肖中粲，潘永華，高惠濱

（南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇南京210093）

1 引 言

光從物體中透射后會攜帶該物質(zhì)性質(zhì)的相關(guān)信息，所以分析出射光的各個參量對研究物質(zhì)性質(zhì)有很重要的意義.光所攜帶的信息主要是相位和振幅兩部分，現(xiàn)有的所有感光器件包括人眼都只對光強發(fā)生反應(yīng)，也就是振幅的模平方.如果是相位物體，由于其各處振幅透射率相同，光透射過后就只有相位部分變化，因此直接測量相位物透射光是不可行的，必須將相位信息轉(zhuǎn)化為振幅信息，從而使相位物的像可視化[1－2].相位物樣品的結(jié)構(gòu)信息主要體現(xiàn)在折射率或厚度的不均勻[3]，在生物科學(xué)、材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理中廣泛存在，如活細(xì)胞、一些晶體微粒和流體中的湍流等，所以相位物可視化有很重要的研究價值.

幾種常見的相位物可視化方法包括暗場法、紋影法、相襯法和微分法.James Hooke首先演示過紋影法的作用，Toepler和Schardin推廣了這一方法[4]；荷蘭格羅寧根大學(xué)的Frits Zernike于1935年提出相襯法，并于1941年發(fā)明了第一臺相襯顯微鏡[1]，1953年還因此獲得Nobel物理學(xué)獎；1971年S.K.Yao和S.H.Lee則提出利用復(fù)合光柵在頻譜面空間濾波實現(xiàn)微分運算[5]，也實現(xiàn)了相位物可視化.

本文從理論、實驗和數(shù)值模擬3個方面對4種常見相位物可視化方法進行了分析比較，得出了各種方法的優(yōu)劣點和適用范圍，提出了利用低頻正弦光柵替代復(fù)合光柵濾波，用三重干涉實現(xiàn)效果上類似微分運算的圖像處理方法，最終實現(xiàn)相位物可視化.

2 基本理論

在圖1所示的凸透鏡成像光路中，透鏡對物光有傅里葉變換的作用[3]：

其中，U1（x1，y1）是物面光場函數(shù)，x1和y1是物面坐標(biāo)；U2（x2，y2）是頻譜面光場函數(shù)，x2和y2是頻譜面坐標(biāo).

頻譜面到像面是又一次傅里葉變換[3]：

其中，U3（x3，y3）是像面光場函數(shù)，x3和y3是像面坐標(biāo).

圖1 凸透鏡成像示意圖

現(xiàn)分別以f，g，h代表物光函數(shù)、頻譜面光函數(shù)、像函數(shù)，則凸透鏡成像光路中各平面的傅里葉變化關(guān)系可表示為為簡化推導(dǎo)過程，可設(shè)光路放大系數(shù)為1，并忽略透鏡的空間反射效果，即取

圖1所示光路中，若物面上放置的相位物的屏函數(shù)是eiφ（x，y），入射光場為A（x，y）（在不影響討論的情況下可視作常數(shù)A），則物光復(fù)振幅為f（x，y）＝Aeiφ（x，y）.對f做級數(shù)展開，可得，也就是[3]

可以看出，光場級數(shù)展開的第一項是零頻分量，對應(yīng)背景光；第一項以后是相位頻譜，對應(yīng)由于相位變化而產(chǎn)生的衍射光.對于相位物，背景光和衍射光之間有π／2的相位差，它們相干疊加后，干涉為零，這就是背景光上觀察不到衍射光，也即像面上看不到像的根本原因.那么，如果在頻譜面上放置合適的濾波器進行適當(dāng)濾波，改變背景光和衍射光之間的相位正交關(guān)系，則可以在像面上得到相位物的像.設(shè)濾波器的復(fù)振幅透過率函數(shù)為l，則傅里葉變換關(guān)系變?yōu)?f，其中?表示卷積.

1）相襯法

相襯法[1，3]采用的濾波方式是給零頻分量附加上相位δ，使頻譜分量變?yōu)椤?，則復(fù)振幅變?yōu)锳（eiφ（x，y）＋eiδ－1），光強變?yōu)镮＝｜A｜2（eiφ＋eiδ－1）（eiφ＋eiδ－1）＊，即[3]

于是得到光強隨相位線性變化的像.

2）暗場法

通過類似的分析方法，可知如果擋住零頻分量，則復(fù)振幅變?yōu)锳（eiφ（x，y）－1），由I＝｜A｜2·（eiφ－1）（eiφ－1）＊有：

當(dāng)相位是小量時，

于是得到光強與相位平方呈線性關(guān)系的像.由于此時相位物的相位是小量，所以暗場法得到的像的亮度較小.

3）紋影法

紋影法的做法是擋住頻譜面上一半的分量，例如y≤0分量.從傅里葉變換的角度討論，h＝＾l?f，其中屏函數(shù)l（x，y）＝H0（y）為Heaviside階躍函數(shù)故[6]

其中H表示Hilbert變換.于是，

像屏上得到的最終結(jié)果是物光場的Hilbert變換的函數(shù).Hilbert變換在信號處理中作用依信號特點有不同側(cè)重.不過在這個光學(xué)事例中可以從物理的角度理解，遮擋頻譜一半內(nèi)容后沿著該方向的相位函數(shù)上升沿信息被過濾，從而使相位物可視化.下面的實驗和模擬都對這一觀點給予了證實.

4）微分法

此方法核心思想是將光場的波前分成完全相同，但有（Δx，Δy）相對位移的兩部分，并使之發(fā)生干涉，得到相位差分的函數(shù)f（x＋Δx，y＋Δy）＋f（x，y），則I＝2＋2cos[φ（x，y）－φ（x＋Δx，y＋Δy）].取Δφ＝φ（x，y）－φ（x＋Δx，y＋Δy），上式簡化為

微分法對產(chǎn)生的像有邊緣強化的作用，類似于浮雕的效果，能明顯地觀察到相位梯度大的邊緣，但相位物內(nèi)部相位沒有梯度變化的部分仍不可見.

光路上微分法可由復(fù)合型正弦光柵濾波實現(xiàn)[3]，設(shè)條紋沿x方向排列，則其屏函數(shù)為

其中l(wèi)1，l0分別代表透過率條紋周期的峰值和本底透過率.其頻譜為最終成像結(jié)果是：

像面上的結(jié)果為，分別以復(fù)合正弦光柵的零級衍射點和2對1級衍射點為中心，共5組與原始圖像完全相同像的疊加.如果使用高頻復(fù)合光柵，k1和k2都較大且取值接近，可以使2個＋1級衍射點和－1級衍射點與0級衍射點相隔較遠(yuǎn)但相互靠近，靠近的2個1級衍射點的像發(fā)生干涉，就可以分別產(chǎn)生2組圖像微分的結(jié)果.

3 實驗內(nèi)容與初步分析

實驗光路如圖2所示，選取合適的透明相位物體成像，利用傅里葉透鏡進行光學(xué)變換，在頻譜面上用適當(dāng)濾波器進行濾波，在像平面承接變換結(jié)果.

圖2 實驗光路圖

3.1 濾波

實驗中實現(xiàn)幾種可視化方法所采用的濾波方案如下.

1）相襯法：以全息干版為底片，用留有小孔的黑紙遮蓋曝光，時間控制在5～10s，之后進行顯影20s，定影10min，水洗3h，將曝光處沉淀銀粒洗凈[7].最后以Mach－Zehnder干涉光路檢查曝光點與非曝光處乳膠膜厚度差，選取產(chǎn)生相移最接近所用激光器半波長的點為濾波器[7－8].

2）暗場法：小圓屏濾波.

3）紋影法：架設(shè)刀片濾波.

4）微分法：全息照相法制作正弦光柵[9－10].由于實驗條件所限，只制得了低頻正弦光柵[11－13].由于低頻正弦光柵屏函數(shù)為

其頻譜是很靠近的2個1級衍射點和1個零級衍射點，最終的成像結(jié)果是3組靠近的原始圖像的疊加.它們之間發(fā)生三重干涉，顯示出相位函數(shù).

可以計算出此時像面上光強為

3.2 相位物

實驗中選用了以下幾種不同特點的物體，放置于物面上進行研究.

1）膠水涂敷的文字“FOX”.其特點是字型有所不同，且邊緣處相移量迅速變化，缺點是產(chǎn)生相移較大且不均勻，而且隨時間推移膠水干燥后透射率會下降.

2）超聲光柵.利用超聲波在水中傳播形成駐波，引發(fā)密度周期性變化，進而引發(fā)折射率變化產(chǎn)生相移.這種相移是周期函數(shù)，而且由于密度變化小，它的相移量也?。坏怯捎隈v波波長短，導(dǎo)致相移函數(shù)的條紋間距小，難觀察.

3）液膜湍流.由于液膜邊緣湍流導(dǎo)致的厚度和密度變化所致相移.其優(yōu)點是各處透射率一致，是理想的相位物，缺點是作為相位物體，相位函數(shù)無法控制.

4）混合中的冷熱水.是密度變化的相位物，相移小，缺點在于它是三維結(jié)構(gòu)的物體，因此成像難以反映其完整內(nèi)部信息.

3.3 實驗結(jié)果及分析

圖3～6是實驗中采用的4種相位物成像的比較圖.

圖3 膠水文字成像圖

圖4 超聲光柵成像圖

圖5 液膜湍流成像圖

圖6 冷熱水的混合成像圖

對實驗中涉及的幾種方法的初步分析如下：

1）相襯法

由式（4）可以看出，相襯法成像的亮度是相位的周期函數(shù).在相位變化范圍很大時，亮度會發(fā)生周期變化，產(chǎn)生條紋[膠水涂敷的文字非常平滑，而圖3（a）中可以看到文字筆畫內(nèi)部有周期條紋].但是當(dāng)條件控制合適時，使相位是小量，且相移接近π／2，有式（5），亮度基本與相位線性相關(guān).成像效果較好，這些可以從圖4（a）、圖6（a）與其他方法的結(jié)果比較中看出.

2）暗場法

從式（6）可以得出，暗場法成像的亮度同樣有周期性變化規(guī)律，這點在圖3（c）中有所反映.然而對小相位物體成像，從式（7）看出亮度相位關(guān)系不成線性，而是二次方關(guān)系，因此不能準(zhǔn)確反映相位信息.而且相比相襯法，暗場法對微小相位比大相位成像亮度低得多，不能很好地顯示出微小的相位.從圖5（c）與圖5（a）及圖6（c）與圖6（a）的對比可以清楚地看出暗場法對一些細(xì)節(jié)顯示的效果不如相襯法.

3）紋影法

紋影法成像規(guī)律由式（8）給出，其推導(dǎo)適用于刀片將零級頻譜一起遮擋的情形.如果不遮擋零級頻譜，由傅里葉變換性質(zhì)，最終像面光場則變?yōu)閔′＝A＋h，I′＝｜A｜2＋2Re（Ah）＋I，可近似為

即不遮擋零級頻譜相當(dāng)于增加背景光強[3]，會降低對比度.本次實驗出于提高對比度的考慮，采用了遮擋零級頻譜的方案，只有在超聲光柵成像時由于亮度過低采取了不遮擋零級頻譜的方法.從圖4（d）、圖5（d）與其他方法的對比可以看出，圖5（d）的亮度很低，而圖4的（d）對比度很低，所以在對微小相位的顯示方面，紋影法是很難做到對比度和亮度同時提高的.

而從圖3（d）、圖6（d）可以看出，紋影法成像結(jié)果有立體感，這一點可以從Hilbert變換的性質(zhì)解釋.而從物理的角度解釋，可以理解為遮擋一半頻譜時將一個方向的相位上升沿信息排除了，只保留該方向下降沿，產(chǎn)生立體感.

4）微分法

實驗中采用低頻正弦光柵濾波的微分法成像，規(guī)律由式（14）確定.小相位時相位變化量也是小量，則

如果再考慮相位是緩變的，且l1＜l0，則一項可以省略，則

這樣最終成像是相位函數(shù)2個方向相反的差分的平方和，同樣可以起到邊緣強化的效果.但是有對比度不高的缺點.這一點可以從圖3～6的（b）中看出.

4 數(shù)值模擬

為了完善結(jié)果，彌補實驗中的相位物缺陷，對實驗中未能實現(xiàn)的方法進行研究，對幾種相位物可視化方法進行了數(shù)值模擬.

1）模擬方法

對于實驗中涉及到的相襯法、低頻正弦光柵濾波的微分法、暗場法、紋影法，先用離散的矩陣f表示物光場，以傅里葉變換處理物矩陣f得到頻譜g，再將g各元素與屏函數(shù)l元素一一相乘，最后再次用傅里葉變換處理得到矩陣h，求模后將其以位圖形式畫出.另外由于實驗中沒有制備出高頻復(fù)合正弦光柵，沒有完成微分法，所以模擬中添加了微分法，其實現(xiàn)方案是將矩陣f的元素平移數(shù)行數(shù)列后和原矩陣相加再直接取模得到.

由于相位函數(shù)已知，因此可以直接以相位為圖像矩陣作圖，稱之為原圖.

以上數(shù)值模擬借助了數(shù)學(xué)軟件Octave.

2）模擬中使用的相位物

模擬中用到的相位物是綜合以上實驗物體的特點設(shè)計的，突出了幾種代表性相位物的特點，回避了實驗中實際相位物的缺陷.包括：

a.文字.該物體具有銳利邊緣，不同區(qū)域相移保持定值不變，筆畫區(qū)相移為1，其他區(qū)域為0.對應(yīng)實驗中膠水涂敷的文字，但排除了其文字筆畫區(qū)相移不均勻的缺點.

b.連續(xù)變化小相移物體.從左向右以正弦函數(shù)φ（x，y）＝（sin x＋1）／2變化，大小從左到右由0增加到1.與實驗中超聲光柵對應(yīng)，但模擬中可以看出各種方法細(xì)節(jié)處的不同.

c.大相移的馬鞍面.相移按φ（x，y）＝xy變化，右上、左下兩處頂角處為最大值100，右下、左上兩處頂角處為最小值－100.這個物體主要是研究大相移，連續(xù)變化的相位物特點.實驗中沒有專門的物體對應(yīng).

3）模擬結(jié)果

模擬結(jié)果如圖7～9所示.

圖7 文字模擬圖

數(shù)值模擬的結(jié)果很好地驗證了前面對相襯法、暗場法和紋影法的分析：圖9（a）和（c）中的條紋再一次說明對大相位物體成像的相襯法和暗場法的缺陷，而圖9（a）和（c）在中心小相移區(qū)成像效果的不同說明相襯法對小相位細(xì)節(jié)信息的保留比暗場法更多；圖8中（a）和（c）的亮度變化規(guī)律與理論預(yù)期一致；圖7（d）和圖9（d）中的立體效果是紋影法的特點.圖7（b）和（d）中的多余陰影是由于離散化處理的誤差引起的.

下面重點比較2種微分法的特點.

微分法成像公式比較簡單，由式（9）確定，從圖9（e）可以看出，所得結(jié)果是很嚴(yán)格的相位函數(shù)的方向差分的函數(shù)（此處選擇了沿相位矩陣的主對角線做差分）.從圖7（e）看出具有邊緣強化的效果，而且從圖8（e）可以看出在小相移情況下成像結(jié)果比較好地反映了相位函數(shù)的微分.

而低頻正弦光柵濾波的微分法與之相比共同點是，同樣有邊緣強化的效果，缺點是不如前者明顯，這一點從式（14）與式（9）的比較以及圖7（b）和（e）的對比可以看出；而且在遇到相位函數(shù)的變化不劇烈的情況時，成像結(jié)果不如后者，這一點可以從圖8（b）和（e）的比較看出.

圖8 相位按正弦函數(shù)變化的一維小相位物體模擬圖

但是低頻正弦光柵濾波的微分法相比微分法有其不具備的優(yōu)點，前者干涉圖像位于主光軸上，后者干涉圖像位于主光軸外，而剩余大量光強都分布在主光軸上，這樣的正弦光柵濾波器可以用于普通顯微鏡中，以實現(xiàn)對相位物的觀察.目前，通常使用DIC顯微鏡觀察相位物，它是靠Wollaston棱鏡來實現(xiàn)微分法的，其成本較高，且對光源要求比較嚴(yán)格.正弦光柵濾波器只需要低頻的光柵，對光柵分辨率要求低，可以使用普通膠卷制作，成本低廉，在普通實驗室很容易獲取，這是低頻正弦光柵濾波微分法的最大優(yōu)勢.

圖9 相位大小按馬鞍面高度變化的相位物體模擬圖

5 結(jié) 論

1）在較大相位，有銳利邊緣時，相襯法和暗場法都會出現(xiàn)周期條紋，不適用.而紋影法和微分法是由相位變化率決定成像結(jié)果的，因此它們可以得到比較理想的成像結(jié)果.

2）相襯法是在微小相位情況下，各種方法中唯一對相位有線性響應(yīng)的，因此最為適合觀察微小相位物體，具體例子就是生物樣品，適用于生物顯微鏡；對較大相位，相襯法會出現(xiàn)周期條紋，不適用，而且其濾波器制備和選擇都較繁瑣，這是其缺點.

3）暗場法亮度低，且與相位不成線性，但在定性觀察中也很有用.與相襯法類似，暗場法也不適合大相位物體的觀察.

4）紋影法是實現(xiàn)起來最方便的，而且像的亮度反映了此處相位變化快慢，但其缺點是難以同時得到較大的對比度和亮度.同時紋影法對大相位物體成像時不會產(chǎn)生條紋，是其優(yōu)勢.

5）微分法則是反映相位函數(shù)的差分的方法，復(fù)合型正弦光柵的缺點是浪費了大部分的光能在零級衍射點上，微分像亮度低.而且由于有效成像在一級衍射點，偏離主光軸，難以直接應(yīng)用在普通顯微鏡中，必須用其他高成本的方案實現(xiàn).

6）低頻正弦光柵雖然最終成像由三重干涉決定，故與原始相位信息的對應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜，但濾波器制作簡單，且最終效果上保留了微分法的一個重要特點，即邊緣強化的作用，因此它也不失為相位物可視化的一個好方法.

7）最后以上各種方法都有一個共同的缺點，不能嚴(yán)格定量測量[14]，只適合定性觀察.

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