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        金屬管(桿)橫駐波演示實驗

        2012-02-01 03:36:44路峻嶺王長江秦聯(lián)華
        物理實驗 2012年2期
        關鍵詞:振動實驗

        路峻嶺,王長江,秦聯(lián)華

        (清華大學物理系,北京100084)

        1 引 言

        金屬管(桿)彎曲振動實驗是一個有趣的演示實驗,所用器材僅為1根薄壁鋼管或鋁桿和1個橡膠錘.實驗者捏持住金屬管(桿)中距管端0.224倍管長處,用橡膠錘敲擊金屬管(桿)的端點或中點,就能聽到金屬管(桿)發(fā)出清晰的聲音.若捏持不變,手持橡膠錘敲擊金屬管(桿)上其他點,會聽到金屬管(桿)發(fā)出聲音的音調和音色都有變化.若改變捏持點,敲擊金屬管端點或中點,也聽到聲音的音調和音色都有明顯變化.若捏持0.224倍管長處敲擊中點或端點,仔細聆聽常常能聽到拍音.若調整捏持0.224倍管長處的點的位置,有時可以只聽到單一聲音而聽不到拍音.本文對實驗中的各現(xiàn)象給出了解釋,可以促進學生對駐波產(chǎn)生條件的理解.

        2 金屬管(桿)彎曲振動微分方程、邊界條件及其求解

        彎曲形變中,金屬管(桿)內(nèi)有一個平面保持無伸縮,稱它為中面.設想金屬管(桿)由許多和中面平行的矩形平片疊加而成.若處于中面以上的平片被拉伸,則處于中面以下的平片被壓縮,反之亦然.如圖1所示設金屬管(桿)的軸向在x方向,彎曲方向在z方向.設元段ABCD形變?yōu)锳′B′C′D′,其端面受正應力力矩作用,若端面傾斜角為φ,則該力矩,其中:IS為截面慣量矩,Y為楊氏模量.若是金屬桿,則;若是金屬管,則同時注意φ可用撓度w對x的導數(shù)來表示,考慮到元段端面切應力力矩應與正應力力矩平衡,可得元段所受的凈力(沿z方向),再應用牛頓定律[1-2]即可得金屬管(桿)彎曲振動的波動方程[3-5]

        圖1 金屬管(桿)中的元段剖面圖

        其中:ρ為密度,β為阻尼常量,A0為橫截面積.邊界x=0和x=L端為自由端,端面上正應力力矩和切應力均為零,撓度函數(shù)w(x,t)需滿足邊界條件方程[4]

        令w(x,t)=X(x)T(t),可解得Tω(t)=,關于X(x)的方程即為

        由邊界條件方程(2)知,欲其解不是零解,k必須滿足方程ch(kL)cos(kL)=1,該方程有無窮多個分立解.若把它的第n個解表示為βnπ,結果是β1=1.505 62,β2=2.499 75,βn≈(n+0.5)(n>2).相應的k用kn表示,kn=βnπ/L.由(3)式可得相應振動模式的固有頻率為

        對于金屬桿,(5)式可變?yōu)?/p>

        對于金屬管,(5)式可變?yōu)?/p>

        將kn代入邊界條件方程可得Bn/An,加上歸一化條件即可確定A0n,(3)式的基本解為

        若令基頻X1(x)=0,可得基頻駐波波節(jié)點x11=0.224 157 52L,x12=0.775 842 48L.

        金屬管(桿)的任一自由振動均可表示為各模式基本解的線性疊加,即

        基本解Xn(x)又稱振形函數(shù),不同n的2個振形函數(shù)是相互正交[3].實驗者手捏金屬管(桿)和用錘敲擊.捏持點將是振動能量的耗散點,捏持點為波節(jié)點的模式的振動能量將耗散得最慢.敲擊點和敲擊力度共同影響金屬管(桿)的初始位移.因此捏持點和敲擊位置、敲擊力度及敲擊(碰撞)時間共同影響著實驗結果.設敲擊引起的初始位移為

        以Xm(x)乘以上式并在區(qū)間(0,L)進行積分,利用Xn(x)的正交歸一性,可得

        可見,哪一個模式的振形函數(shù)與敲擊給出的初始位移覆蓋得越多,(7)式的積分值就越大,該模式的振動就越顯著.因此手持位置和敲擊初位移一同起到選擇振動模式的作用,改變手持位置和敲擊初位移可以單獨或共同改變所激發(fā)的模式,進而引起聽到的聲音的音調和音色發(fā)生改變.

        3 對敲擊金屬管(桿)時出現(xiàn)拍音的解釋

        用手捏持距端點0.224L處且用橡膠錘敲擊金屬管(桿)的任一端點或中點,將使得基頻模式振動得最為強烈,且時常聽到拍音.

        在推導元段端面正應力力矩時引入了截面慣量矩IS,它在數(shù)值上等于面密度為1的截面薄片繞中線的轉動慣量.IS在式(5)式中也有所體現(xiàn),說明剛體模型中的物理量影響著彎曲振動的結果.在實驗中,金屬管除沿長度方向的中軸作為1個主軸外,還有2個垂直于中軸的主軸,且這2個主軸相互正交.若金屬管的結構是完全軸對稱,則繞此兩主軸轉動的轉動慣量相同.但實驗中,繞此兩正交主軸的轉動慣量IS略有差別,使得2個偏振的基頻模式的固有頻率也略有差別,若對金屬管的捏持點的連線平行于它的一個主軸,則沿另一個主軸方向敲擊端點或中點將只激發(fā)在1個慣性主軸方向的彎曲振動,結果將只能聽到1個頻率的聲音,否則2個偏振的基頻模式都會被激發(fā),這時就會聽到拍音.若實驗中聽到了拍音,微微改變捏持點和敲擊點的位置,再聽聽有無拍音,不斷進行調整,就會發(fā)現(xiàn)在距端點0.224L的圓形截面圓周上存在兩兩互相成90°的4個點,相對捏持這樣的點進行敲擊就會聽不到拍音而只有1種頻率的聲音了.

        [1] 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程·力學[M].北京:高等教育出版社,1995:215-222.

        [2] 張三慧.大學物理學·力學[M].北京:清華大學出版社,1999:65-75.

        [3] 郭敦仁.數(shù)學物理方法[M].北京:人民教育出版社,1965:213-223,240-252.

        [4] 王矜奉,姜祖桐,石瑞大.壓電振動[M].北京:科學出版社,1989:42-70.

        [5] 路峻嶺.物理演示實驗教程[M].北京:清華大學出版社,2005:192-197.

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