李華

(河南城建學(xué)院數(shù)理系，河南平頂山467036)

用A≥0(aij≥0)來表示A是非負(fù)矩陣，用Cn×n(Rn×n)表示n階復(fù)(實(shí))矩陣集，矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個特征值λ1，λ2，…，λn組成的集合稱為矩陣的譜，記為σ(A).矩陣A的n個特征值的模的最大值為矩陣的譜半徑，記為ρ(A).由Perron-Frobenius定理知，ρ(A)∈σ(A)，且有非負(fù)特征向量x與之對應(yīng)，滿足Ax=ρ(A)x.

對于n階方陣A，如果存在置換矩陣P，使得

若B、D都是至少為1階的方陣，則稱A是可約的，否則稱A是不可約的.

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，B=(bij)∈Cn×n，稱矩陣C=A?B=(cij)=aijbij為矩陣A與B的Hadamard積.

令r＞0，記A(r)=(arij)，稱A(r)為矩陣A的r次Hadamard冪.

對于非負(fù)矩陣A與B的Hadamard積譜半徑上界的估計，前人做了很多的研究，有一些經(jīng)典的結(jié)果，例如文獻(xiàn)[1]中有ρ(A?B)≤ρ(A)ρ(B).文獻(xiàn)[2]中給出了程光輝等在文獻(xiàn)[3]中給出了

引理1[4]設(shè)a=(a1，a2，…，an)T≥0，b=(b1，b2，…，bn)T≥0，則有

其中k=1，2.

1 主要結(jié)果

引理2[5]設(shè)P是n階非負(fù)不可約矩陣，若存在不等于零的非負(fù)向量z使得Pz≤kz，則有ρ(P)≤k.

設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，B=(bij)∈Rn×n，A≥0，B≥0，令JA=-D-11Z(A)，Z(A)=DA-A，DA=diag(aii)，D'1=diag(dii)，其中

定理1設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，B=(bij)∈Rn×n，A≥0，B≥0，則有

(1)當(dāng)aiibii≠0時，

(2)當(dāng)aii≠0或bii≠0，但是

(3)當(dāng)aii=0，bii=0時，有

其中k=1，2．

設(shè)u=(u1，u2，…，un)T＞0，v=(v1，v2，…，vn)T＞0，記z=u°v，則對任意的i都有

(1)當(dāng)aiibii≠0時，則dii=aii，d'ii=bii，由上述不等式知：

(2)當(dāng)aii≠0或bii≠0，但是aiibii=0時

(3)當(dāng)aii=0，bii=0時，有

若C=A°B為可約矩陣，設(shè)C有塊上三角矩陣形式，且不可約的對角塊Cii=Aii°Bii，i=1，…，s．則Aii、Bii為不可約的，JAii、JBii可以看為JA、JB的主子矩陣，因為ρ(JAii)≤ρ(JA)，ρ(JBii)≤ρ(JB)，ρ(A°B)=很容易得到上述同樣的結(jié)果．

特別：當(dāng)?i∈N、aii=0、bii=0，k=1時則有ρ(A°B)≤ρ(JA)ρ(JB)．

2 數(shù)值例子

實(shí)際上，ρ(A°B)=43.由此可知，定理1得到的結(jié)果在一定程度上要以前的結(jié)果好.

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[1] Horn R A，Johnson C R.Topics in Matrix Analusis[M].Cambridge University Press，1985.

[2] Karilin S，Ost F.Some monotonicity properties of Schur powers of matrices and related inequalities[J].Lin Alg Appl，1985(68)：47-65.

[3] 程光輝，成孝予，黃廷祝.A bound for the maximum eigenvalue of the hadamard product of matrices[J].電子科技大學(xué)學(xué)報，2007，36(2)：422-423.

[4] 杜琨.矩陣Hadamard積和Fan積的特征值的界[J].華東師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008(5);45-50.

[5] Fang M Z.Bounds on the eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices[J].Lin Alg Appl，2007(425)：7-15.