雷文平，韓 捷，陳 宏，鞏曉赟

（1.鄭州大學 振動工程研究所，鄭州 450001；2.鄭州大學 化工與能源學院，鄭州 450001）

影響系數(shù)法作為一種主要的轉(zhuǎn)子動平衡方法在工業(yè)現(xiàn)場使用廣泛［1］.由于影響系數(shù)法建立于線性假設(shè)的基礎(chǔ)之上，在應(yīng)用過程中仍然存在很多不足之處［2-3］.特別地，當轉(zhuǎn)子支撐的各向剛度存在明顯差異時，傳統(tǒng)的基于影響系數(shù)法的平衡效果不穩(wěn)定，會受傳感器影響，經(jīng)常發(fā)生以下現(xiàn)象：① 傳感器安裝方向不一樣，動平衡效果不一樣；② 利用某些特定方向上的傳感器會導致最后計算的配重大到無法實施。針對這一問題，屈梁生院士提出了全息動平衡方法［2］，采用雙傳感器的信息融合方法克服了單傳感器的片面性，得到了較好的應(yīng)用.然而全息動平衡技術(shù)建立在模態(tài)平衡法的基礎(chǔ)上，采用力和力偶分解的原理進行平衡，因而只能進行低階振型的平衡，對于超二臨界的轉(zhuǎn)子的平衡則不適用。本文在分析傳統(tǒng)影響系數(shù)法的弊端的基礎(chǔ)上，采用雙傳感器信息融合技術(shù)，并采用正進動來代替?zhèn)鹘y(tǒng)不平衡響應(yīng)進行影響系數(shù)法改進，取得了良好的效果。

1 傳統(tǒng)影響系數(shù)法的弊端

影響系數(shù)平衡法涉及以下方程［3］：

聯(lián)立方程（1）和方程（2），便可以求出A和U。因此，不平衡響應(yīng)（R和R'）的準確性決定了平衡結(jié)果的準確性。傳統(tǒng)方法不平衡響應(yīng)是采用單方向傳感器測量的，對于各向異性轉(zhuǎn)子來說，從同一截面x，y方向傳感器測得的不平衡響應(yīng)往往并不相同。從圖1中可以明顯看出，x方向響應(yīng)幅值要大于y方向，盡管x，y方向傳感器夾角為90°，其相位差并不為90°。

圖1 傳感器安裝方向與不平衡響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系Fig.1 The relation between installed direction of sensor and unbalance response

2 工頻軌跡的進動分解

按圖1的傳感器器安裝方式，設(shè)某測點x，y方向的工頻振動分別為：

式中，X，Y分別表示在x，y方向檢測到的信號幅值；φX、φY表示x，y方向的相位角，Ω表示轉(zhuǎn)速。定義：

則式（3）可以寫成：

將式（5）消去時間變量t可以得到一個橢圓軌跡，得到：

在運動學上，轉(zhuǎn)子沿橢圓軌跡的運動可看作是兩個頻率相同而進動方向相反的圓軌跡分運動的合成［4-6］：

用復平面上的點r（r=x+iy）表示橢圓上的一點，即：

式中：rfc和rbs分別為rf的實部和虛部，rbc和rbs分別為rb的實部和虛部，令φf和φb分別為正進動圓和反進動圓的初始相位角，Rf和Rb分別為rf和rb的模，有：

所以：

當Rf＞Rb時，轉(zhuǎn)子為正進動，Rf＜Rb時，轉(zhuǎn)子為反進動。當Rf=Rb時轉(zhuǎn)子的渦動軌跡為一直線。橢圓的長半軸RL和短半軸RS與兩個進動圓的關(guān)系為：

橢圓軌跡的偏心率為：

3 改進影響系數(shù)法

由文獻［3］可知：轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)過程中一般為同步正進動，即以正進動分量Rf為主。由式（12）、式（13）可知，隨橢圓軌跡的偏心率e的減小，反進動分量Rb越來越小，當e減至0時，Rb也減小為0，可見反進動分量與轉(zhuǎn)子不平衡不存在必然的聯(lián)系。實際上當轉(zhuǎn)子振動情況比較復雜、軌跡偏心率較大時，由于反進動的存在給轉(zhuǎn)子失衡量的估計帶來了不可忽略的干擾，造成了平衡的效率降低［7］。

圖2 單圓盤轉(zhuǎn)子在不同的不平衡力的作用下的軌跡和正進動分量Fig.2 Whirl orbit and forward precession component of rotor excited by different unbalance force

實驗中，在單圓盤轉(zhuǎn)子（具有一定的初始不平衡量）上施加質(zhì)量為 2 g，角度分別為 0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°的不平衡質(zhì)量后，轉(zhuǎn)子的渦動軌跡和正進動圓軌跡如圖2所示。相對于圖2（a）中的渦動軌跡來說，正進動分量圖2（b）更好地體現(xiàn)了不平衡狀態(tài)，正進動圓的半徑反映了不平衡量的大小，正進動角度反映了不平衡量的相位。

因此，改進影響系數(shù)法的基本思路是：將工頻正進動圓的幅值Rf作為不平衡響應(yīng)幅值，正進動相位角φf作為不平衡響應(yīng)的相位，即新的不平衡響應(yīng)Rf＜φf成為正進動不平衡響應(yīng)（Forward Precession Unbalance Response，F(xiàn)PUR），結(jié)合影響系數(shù)法采用計算機輔助型平衡過程來完成平衡。

4 數(shù)值模擬

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的有限元模型由方程（14）表示［1］：

其中：［M］，［C］，［G］，［K］分別表示質(zhì)量陣、阻尼陣、陀螺陣和剛度陣，Ω表示主軸的旋轉(zhuǎn)角速度，假定轉(zhuǎn)子繞Z軸旋轉(zhuǎn)，{q}=（rX，rY，θX，θY）T表示各個有限元節(jié)點的解，rX，rY分別表示X，Y方向的位移，θX，θY為繞X，Y軸的角位移，{f}={u}eiΩt代表不平衡力。在ANSYS中，可以用COMIN214來模擬軸承，它可以模擬各向異性的軸承.軸的模擬采用BEAM188單元，圓盤的模擬采用MASS21單元.建立模型后，可通過諧響應(yīng)分析解方程（14）求穩(wěn)態(tài)渦動響應(yīng)［8］。

本文建立的轉(zhuǎn)子-軸承模型如圖3所示，盤P1-P5的直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量分別為1.54×10-4kg·m2和2.94 ×10-4kg·m2。質(zhì)量為0.783 kg。軸承特性：kxx=2.63e+6 N·m-1，kyy=1.315e+6 N·m-1，kxy=kyx=-2.63e+5 N·m-1，由于不考慮阻尼影響，cxx=cyy=cxy=0。該模型的主要參數(shù)還包括：主軸總長度0.36 m，半徑為 0.004 8 m，楊氏模量 2.1e11 N·m-3，泊松比為 0.3，密度為 7 800 kg·m-3。轉(zhuǎn)子的第一，二階臨界轉(zhuǎn)速分別為1 921和7 238 r/min，對應(yīng)的反進動臨界轉(zhuǎn)速分別為1 883和6 472 r/min。沿軸的方向，從左到右，均勻分布13個節(jié)點，節(jié)點號分別為 S1，S2，…，S13.節(jié)點號在圖3 中標識.在節(jié)點3，5，7，9，11處建立圓盤.為了驗證改進方法的動平衡效果，設(shè)計了兩組實驗，分別采用了不同的初始不平衡分布和不同的平衡轉(zhuǎn)速進行轉(zhuǎn)子動平衡的數(shù)值模擬，初始不平衡量的分布情況如表1所示，實驗1和2的平衡轉(zhuǎn)速分別選為1 200、3 600 r/min，前者低于第一臨界轉(zhuǎn)速，后者位于第一、二臨界轉(zhuǎn)速之間。

表1 2組實驗對應(yīng)的初始不平衡量（單位：g∠°）Tab.1 Initial unbalance distribution（unit：g∠°）

實驗1中典型的平衡數(shù)據(jù)如表2所示，結(jié)果顯示改進方法與X，Y單方向計算結(jié)果相同，即當校正平面和不平衡平面正好相同的情況下改進方法與傳統(tǒng)方法具有相同的結(jié)果，同時作者分別用轉(zhuǎn)速2 400，3 600，4 800，6 000和7 200轉(zhuǎn)進行實驗，結(jié)論均一致.因為采用傳統(tǒng)方法時X，Y方向均得出了完全精確的結(jié)果，所以改進方法在這種情況下與傳統(tǒng)方法是兼容的。

在實驗2中，由于平衡分布較為復雜，校正平面仍然選為P2和P4，從表2中可以看出此時，采用X，Y單方向的平衡計算結(jié)果不再一致了，顯然實驗2更接近現(xiàn)場轉(zhuǎn)子的真實情況。由于，改進方法融合了X，Y兩個方向的結(jié)果。因此從平衡后的結(jié)果（表3和圖4）看，改進方法優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

表2 實驗1數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速：1 200 r/min）Tab.2 Experimental data 1（rotating speed：1200 r/min）

表3 實驗2數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速：3 600 r/min）Tab.3 Experimental data 2（rotating speed：3 600 r/min）

圖4 平衡前后不同節(jié)點振動對比Fig.4 Whirl response before and after balancing

5 實驗研究

為了驗證改進方法的平衡效果，在BENTLY轉(zhuǎn)子實驗臺上進行了實驗。圖5為轉(zhuǎn)子實驗臺及傳感器安裝示意圖，轉(zhuǎn)子由滑動軸承支撐，支撐的各向剛度存在一定的差異，轉(zhuǎn)子通過撓性聯(lián)軸節(jié)與電機相聯(lián)，兩個圓盤上各均勻分布16個加重小螺紋孔，兩個孔之間的夾角為22.5°。沿軸從左至右方向上，兩個圓盤分別為P1和P2，在靠近左右連個軸承附近分別安裝兩對互相垂直的電渦流傳感器，分別為S1X，S1Y和S2X，S2Y，K φ為鍵相傳感器。轉(zhuǎn)子第一階臨界轉(zhuǎn)速為1 180 r/min，實驗時平衡轉(zhuǎn)速選在1 600 r/min。

表4為雙面平衡的實驗數(shù)據(jù)，由于軸承的各向剛度的差異，X，Y方向響應(yīng)（振幅）差別較大，因而最后的平衡結(jié)果差別也比較大，尤其是采用X方向的平衡效果很差，平衡后的殘余振動最大，相比較而言，改進方法具有結(jié)果客觀唯一，其平衡效果最好。

圖5 轉(zhuǎn)子實驗臺模型Fig.5 Illustration of rotor test fig

表4 轉(zhuǎn)子實驗臺實驗數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速：1 600 r/min）Tab.4 Experimental data using rotor test fig（rotating speed：1 600 r/min）

6 結(jié)論

通過分析和實驗研究，得到如下結(jié)論：

（1）轉(zhuǎn)子的工頻橢圓軌跡可以分解為兩個頻率相同但旋轉(zhuǎn)方向相反的圓軌跡，分別為正進動圓和反進動圓，工業(yè)現(xiàn)場的失衡轉(zhuǎn)子一般處于穩(wěn)態(tài)的同步正進動狀態(tài)，即正進動分量占主導因素，正進動圓較好地反映了轉(zhuǎn)子的不平衡狀態(tài)，其半徑反映了不平衡量的大小，其初始相位角反映了不平衡量的相位，而反進動分量與轉(zhuǎn)子不平衡不存在直接和必然的聯(lián)系。

（2）提出一種基于影響系數(shù)法的改進平衡方法，該方法采用正進動分量代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法的不平衡響應(yīng)進行轉(zhuǎn)子平衡。數(shù)值模擬結(jié)果表明，在忽略任何非線性干擾和測量誤差情況下，傳統(tǒng)方法和改進方法結(jié)果趨于一致，具有兼容性。由于改進方法結(jié)合了兩個方向傳感器的信號，克服傳統(tǒng)平衡方法中平衡效果受傳感器安裝方向影響的弊端，在實際轉(zhuǎn)子平衡中結(jié)果客觀，唯一，效果更好。具有較好地工程應(yīng)用價值。

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［6］陳先利，韓 捷.基于全矢譜的旋轉(zhuǎn)機械回轉(zhuǎn)相位及應(yīng)用研究［J］.機械科學和技術(shù)，2008，27（4）：515-519.

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［8］ Release 12.0 documentation for ANSYS［M］.SAS IP，Inc.，USA，2009.