史麗敏， 李玉紅， 張 麗

(沈陽化工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧沈陽110142)

自然景物的模擬繪制是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一個重要研究領(lǐng)域.利用分形幾何學(xué)由計(jì)算機(jī)繪制自然景物，如植物、云彩等，效果逼真、形象.迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)是分形幾何中模擬自然景物的重要方法和手段［1］，其關(guān)鍵之處是構(gòu)造IFS碼.目前，大多獲取 IFS碼的方法基于拼貼理論［2－4］，用原始圖形的有限個仿射變換子圖去拼貼，因此對拼貼精度的要求很高.本文通過建立計(jì)算機(jī)交互式獲取自然景物IFS碼的系統(tǒng)環(huán)境，討論獲取IFS碼的新方法.該方法克服了拼貼精度對圖像效果的影響，所生成的圖形更接近真實(shí)景物.

1 仿射變換及迭代函數(shù)系統(tǒng)

二維仿射變換包括對圖形作繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，比例放大以及平移等.

定義二維歐式空間中的仿射變換為ω:R2→R2，(X，Y)為二維空間中的一點(diǎn)，其仿射變換映像為(X'，Y')，寫成矩陣形式即為:

其中a，b，c，d，e，f 6個參數(shù)為實(shí)系數(shù)，它們完全確定一個仿射變換.仿射變換的另一種表達(dá)形式為:

其中:r，q分別為x方向和y方向的壓縮比例因子;θ為x軸旋轉(zhuǎn)角度;φ為y軸旋轉(zhuǎn)角度;e為x方向平移量;f為y方向平移量.

另外，對于一個仿射變換，總可以找到一個非負(fù)的數(shù)s使Rn中任意的2個空間點(diǎn)z1，z2都滿足:

這里的非負(fù)數(shù)s稱為映射ω的Lipshitz常數(shù).s可看作映射ω的壓縮比，若s＜1，則稱仿射變換ω為一壓縮映射.

圖1的分形樹是根據(jù)表1的IFS碼，運(yùn)用隨機(jī)迭代算法，在VC++6.0下繪制而成.其算法為:

step4:根據(jù)仿射變換ωk計(jì)算點(diǎn).

由以上迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)對自然景物繪制算法的討論可以得出:使用幾個IFS碼就可以獲得復(fù)雜的自然景物，問題的關(guān)鍵在于找到植物合適的IFS碼.這里討論采用計(jì)算機(jī)交互式獲取自然景物IFS碼的方法.

圖1 分形樹Fig.1 Fractal tree

表1 分形樹的IFS碼Table 1 Fractal tree’s IFS

2 獲取IFS碼的計(jì)算機(jī)交互式系統(tǒng)環(huán)境的建立

2.1 仿射變換集的獲得

基于拼貼原理，把原始圖形分成若干部分，每一部分都是原圖不同仿射變換下的子圖，所有部分拼貼在一起，要求與原始圖形的輪廓盡量能夠重合［5］.如圖2所示，把原始圖形分成4部分: ω1，ω2，ω3，ω4.在原始圖形上按照逆時針方向選取3個特征性點(diǎn)Z1(X1，Y1)，Z2(X2，Y2)，Z3(X3，Y3).在子圖上按相同的方向選取與原始圖形對應(yīng)的3個特征性點(diǎn)Z'1(X'1，Y'1)，Z'2(X'2，Y'2)，Z'3(X'3，Y'3).根據(jù)公式

解線性方程組，即可求出其仿射變換ω的6個系數(shù)a、b、c、d、e、f.同理，可求出其他3組仿射變換系數(shù)，進(jìn)而求得仿射變換集{ω1，ω2，ω3，ω4}.

圖2 拼貼圖Fig.2 Collage graph

由于選取的對應(yīng)的3組特征點(diǎn)有一定的隨意性，每次選取的對應(yīng)位置點(diǎn)不一定是合適的.同時，筆者認(rèn)為3點(diǎn)并不能反映圖形的全貌.解決的辦法是:通過計(jì)算機(jī)交互式系統(tǒng)環(huán)境，適當(dāng)?shù)卣叶鄠€點(diǎn)，設(shè)為n個，求解方程時只利用其中的3組點(diǎn)計(jì)算ωi(i=0，1，2，3)，共有取法，可計(jì)算出個ωi(i=0，1，…)，與其他ωj(j=0，1，…，j≠i)組合，分別得到不同但相似的景物，選取其中最好的1個結(jié)果.例如圖3中，在每一個子圖上選取4對點(diǎn)，求解方程組時用其中任意3對點(diǎn)，共有種取法，每種取法可計(jì)算出一個ωi，總計(jì)可計(jì)算出個ωi，與其他ωj(j=0，1，2，3)組合，即得到不同的結(jié)果.

圖3 拼貼圖的改進(jìn)Fig.3 Collage graph’s improvement

2.2 概率集的獲得

這樣，IFS碼全部求得.表2為根據(jù)改進(jìn)后的拼貼圖(圖3)和公式(4)、(5)求解的IFS碼.

表2 圖3的IFS碼Table 2 Codes of IFS in Fig.3

根據(jù)表2所得到的IFS碼，采用隨機(jī)迭代算法重構(gòu)分形圖形，在VC++6.0環(huán)境中編程得到圖4的結(jié)果.

圖4 重構(gòu)的分形圖形Fig.4 New fratal graphs

3 結(jié)論

在拼貼定理的基礎(chǔ)上，提出交互式獲取IFS碼的方法，并在VC++6.0環(huán)境下實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:用此方法獲取IFS碼，操作簡單，重構(gòu)圖形的準(zhǔn)確度較高.但此方法仍有不足，如對特征點(diǎn)的選擇，如何判定拾取的點(diǎn)更為精準(zhǔn)，需要建立一個較為客觀的標(biāo)準(zhǔn)，這將是一個具有廣泛前景的課題.

［1］ 胡瑞安，胡紀(jì)陽，徐樹公.分形的計(jì)算機(jī)圖形及其應(yīng)用［M］.北京:中國鐵道出版社，1995:145－155.

［2］ 李富平，蔡秀云.迭代函數(shù)系統(tǒng)中IFS碼的變換及應(yīng)用［J］.工程圖學(xué)學(xué)報，1998(2):48－52.

［3］ 周運(yùn)紅.自然景物建模及圖像壓縮分形反問題的研究［D］.大連:大連理工大學(xué)工程圖學(xué)系，2000: 21－30.

［4］ 何謹(jǐn)，張國鋒，戴樹嶺.迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS碼的獲取方法及實(shí)現(xiàn)［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2010，27(8):222－225.

［5］ 魏小鵬，周運(yùn)紅，張建明.自然景物IFS建模技術(shù)研究［J］.工程圖學(xué)學(xué)報，2003(4):103－109.