羅俊杰，蘇 成，韓大建

（1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院 土木工程系，廣州 510640，2.亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640）

風(fēng)荷載是空間屋蓋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析的主要考慮因素。隨著結(jié)構(gòu)跨度不斷增加，其剛度的幾何非線性特征也愈加明顯。傳統(tǒng)頻域分析方法，只適用于線性結(jié)構(gòu)，無法滿足此類結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)分析、隨機(jī)分析和動(dòng)力可靠度分析的要求，這就需要進(jìn)行非線性時(shí)域分析。由此，對(duì)隨機(jī)風(fēng)荷載時(shí)程的有效模擬是影響時(shí)域分析準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素。

過去，作用于建筑結(jié)構(gòu)的脈動(dòng)風(fēng)壓過程被視為具有空間相關(guān)性的平穩(wěn)多點(diǎn)高斯隨機(jī)場(chǎng)。然而，由于屋蓋結(jié)構(gòu)的外形不可能呈現(xiàn)完美的流線型，導(dǎo)致來流風(fēng)在遇到結(jié)構(gòu)的迎風(fēng)面后產(chǎn)生分離現(xiàn)象；對(duì)于大跨度結(jié)構(gòu)而言，當(dāng)其順風(fēng)向的結(jié)構(gòu)尺度較大時(shí)，還有可能產(chǎn)生分離流重附著現(xiàn)象。經(jīng)過大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，Kumar和Stathopoulos等［1］提出利用脈動(dòng)風(fēng)壓樣本的偏斜度（Skewness，記為S）和峰態(tài)度（Kurtosis，記為K）這兩個(gè)高階統(tǒng)計(jì)量指標(biāo)來劃分高斯區(qū)域和非高斯區(qū)域。據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)，可認(rèn)為處于屋蓋結(jié)構(gòu)大部分相對(duì)較平緩區(qū)域的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)樣本屬于高斯區(qū)；在氣流的分離和重附著區(qū)域，隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)樣本則屬于非高斯區(qū)［2-5］。由此，構(gòu)成了一個(gè)空間相關(guān)的多點(diǎn)高斯/非高斯區(qū)域混合的隨機(jī)場(chǎng)。

目前，對(duì)這類隨機(jī)場(chǎng)的模擬方法主要有相關(guān)性變形法［6］，譜校正法［7］等。這些方法為了滿足實(shí)測(cè)樣本的統(tǒng)計(jì)特性（即功率譜密度函數(shù)和概率密度函數(shù)等）要求，在通過保持其中一個(gè)函數(shù)不變的前提下，不斷修正模擬樣本，使另外的一個(gè)函數(shù)逼近目標(biāo)函數(shù)。由此，需要不斷生成新的隨機(jī)樣本。對(duì)于具有多個(gè)樣本點(diǎn)的風(fēng)壓場(chǎng)而言，不但計(jì)算效率不高，而且有可能由于兩個(gè)函數(shù)的不相容而導(dǎo)致算法的不收斂現(xiàn)象［6］。

本文基于零記憶非線性轉(zhuǎn)化法［8］（ZMNL）理論，介紹這類隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)的具體模擬過程。針對(duì)隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)樣本服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布和韋布爾分布的情況，推導(dǎo)了多點(diǎn)非高斯隨機(jī)過程與相應(yīng)高斯隨機(jī)過程間的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差轉(zhuǎn)化函數(shù)；并且提出通過修正分解譜密度函數(shù)的方法，解決利用諧波合成法模擬多點(diǎn)高斯隨機(jī)過程時(shí)，功率譜密度函數(shù)矩陣在某些頻率點(diǎn)出現(xiàn)負(fù)定的問題。最后，通過算例表明本文所提出方法的可行性與準(zhǔn)確性。

1 隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)模擬步驟

利用Kumar和Stathopoulos的劃分標(biāo)準(zhǔn)可以對(duì)隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)進(jìn)行方便的劃分。但是，為保證隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)的整體相關(guān)性以及數(shù)值模擬的穩(wěn)定性，本文假定整個(gè)風(fēng)壓場(chǎng)的樣本均服從同一類的非高斯分布。即使這樣，從后述的算例表明：對(duì)常用于描述隨機(jī)風(fēng)場(chǎng)的非高斯分布模型，如對(duì)數(shù)正態(tài)分布［2］或韋布爾分布［9］等，其偏斜度和峰態(tài)度也有可以符合Kumar等的劃分標(biāo)準(zhǔn)。要模擬這樣的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)，其樣本需要同時(shí)滿足特定功率譜密度函數(shù)的和概率密度函數(shù)的要求，而且還要保持各樣本間的空間相關(guān)性。本節(jié)著重介紹利用ZMNL理論模擬隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)樣本的過程。

假設(shè)具有m個(gè)空間點(diǎn)的平穩(wěn)隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)，可以視為m變量平穩(wěn)隨機(jī)過程向量［2］，可將它記為（t）=，（注：本文的“風(fēng)壓”是指無量綱的風(fēng)壓系數(shù)）。首先對(duì)它進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使之成為均值為0，方差為1的隨機(jī)過程向量Z（t）={z1（t），z2（t），…，zm（t）}T。ZMNL法的模擬思路是：生成高斯隨機(jī)過程向量樣本X（t）={x1（t），x2（t），…，xm（t）}T，然后利用以下公式：

得到非高斯隨機(jī)過程向量樣本。其中，gi（·）為轉(zhuǎn)化函數(shù)。很明顯，由此所得到的非高斯隨機(jī)過程只能滿足概率密度函數(shù)的要求，不能達(dá)到目標(biāo)功率譜密度函數(shù)的要求。此時(shí)，根據(jù)維納-辛欣定理，各點(diǎn)非高斯隨機(jī)過程構(gòu)成的功率譜密度函數(shù)矩陣SNG，可通過傅里葉變換轉(zhuǎn)化為協(xié)方差函數(shù)矩陣ξ。由其定義可知，它與相應(yīng)的高斯隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)矩陣ρ存在轉(zhuǎn)化關(guān)系。具體到矩陣中各元素間ξij和ρij的關(guān)系為：

其中：為書寫方便，此處用zi、xi（i=1，2，…m）代替zi（t）、xi（t）（下同）；μi、μj為非高斯樣本的均值；Φ［xi，xj，ρij］為非高斯隨機(jī)過程樣本的邊緣分布函數(shù)。公式（2）說明，只要確定了Φ［xi，xj，ρij］，便可用協(xié)方差函數(shù)為橋梁，得到各點(diǎn)高斯隨機(jī)過程和非高斯隨機(jī)過程間功率譜密度函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系。具體的模擬步驟見圖1。值得說明的是，為了數(shù)值求解的穩(wěn)定性，有必要將目標(biāo)功率譜密度函數(shù)SNG中的自譜密度函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，同時(shí)互譜密度函數(shù)也作相應(yīng)處理。由此得到標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ξ，其中各元素的定義域?yàn)椋?1，1］。

圖1 ZMNL法模擬步驟Fig.1 Simulation procedures of the ZMNL approach

2 標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)的確定

由于不同分布類型的ξ與ρ的轉(zhuǎn)化關(guān)系式并不一樣，在此推導(dǎo)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布和服從韋布爾分布的關(guān)系式。

2.1 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)

假設(shè)隨機(jī)過程服從正態(tài)分布N（bi，），bi，為其均值和方差。令=ln（zi-ai），則隨機(jī)過程zi服從具有三參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：

經(jīng)過詳細(xì)的推導(dǎo)，可得標(biāo)準(zhǔn)化互協(xié)方差函數(shù)ξij與ρij的轉(zhuǎn)化關(guān)系為：

當(dāng)i=j時(shí)，得到zi的標(biāo)準(zhǔn)化自協(xié)方差函數(shù)：

ξii和ξij構(gòu)成了非高斯樣本的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ξ，而ρii和ρij構(gòu)成高斯樣本的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ρ。需要指出的是，由于隨機(jī)變量經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理，故ξii和ξij的取值范圍為［-1，1］，而從式（5）和（6）可以看出，ρii和ρij的取值范圍不一定落于［-1，1］的區(qū)間內(nèi)，這就要研究參數(shù)c對(duì)ξ和ρ之間轉(zhuǎn)化關(guān)系的影響。

圖2為不同ci下對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化自/互協(xié)方差函數(shù)。其中，圖 2（a）表明，當(dāng)參數(shù)ci小于 0.1 時(shí)，ξii與ρii比較接近。隨著ci的增大，ξii與ρii僅僅在ρii=0和1兩點(diǎn)相交，其它地方都產(chǎn)生了不同程度的偏離。尤其在ρii=-1 時(shí)，ξii卻大于 -1，由于ρii的定義域?yàn)椋?1，1］，這說明在進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化自協(xié)方差函數(shù)轉(zhuǎn)換前，首先要確定ξii的下限值，以保證ρii處于定義域范圍內(nèi)。圖2（b）為相同ci對(duì)應(yīng)不同cj時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)化互協(xié)方差函數(shù)ξij。從中可以看出，ξij不但具有下限值，而且還具有上限值的要求。因此，當(dāng)根據(jù)ξ來求取ρ時(shí)，首先要對(duì)各個(gè)元素進(jìn)行上、下限檢驗(yàn)，以保證ρ的合理性。

2.2 服從韋布爾分布模型的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)

對(duì)服從韋布爾分布隨機(jī)過程zi的模擬要相對(duì)復(fù)雜一些。假設(shè)zi的三參數(shù)概率密度函數(shù)模型為：

其中：ai為位移參數(shù)；pi＞0為形狀參數(shù)；（qi）pi＞0為尺度參數(shù)。令wi=zi-ai，并假設(shè)ri是服從瑞利分布的隨機(jī)過程，根據(jù)文獻(xiàn)［10］有ri和wi之間的關(guān)系式為：

經(jīng)過推導(dǎo)，wi和wj的標(biāo)準(zhǔn)化互協(xié)方差函數(shù)ξij為［11］：

其中：Γ（·）為 Gamma 函數(shù)；2F1（·）表示廣義超幾何分布函數(shù)［12］；τij為隨機(jī)過程與的標(biāo)準(zhǔn)化互協(xié)方差協(xié)方差函數(shù)。當(dāng)求得τij后，還要知道它與服從瑞利分布隨機(jī)過程ri與rj的標(biāo)準(zhǔn)化互協(xié)方差協(xié)方差函數(shù)γij的關(guān)系。經(jīng)過推導(dǎo)，這個(gè)關(guān)系表達(dá)為：

從式（10）可看出，該式不涉及形狀參數(shù)pi與pj。經(jīng)過數(shù)值計(jì)算，該式在τij=1和τij=-1附近會(huì)出現(xiàn)一些奇異點(diǎn)。為使該式在定義域τij∈［-1，1］內(nèi)有意義，同時(shí)也為了減少計(jì)算量，可以用多項(xiàng)式擬合的方法得到其近似表達(dá)式。最后，ri用以下關(guān)系式求得：

其中：xi和yi為服從高斯分布N（0，2）的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)過程。由此可得到γij和服從高斯分布隨機(jī)過程xi與xj的標(biāo)準(zhǔn)化互協(xié)方差函數(shù)ρij的關(guān)系為［13］：

至此，服從韋布爾分布的隨機(jī)樣本的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ξ，經(jīng)過從ξ→τ→γ→ρ的轉(zhuǎn)化過程，就可以得到服從高斯分布的隨機(jī)樣本的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ρ。需要說明的是，根據(jù)式（9）、（10）和（12）可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)p是ξ和ρ之間的轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵因素。經(jīng)過研究表明，與2.1節(jié)討論的情況相似，當(dāng)根據(jù)ξ來求取ρ時(shí)，也需要對(duì)各個(gè)元素進(jìn)行上、下限的檢驗(yàn)，以保證ρ的合理性。

3 分解譜密度函數(shù)的修正

當(dāng)?shù)玫綐?biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ρ后，利用維納-辛欣定理，可求得相應(yīng)的功率譜密度函數(shù)矩陣SG，然后利用諧波合成法來生成高斯隨機(jī)場(chǎng)樣本。然而，雖然非高斯互譜密度函數(shù)矩陣SNG具有非負(fù)定的特點(diǎn)，在從ξ→ρ的轉(zhuǎn)化過程中，對(duì)于某些頻率點(diǎn)，受到參數(shù)的影響，會(huì)使矩陣ρ中各元素間的相關(guān)性發(fā)生不同程度的改變；此外，根據(jù)第2節(jié)分析可知，ρ的元素還有超出上、下限的可能。這些因素都會(huì)破壞SG的非負(fù)定性，最終導(dǎo)致某些頻點(diǎn)上的SG不能進(jìn)行Cholesky分解。因此，需要對(duì)SG在這些頻率點(diǎn)處的值進(jìn)行修正，以確保SG在整個(gè)頻率段范圍內(nèi)的非負(fù)定性。

具體的修正過程用以下例子來說明。選取具有四個(gè)空間點(diǎn)的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)為模擬目標(biāo)，其中前三個(gè)點(diǎn)處于非高斯區(qū)域，第四個(gè)點(diǎn)處于高斯區(qū)域，前四階的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表1。假定點(diǎn)3與其它點(diǎn)的風(fēng)壓樣本呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性，其它點(diǎn)間為正相關(guān)，而且四個(gè)點(diǎn)上的隨機(jī)過程樣本均服從韋布爾分布。各個(gè)點(diǎn)的風(fēng)壓譜函數(shù)取下述形式［14］：

其中：為各點(diǎn)隨機(jī)風(fēng)壓過程的方差；m1i、m2i為位置參數(shù)；n1i、n2i為形狀參數(shù)，具體取值見表2。隨機(jī)風(fēng)壓樣本間的互相干函數(shù)定義為指數(shù)形式：

式中：Δij為節(jié)點(diǎn)間的距離，在此假設(shè)為12 m；參考高度的風(fēng)速（z）=24 m/s；λij為指數(shù)衰減系數(shù)，取值如表2所示。

采用Cholesky分解算法按行進(jìn)行分解［15］，每完成一行分解就進(jìn)行相應(yīng)的修正，然后以修正后的結(jié)果為基礎(chǔ)，進(jìn)行下一行的分解。假定前三行的分解譜密度函數(shù)已經(jīng)過修正，為H'jk（j=1，2，3；k=1，…，j），然后得到未修正分解譜密度函數(shù)（i=1，…，4），即圖 4 中的UGH43、UGH44。其中，SG在某些低頻率點(diǎn)由于非線性的轉(zhuǎn)化關(guān)系而導(dǎo)致出現(xiàn)負(fù)定，在圖中以零值表示。需要說明的是，即使隨機(jī)過程樣本服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其分解譜密度函數(shù)曲線同樣會(huì)出現(xiàn)上述情況，在此不再贅述。以下對(duì)第4行的元素進(jìn)行修正，具體步驟為：

表1 樣本前四階統(tǒng)計(jì)參數(shù)目標(biāo)值及模擬值Tab.1 The first forth order of statistical parameters of target and simulating samples

表2 節(jié)點(diǎn)風(fēng)壓譜模型及相干函數(shù)模型參數(shù)Tab.2 Parameters of the power spectral function and coherence function

（2）第2列至第3列元素，要考慮到已經(jīng)修正的分解譜函數(shù)的影響，故表達(dá)為：

（3）平移該列曲線。如果M=0，則該列曲線不用平移；如果M＞0，則將連續(xù)的曲線整體前移M位，覆蓋原來的奇異值，得到新的函數(shù)曲線。這時(shí)，的尾端會(huì)出現(xiàn)M個(gè)空置值，可以根據(jù)曲線的發(fā)展趨勢(shì)，通過插值的方法補(bǔ)充完整。上述做法的目的在于保持函數(shù)曲線的連續(xù)性和平順。同時(shí)，可以重新求得前三列的互譜密度函數(shù)：

（4）第4列元素按

（5）修正第4列元素。由于上述平移過程的實(shí)質(zhì)是對(duì)該節(jié)點(diǎn)的自譜密度函數(shù)進(jìn)行的一次校正。這時(shí)求得：

同時(shí)可求得：

為便于計(jì)算機(jī)程序的編制，將上述流程如圖3所示。

圖3 分解譜密度函數(shù)修正的流程圖Fig.3 Flow chart of the modification of the factorized power spectral density function

圖4 節(jié)點(diǎn)4的分解自/互譜密度函數(shù)比較Fig.4 Comparisons of the factorized self-/cross-power spectral density functions of Point 4

圖5 修正后節(jié)點(diǎn)4自/互功率譜密度函數(shù)Fig.5 The self-/cross-power spectral density functions of Point 4 after modification

利用上述步驟，可以得到第四行的修正分解譜密度函數(shù)曲線，如圖4的MGH43、MGH44所示。從中可以看出，該方法不但修正了原曲線的奇異點(diǎn)，函數(shù)曲線也保持了相對(duì)完整和平順。圖5為利用修正后的分解譜密度函數(shù)，求得的譜密度函數(shù)曲線MPSDG4i（i=1，…，4）?？梢钥闯?，函數(shù)曲線的形態(tài)得以很好地保持；而且自譜密度函數(shù)值比互譜密度函數(shù)值都要大，這保證了Cholesky分解的順利進(jìn)行。值得說明的是，上述方法從物理意義上講，是為了調(diào)整作用在各空間點(diǎn)上隨機(jī)風(fēng)壓過程的空間相關(guān)關(guān)系，以保持非高斯風(fēng)壓場(chǎng)和由其轉(zhuǎn)化得到的高斯風(fēng)壓場(chǎng)的整體空間相關(guān)性。在修正了整個(gè)風(fēng)壓場(chǎng)的協(xié)方差函數(shù)矩陣后，利用諧波合成法可以獲得整個(gè)高斯隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)樣本X={x1，x2，x3，x4}T。再根據(jù)式（4）或式（8）與式（11），轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布或韋布爾分布的非高斯隨機(jī)風(fēng)壓過程樣本。

4 數(shù)值算例

經(jīng)過上述三方面的驗(yàn)證說明，所模擬的非高斯隨機(jī)風(fēng)壓時(shí)程既能滿足功率譜密度函數(shù)的要求，又能符合對(duì)概率密度函數(shù)的要求，同時(shí)還保持了隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)整體的相關(guān)性。因此，本文提出方法適用于空間多點(diǎn)相關(guān)的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)模擬。

需要指出的是，在實(shí)際結(jié)構(gòu)上需要模擬隨機(jī)風(fēng)壓過程的點(diǎn)有成百上千個(gè)，模擬所耗費(fèi)的時(shí)間主要取決于高斯樣本的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣的生成和利用諧波合成法生成高斯樣本這兩個(gè)方面。對(duì)于前者，從圖2可以看出，ξ隨ρ的增加而單調(diào)增加，這對(duì)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布和服從韋布爾分布模型的情況均成立。所以，對(duì)于相同參數(shù)下ξ與ρ的轉(zhuǎn)化過程，可以先求取若干個(gè)ρ值，再利用插值方法求取其它ρ值，這樣可以大大減少求取ρ值的時(shí)間。對(duì)于后者，可以采用文獻(xiàn)［15-16］中的方法來提高高斯樣本的生成效率，在此不在贅述。

5 結(jié)論

作用于屋蓋結(jié)構(gòu)上的隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)由呈現(xiàn)高斯和非高斯統(tǒng)計(jì)特性的區(qū)域共同構(gòu)成。采用非線性無記憶轉(zhuǎn)換法可以一次生成所需要的整體隨機(jī)場(chǎng)樣本，適合于多點(diǎn)非高斯隨機(jī)過程的模擬。本文詳細(xì)介紹了此法的模擬過程，并解決了其中兩個(gè)關(guān)鍵問題：

（1）以對(duì)數(shù)正態(tài)分布和韋布爾分布模型為例，推導(dǎo)了非高斯隨機(jī)過程轉(zhuǎn)化為高斯隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)化公式，并指出高斯隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差函數(shù)矩陣ρ中，各元素均要進(jìn)行上、下限的檢驗(yàn)。

（2）提出了分解譜密度函數(shù)修正法，保證了模擬高斯隨機(jī)過程時(shí)，功率譜密度函數(shù)矩陣的非負(fù)定性。經(jīng)過算例驗(yàn)證說明，利用本文方法所模擬的多點(diǎn)相關(guān)隨機(jī)風(fēng)壓場(chǎng)樣本，能同時(shí)滿足特定功率譜密度函數(shù)和目標(biāo)概率密度函數(shù)的要求。

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