張順浩，鄭鐵生

（1.朝鮮理科大學(xué) 數(shù)學(xué)及力學(xué)系，朝鮮平壤恩情區(qū)；2.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433）

在具有滑動(dòng)軸承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，油膜力是轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的主要因素之一。當(dāng)系統(tǒng)某些參數(shù)（旋轉(zhuǎn)速度，間隙等）改變時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生倍周期或概周期分岔直至進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。因此研究該類(lèi)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，穩(wěn)定性及其控制一直是轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的重要課題。國(guó)內(nèi)外許多文獻(xiàn)對(duì)該類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行了研究。Shen等［1］用基于變分不等方程的油膜力計(jì)算方法分析了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性；平衡轉(zhuǎn)子的Hopf分叉，不平衡轉(zhuǎn)子的周期振動(dòng)，概周期振動(dòng)和混沌振動(dòng)。徐小峰和張文［2］指出對(duì)于不平衡轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，隨著質(zhì)量偏心的增大，運(yùn)動(dòng)變得復(fù)雜，隨著轉(zhuǎn)速的增大，周期渦動(dòng)，倍周期分叉，混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)。近年來(lái)，應(yīng)用電磁力作為控制力源的電磁主動(dòng)控制引起許多學(xué)者的重視。Das［3］和 Chen-Chao Fan 等［4］在轉(zhuǎn)軸上設(shè)置了電磁激勵(lì)機(jī)，研究了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)振動(dòng)控制方法。利用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的周期振動(dòng)反饋信號(hào)和預(yù)知的反饋控制強(qiáng)度，實(shí)現(xiàn)激勵(lì)機(jī)極線圈電流的PD控制，使轉(zhuǎn)子和極表面之間的電磁力抑制轉(zhuǎn)子周期振動(dòng)的振幅，但未涉及系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的控制。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已被廣泛應(yīng)用模式識(shí)別和圖像處理，控制和優(yōu)化，預(yù)報(bào)和智能信息管理以及通信空間科學(xué)等領(lǐng)域［5-6］。Ramesh 等［7］把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟 OGY 控制方法和Pyragas的反饋控制方法分別結(jié)合，研究了VDP振動(dòng)子的控制問(wèn)題。譚文和王耀［8］用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了Henon映射混沌運(yùn)動(dòng)的控制。Qin等［9］提出了一個(gè)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制混沌舉動(dòng)的方法。這些方法所針對(duì)的非線性方程具有解析式簡(jiǎn)單，目的狀態(tài)明確的特點(diǎn)，因此其混沌運(yùn)動(dòng)也易于控制。

本文將Pyragas的反饋控制方法［10-11］和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，在反饋控制強(qiáng)度的計(jì)算上采用間接誤差計(jì)算的BP算法和自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的BP算法結(jié)合而形成的改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，不需要較多的系統(tǒng)先驗(yàn)知識(shí)，比如，油膜力的解析表達(dá)式，不穩(wěn)定周期軌道等，因而更能適應(yīng)工程轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)混沌振動(dòng)控制的實(shí)際要求。用此改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法研究了一個(gè)具有兩個(gè)自由度的非線性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的混沌振動(dòng)控制問(wèn)題，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制代替反饋控制強(qiáng)度的復(fù)雜計(jì)算過(guò)程。即當(dāng)嵌入在混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道未知的情況下，以系統(tǒng)輸出的混沌信號(hào)為網(wǎng)絡(luò)輸入，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)追尋滯延反饋控制強(qiáng)度，把反饋控制信號(hào)施加到轉(zhuǎn)子上以消除混沌運(yùn)動(dòng)，使嵌入在混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道回到穩(wěn)定周期軌道上。

1 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

Jeffcott剛性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中，O為軸瓦幾何中心，O-x1x2靜止坐標(biāo)系；Oj為軸頸幾何中心；Oc為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；G=1/（σm）為無(wú)量綱載荷；fx1和fx2分別為無(wú)量綱非線性油膜力的水平，垂直分量；ω為轉(zhuǎn)子角速度。

圖1 Jeffcott剛性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Configuration of Jeffcott rotor-bearing system

無(wú)量綱形式的Jeffcott剛性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

其中：

非線性油膜力和，由文獻(xiàn)［12-13］確定為：

其中：

2 控制系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)

根據(jù)非線性方程（1），變量x1，x2相互耦合。因此只針對(duì)一個(gè)變量實(shí)施反饋控制，就能達(dá)到控制系統(tǒng)振動(dòng)的目的，這樣在實(shí)踐中也更易于實(shí)行。反饋控制采用文獻(xiàn)［3-4］方案，如圖2所示。設(shè)x0（τ）是方程（1）的不穩(wěn)定周期軌道，并且系統(tǒng)已進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)x（τ）。我們的目的是通過(guò)實(shí)施反饋控制，使混沌運(yùn)動(dòng)重新回歸穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。

系統(tǒng)的反饋控制方程可寫(xiě)為：

其中Dxf（x0（τ），τ）為非線性函數(shù)f（x，τ）的雅可比矩陣，顯然它是T周期函數(shù)。根據(jù)Floquet理論，上述方程（3）有正規(guī)解 δx=exp（s，τ）y（τ），其中s為 Floquet指數(shù)，函數(shù)y（τ）為T(mén)周期函數(shù)。于是方程（2）中的反饋?lái)?xiàng)為：

從而得到方程（2）的周期變系數(shù)線性微分方程：

該方程的Floquet乘子λ=exp（sT）和反饋強(qiáng)度k之間滿足如下關(guān)系：

式（5）的Φ，Ψ分別為方程（3）和方程（4）的基本解矩陣，分別由下面的矩陣線性微分方程確定：

采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)的框圖和實(shí)現(xiàn)方案如圖2所示。

圖2 用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)框圖與反饋控制方案Fig.2 Diagram of chaos control system using neural net and feedback control scheme

上式中E為輸出層的學(xué)習(xí)誤差；0＜μ＜1為慣性系數(shù)，可提高收斂速度，抑制寄生振蕩，改善動(dòng)態(tài)性能；0＜γ＜1為學(xué)習(xí)率，為加快算法的收斂速度，令：

圖3 具有2層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)Fig.3 Back propagation neural net course

3 數(shù)值仿真

取m=70，σ =0.1，由文獻(xiàn)［13］可知：當(dāng) 0.05 ＜ ρ＜0.1時(shí)，系統(tǒng)（1）處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng) 0.1＜ρ＜0.245時(shí)，處于倍周期分叉狀態(tài)；當(dāng)0.245 ＜ρ＜0.26 時(shí)，處于概周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)0.26＜ρ＜0.37時(shí)，處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)0.37＜ρ＜0.5時(shí)，為周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)ρ=0.31 時(shí)，x1（τ），x2（τ），的時(shí)域波形，功率譜，軸心軌跡分別如圖4所示。

圖4 控制前的系統(tǒng)的響應(yīng)（ρ=0.31）Fig.4 The system response without control（ρ=0.31）

圖5 控制x1的過(guò)渡期和結(jié)束后的系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.5 The system response with control of x1

4 結(jié)論

本文采用改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，實(shí)現(xiàn)了剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的混沌振動(dòng)控制。當(dāng)無(wú)量綱偏心為ρ=0.31時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。引入滯延反饋控制，通過(guò)間接誤差計(jì)算的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)方法和自適應(yīng)學(xué)習(xí)率BP算法，獲得恰當(dāng)?shù)姆答伩刂茝?qiáng)度，使嵌入在混沌吸引子中的周期為2π的不穩(wěn)定周期軌道回到穩(wěn)定周期軌道上。在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中，根據(jù)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的輸出，自動(dòng)追尋滯延反饋控制強(qiáng)度。從數(shù)值仿真曲線可知，該方法具有控制反應(yīng)快，所施控制小的特點(diǎn)，控制效果跟控制變量的選擇無(wú)關(guān)。特別是，對(duì)工程實(shí)際轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，采用電磁激勵(lì)器控制，對(duì)于油膜力無(wú)解析表達(dá)式，而且不穩(wěn)定周期軌道未知的場(chǎng)合，該方法尤為有效。

［1］ Shen G Y，Xiao Z H，Zhang W，et al.Nonlinear behavior analysis of a rotor supported on fluid-film bearing［J］.Journal of Vibration and Acousti-cs，2006，128：35-40.

［2］徐小峰，張 文.一種非穩(wěn)態(tài)油膜力模型下剛性轉(zhuǎn)子的分岔和混沌特性［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2000，13（2）：247-253.

［3］Das A S，Nighil M C，Dutt J K.Vibration control and sta-bility analysis of rotor-shaft system with electromagn-eticexciters［J］.Mechanism and Machine Theory，2008，43：1295-1316.

［4］ Fan C C，Pan M C.Fluid-induced instability elimination of rotorbearing system with an electro-magnetic exciter［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2010，52：581-589.

［5］Yong K.Theory of intelligent neural network［M］.D.P.R.Korea Pyongyang University of Science Press：Kim Yong Hi，2009.

［6］王耀南.計(jì)算智能信息處理技術(shù)及其應(yīng)用［J］.長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社，1999.

［7］Ramesh M，Narayanan S.Chaos control of Bonhoeffer-Van der Pol oscillator using neural networks［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2001，12：2395-2405.

［8］譚 文，王 耀.非線性系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［J］.物理學(xué)報(bào)，2002，51（11）：2463-2466.

［9］ Qin W Y，Yang Y F，Zhang J F.Controlling the chaotic response to a prospective externalsignalusing backpropagation neural networks［J］.Nonlinear Analysis：Real World Application，2009，10：2985-2989.

［10］ Pyragas K.Continuous control of chaos by self-controlling feedback［J］.Phys Lett A，1992，170：421-428.

［11］ Hiroyuki N J.On analytical properties of delayed feedback control of chaos［J］.Phys Lett A，1997，232：207-210.

［12］黃文虎，夏松波，焦映厚，著.旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理論與方法［J］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［13］ Adiletta G，Guido A R，Rossi C.Chaotic motions of a rigid rotor in short journal bearings［J］.Nonlinear Dynamics，1996，10：251-269.