李 巖，封 玲

（深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東深圳518060）

1 引 言

振動(dòng)系統(tǒng)的自由度等于描述振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必須的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，需要n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)稱為n自由度系統(tǒng).隨著振動(dòng)系統(tǒng)自由度的增多，振動(dòng)問(wèn)題的求解也越來(lái)越繁瑣.由于多自由度系統(tǒng)的許多基本概念都可以通過(guò)研究雙自由度系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明，而且雙自由度系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題本身在工程學(xué)、機(jī)械學(xué)上也有著重要的地位（如作為橋梁設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等重要的參考量），因此，雙自由度振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)和理論探索一直為人們所重視.

雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜，研究文獻(xiàn)[1－4]多根據(jù)牛頓定律推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)方程，再利用數(shù)學(xué)軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬，給出其運(yùn)動(dòng)軌跡.本文旨在實(shí)驗(yàn)室建立雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)，利用計(jì)算機(jī)實(shí)測(cè)技術(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行實(shí)時(shí)記錄，進(jìn)而得出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

2 雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)的理論概述

圖1是典型的雙自由度振動(dòng)系統(tǒng).該系統(tǒng)由勁度系數(shù)分別為k1和k2的2個(gè)輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量分別為m1和m2的2個(gè)彈簧振子在豎直方向耦合組成.

為方便計(jì)算分析，取k1＝k2＝k，m1＝m2＝m，由牛頓定律可得以下結(jié)論[2，4]：

1）此雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)有2個(gè)簡(jiǎn)正模，其頻率可以分別表示為

圖1 雙自由度振動(dòng)彈簧系統(tǒng)

2）系統(tǒng)中每個(gè)振子的運(yùn)動(dòng)均是這2個(gè)簡(jiǎn)正模的線性疊加，振子m1和m2的運(yùn)動(dòng)方程分別為

式（3）和（4）中的A11，A12，A21，A22分別為相應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，φ1和φ2則為相應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位，均為待定系數(shù)，由振動(dòng)系統(tǒng)的初始值確定.

3）雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有固有振型，表現(xiàn)為式（5）和（6）表明上下2個(gè)振子運(yùn)動(dòng)中同頻率分運(yùn)動(dòng)的振幅比為定值.

4）此系統(tǒng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo)可以表示為[5－7]

可見(jiàn)，2個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的振幅是相等的.為了方便和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，文中主要采用了式（3）和（4）進(jìn)行討論.

3 雙自由度振動(dòng)規(guī)律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

利用計(jì)算機(jī)實(shí)測(cè)技術(shù)對(duì)雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)測(cè)[8－9]，主要采用美國(guó)Pasco公司的實(shí)測(cè)設(shè)備：運(yùn)動(dòng)傳感器（型號(hào)：CI－6742，量程：15cm～8m）、力傳感器（型號(hào)：CI－6537，量程：－50～50N）、Science Workshop 750接口以及DataStudio數(shù)據(jù)采集處理軟件等.

圖2給出了雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)及其測(cè)量裝置，力傳感器與彈簧k1連接，負(fù)責(zé)監(jiān)測(cè)彈簧k1在豎直方向上對(duì)振子m1的拉力變化情況；平臺(tái)底端用運(yùn)動(dòng)傳感器實(shí)時(shí)記錄振子m2在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)軌跡.在豎直方向上讓系統(tǒng)起振，當(dāng)振動(dòng)穩(wěn)定后，開(kāi)始采集數(shù)據(jù).

裝置中所使用的2個(gè)輕質(zhì)彈簧質(zhì)量均為19.4g，勁度系數(shù)k1＝k2＝33.0N／m；振子質(zhì)量m1＝m2＝209.0g.

圖2 雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)及其測(cè)量裝置圖

3.2 測(cè)量結(jié)果與分析

3.2.1 豎直方向上振子m1的運(yùn)動(dòng)情況

通過(guò)力傳感器采集的數(shù)據(jù)可以得到彈簧在豎直方向上對(duì)振子m1的拉力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線，如圖3所示.

圖3 k1對(duì)振子m1拉力隨時(shí)間變化關(guān)系曲線

根據(jù)胡克定律ΔF＝－kΔx（其中k是彈簧的勁度系數(shù)，Δx是彈簧長(zhǎng)度的變化量），可以將力傳感器采集到的拉力變化信號(hào)轉(zhuǎn)換為m1的位移變化信號(hào)，得到振子m1的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線（見(jiàn)圖4），然后利用式（3）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，擬合曲線見(jiàn)圖4，擬合數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

圖4 彈簧振子m1位移隨時(shí)間變化關(guān)系曲線

3.2.2 豎直方向上振子m2的運(yùn)動(dòng)情況

通過(guò)運(yùn)動(dòng)傳感器采集數(shù)據(jù)，可以得到彈簧振子m2的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線（見(jiàn)圖5）.同樣，對(duì)其采用式（4）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，得到擬合曲線（見(jiàn)圖5）和相應(yīng)擬合參量（見(jiàn)表1）.

圖5 彈簧振子m2位移隨時(shí)間變化關(guān)系曲線

3.2.3 測(cè)量結(jié)果與分析

從圖4與圖5中可以看出，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的m1和m2運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)據(jù)與擬合曲線吻合很好，將實(shí)驗(yàn)所得參量進(jìn)行整理，見(jiàn)表1.

表1 振子m1和m2振動(dòng)情況列表

可得出以下結(jié)論：

1）由T1＝0.808s，T2＝0.308s，得到雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)的2個(gè)簡(jiǎn)正頻率ω1與ω2的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值為

2）由A11＝0.017 2m，A12＝0.006 29m，A21＝0.028 1m，A22＝－0.003 93m，得到雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的分振幅；由φ1＝0.642rad和φ2＝（0.615＋0.618）／2rad＝0.616rad，得到雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初相位.

由以上數(shù)據(jù)可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程分別為

式中u1和u2的單位為m.

由式（1）～（2）和（5）～（6）及彈簧勁度系數(shù)k、振子質(zhì)量m值可計(jì)算得到雙自由度振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率及固有振型的理論值，所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)值與理論值見(jiàn)表2[3，10].

表2 實(shí)驗(yàn)值與理論值

4 結(jié)束語(yǔ)

雙自由度振動(dòng)是研究n自由度振動(dòng)的基礎(chǔ)，采用計(jì)算機(jī)實(shí)測(cè)技術(shù)在實(shí)驗(yàn)室測(cè)量記錄了2個(gè)振子各自的振動(dòng)情況，并對(duì)記錄數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理分析，得到振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)驗(yàn)值與理論值吻合得很好.

[1] 楊正波，夏清華.耦合彈簧振子系統(tǒng)的研究[J].高等函授報(bào)（自然科學(xué)版），2008，22（1）：15－17.

[2] 張策.機(jī)械動(dòng)力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2008：140－154.

[3] 李平.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2004：24－41.

[4] Rao S S.機(jī)械振動(dòng)[M].李欣業(yè)，張路明，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2009：267－276.

[5] 佘守憲.彈簧耦合擺小振動(dòng)的簡(jiǎn)正模與簡(jiǎn)振頻率[J].大學(xué)物理，1998，17（8）：15－17.

[6] 周衍伯.理論力學(xué)教程[M].2版.北京：高等教育出版社，1986：299－309.

[7] 馬文蔚.物理學(xué)（下冊(cè)）[M].5版.北京：高等教育出版社，2007：39.

[8] 許裕粟，蔣甲生，朱勇，等.韋氏耦合擺共振機(jī)理探索[J].物理實(shí)驗(yàn)，2008，28（3）：35－37.

[9] 呼格吉樂(lè).改進(jìn)DIS實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中的“彈簧振子的振動(dòng)圖像實(shí)驗(yàn)”[J].物理實(shí)驗(yàn)，2010，30（5）：22－23.

[10] 吳泳華.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)（第一冊(cè)）[M].2版.北京：高等教育出版社，2005：8－19.