李學(xué)鋒

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

破產(chǎn)理論是風(fēng)險理論的主要研究內(nèi)容，而風(fēng)險模型則是風(fēng)險理論的主要研究對象.經(jīng)典風(fēng)險模型總是假設(shè)保費率為常數(shù)，而在保險公司的實際經(jīng)營中，由于經(jīng)濟環(huán)境、生活環(huán)境的變化，競爭、利率、通貨膨脹率的變化及各種可能發(fā)生的災(zāi)害等諸多不確定因素的影響，經(jīng)典風(fēng)險模型已經(jīng)不能很好地描述現(xiàn)實問題了.隨著研究的逐漸深入，人們對經(jīng)典風(fēng)險模型進行了各種推廣，建立了更符合實際的風(fēng)險模型.文獻［1，2］對隨機保費風(fēng)險模型進行了研究并得到了滿足破產(chǎn)概率的 Lundberg不等式;文獻［3-6］研究了帶干擾的風(fēng)險模型并得到了相關(guān)結(jié)論.然而在這些研究中，大多假設(shè)保單到達過程與索賠到達過程相互獨立，而事實上，保險公司售出的保單越多，其發(fā)生的索賠次數(shù)也會越多，即索賠到達過程與保單到達過程是有關(guān)的.此外，為了保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營，有必要考慮投資利率、通貨膨脹率及一些隨機擾動等因素的影響.因此，本文就是在上述工作的基礎(chǔ)上，將風(fēng)險模型推廣為更一般的情形，即考慮了保險公司的投資利率和通貨膨脹率下帶干擾項且索賠過程是保單到達過程的一個p-稀疏過程的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險模型，并利用鞅分析得到了該模型的破產(chǎn)概率滿足的Lundberg不等式及最終破產(chǎn)概率的精確表達式.

1 模型的定義

定義1 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是完備的概率空間(本文所有的隨機變量都定義在此空間)，則對u≥0，t≥0，保險公司在t時刻的盈余為:

其中u為初始準備金;i≥0為保險公司的投資利率;j≥0為通貨膨脹率;{M(t)，t≥0}為保單到達過程，表示保險公司在［0，t］內(nèi)收到的保單數(shù);{N(t)，t≥0}為索賠到達過程，表示保險公司在［0，t］內(nèi)發(fā)生的索賠次數(shù);Xk為第k次的索賠額;Yk為第k張保單的保費額;{W(t)，t≥0}為標準Wiener過程，表示保險公司不確定性收益和付款，σ＞0為常數(shù).

對上述模型做如下假設(shè):

(1){Xk，k≥1}，{Yk，k≥1} 為獨立同分布的隨機變量序列，分布函數(shù)分別為F(x)，G(y)，且

(2){M(t)，t≥0}是強度為λ的Poisson過程，{N(t)，t≥0}是{M(t)，t≥0}的一個p－稀疏過程，即{N(t)，t≥0}是強度為λp(0＜p≤1)的Poisson過程;

(3){Xk，k≥1}，{Yk，k≥1}，{M(t)，t≥ 0}，{W(t)，t≥0}相互獨立.

定義2保險公司的破產(chǎn)時刻T=inf{t:t≥0，U(t)＜0}，最終破產(chǎn)概率為:.

定義3根據(jù)模型的假設(shè)，隨機變量Yk的Laplace變換為:

隨機變量Xk的矩母函數(shù)為:

假設(shè)LY(r)＜∞，顯然當(dāng)r→∞ 時，有MX(r)→∞.

2 相關(guān)引理

引理1對于盈余過程{S(t)，t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得:

證明

即有E［e－rS(t)］=etg(r).證畢.

引理2方程g(r)=0存在唯一正解R，稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明由引理1知g(0)=0，又:

故:

所以當(dāng)r＞0時g(r)是凸函數(shù)，又g(0)=0，且顯然有當(dāng)r→+∞ 時，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，記為R，并稱g(r)=0為調(diào)節(jié)方程，R成為調(diào)節(jié)系數(shù).證畢.

定義4對于盈利過程{S(t)，t≥0}，定義事件流:

FS={，t≥0} ，其中σ{S(t')，t'≤t}.

引理3令Mu(t)=則是鞅.

證明?v≤t，由引理1得:

所以{Mu(t)，F(xiàn)St，t≥ 0} 是鞅.證畢.

引理4［7］破產(chǎn)時刻T是FS停時.

3 主要結(jié)果

定理1風(fēng)險模型(1)的最終破產(chǎn)概率φ(u)滿足Lundberg不等式:

其中r0=supr＞0{r:g(r) ≤ 0}.

證明由引理4知T是FS停時，取t0＜∞，則易知T∧t0是FS停時，由引理3有:

又當(dāng)T＜∞ 時，有u(1+i－j)+S(T)≤0，所以 e－r［u(1+i－j)+S(T)］≥ 1 ，故

令t0→+∞，有，取r0=sup

r＞0{r:g(r) ≤ 0}，則有:

定理2風(fēng)險模型(1)的最終破產(chǎn)概率為:

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)式(6)，取r=R，得:

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則:

由控制收斂定理，有:

于是在式(8)兩端令t0→∞ 即得證.

4 結(jié)束語

本文所研究的風(fēng)險模型對保險公司的經(jīng)營具有一定的理論指導(dǎo)意義.從最終破產(chǎn)概率可以推斷，為了確保公司的穩(wěn)定經(jīng)營，一方面，公司必須具備足夠充分的初始準備金;另一方面，公司也不能為了獲得大量保單而盲目降低保費或高額承保，這就要求保險公司在獲得盡可能多的保單的同時，也要做好對客戶的調(diào)查研究，以便降低索賠比例而減少公司風(fēng)險，也就是保險公司需要合理厘定保費與索賠額.同時，保險公司也不能忽視投資利率、通貨膨脹率及一些隨機擾動對公司穩(wěn)定經(jīng)營的影響，往往這些因素也直接關(guān)系到保險公司的生死存亡.當(dāng)然，本文所研究的模型還有待于進一步改進，比如，考慮隨機利率比常數(shù)利率更符合實際，或者用其他方法研究破產(chǎn)概率等.因此，破產(chǎn)模型仍然是廣大相關(guān)研究者感興趣的研究對象.

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［2］董亞娟，朱勇華.保險系統(tǒng)中一種推廣風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2004，34(6):17-21.

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