè)計(jì)多自由度緩沖包裝設(shè)計(jì)的弊端。

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