吳敬東， 李 濤， 金 瑩， 王 娜

(沈陽化工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧沈陽110142)

轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題絕大多數(shù)都是非線性的，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，均有混沌運動發(fā)生.研究故障轉(zhuǎn)子的混沌運動及其控制，對于設(shè)備的故障診斷、保證生產(chǎn)的安全和提高生產(chǎn)效率等都具有重要的意義.自從20世紀(jì)90年代，Ott、Grebogi和Yorke［1］提出了OGY混沌控制方法以來，混沌的控制方法［2－5］在許多科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)得到了應(yīng)用和發(fā)展.但對于轉(zhuǎn)子碰摩中的混沌控制研究還很少，張進思、路啟韶等［6］采用變量延遲反饋控制法(DVFC法)，將轉(zhuǎn)子碰摩運動鎮(zhèn)定到擦邊周期1軌道上，從而對碰摩轉(zhuǎn)子映射系統(tǒng)進行了有效的控制.梁?；?、鄭偉峰［7］采用非線性反饋混沌控制方法，將碰摩轉(zhuǎn)子映射系統(tǒng)的混沌運動控制到有規(guī)則的擦邊周期1軌道和單點碰摩周期2軌道.于洪吉、呂和祥［8－9］小參數(shù)瞬態(tài)干擾反饋最優(yōu)控制算法，有效地控制了動態(tài)油膜力作用下的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌運動.本文采用文獻［8－9］的最優(yōu)參數(shù)控制方法，對非線性剛度軸支撐的碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可調(diào)參數(shù)施以很小的瞬態(tài)干擾反饋，借助一個小的參數(shù)干擾反饋序列，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運動控制在嵌入其中的某一不穩(wěn)定的周期軌道上，從而使非線性剛度軸支撐的碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定運動得到有效控制.

1 最優(yōu)參數(shù)控制基本思想

一個離散時間動力系統(tǒng)可描述如下:

式中:Z∈Rn是一個n維變量，u∈Rm是一個m維系統(tǒng)可調(diào)參數(shù).對于連續(xù)時間變量動力學(xué)系統(tǒng)，可由Poincare映射轉(zhuǎn)化為離散時間動力系統(tǒng).假定當(dāng)u=u0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，對系統(tǒng)啟動一個瞬態(tài)小參數(shù)干擾，以便將系統(tǒng)的混沌運動穩(wěn)定在某一個不穩(wěn)周期軌Z*=F(Z*，u0)上.依據(jù)混沌的各態(tài)歷經(jīng)性，混沌軌在某一時刻可接近不穩(wěn)定周期軌，落入到該軌的任意小的鄰域，引入?yún)?shù)干擾△uk=uk－u0，控制混沌軌朝向該不穩(wěn)定周期軌.利用映射(1)的一個線性逼近

式中D—n×n雅可比矩陣.

G—n×m梯度矩陣.

uk—對u0作一個適當(dāng)小改變的控制參數(shù)，參數(shù)uk的調(diào)整被限制在如下范圍內(nèi):

式中Δumax—參數(shù)的最大調(diào)整量.為了控制混沌軌在周期軌Z*上，定義用于測量的距離:

那么所采用的最優(yōu)控制策略如下:

在控制過程中，如果出現(xiàn)|Δuk|＞Δumax的情況，動力系統(tǒng)的輸出Zk將會以混沌軌的形式在Z*點處漫游，由混沌軌的各態(tài)歷經(jīng)性，在有限的時間內(nèi)，該混沌軌會返回Z*任意小的鄰域，此時再對混沌軌實施小參數(shù)干擾控制，將混沌軌導(dǎo)向并穩(wěn)定在Z*上.

2 非線性剛度碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌運動的最優(yōu)控制

2.1 非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運動分析

非線性剛度軸支撐的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子與碰摩力模型如圖1所示.

圖1 Jeffcott轉(zhuǎn)子(a)與碰摩力模型(b)Fig.1 Jeffcott rotor(a)and rubbing force model(b)

具有非線性剛度和線性阻尼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)局部碰摩運動微分方程［10］為:

式中:m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，c為軸的阻尼系數(shù)，u為質(zhì)量偏心量，ω為轉(zhuǎn)子角速度，F(xiàn)1x、F1y為碰摩力.

引入無量綱參數(shù):

進行無量綱變換，則得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的無量綱局部碰摩運動微分方程，省略上標(biāo)“－”，方程為:

現(xiàn)利用定步長四階Runge-Kutta法，對式(9)進行數(shù)值分析，計算中每一周期積分步長為1/512，共計算2 200個周期，舍棄前2 000個周期，取后200個周期，誤差小于10－5.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)為:ω=1.3，α=0.5，β=3.0，δ=0.001 6，f=0.12.在上述參數(shù)下，研究轉(zhuǎn)子參數(shù)變化對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響.

圖2為碰摩轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)位移隨轉(zhuǎn)子偏心量u變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖.圖3為碰摩轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)位移隨轉(zhuǎn)子阻尼ξ變化的最大Lyapunov指數(shù)圖.

圖2 轉(zhuǎn)子位移隨偏心u的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.2 The rotor displacement of the bifurcation with eccentric u diagram and the biggest Lyapunov index figure

圖3 關(guān)于阻尼ξ的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 The biggest ξ about damping Lyapunov index figure

2.2 混沌運動控制

利用Poincare映射，對上述系統(tǒng)的軌跡進行頻閃采樣［8］，找出滿足式

的閉合回路Zj，1、Zj，2.定義

當(dāng)u=0.126、ξ=0.15時的Poincare映射圖和相跡圖如圖4、圖5所示，可知其處于混沌狀態(tài).另外可計算該點的最大Lyapunov指數(shù)為0.022 88，是正數(shù)，也表明系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài).

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌的Poincare截面圖Fig.4 Rotor system of chaos Poincare section graph

圖5 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌的相軌跡圖Fig.5 Rotor system chaos phase track graph

下面對3種情況分別進行探討:①對u和ξ同時進行小參數(shù)控制;②只對ξ進行小參數(shù)控制;③只對u進行小參數(shù)控制.

2.2.1 對u和ξ同時進行小參數(shù)控制

對上述混沌系統(tǒng)實施瞬態(tài)參數(shù)Δu和Δξ干擾控制.采樣混沌運動的時間歷程，當(dāng)一個采樣點靠近ˉZ*時，即本文在i=22步時，一個采樣點落入ˉZ*的鄰域，此時開動最優(yōu)瞬態(tài)小參數(shù)干擾，經(jīng)過一段時間最終穩(wěn)定下來.圖6顯示了系統(tǒng)控制后的Poincare映射點，圖7顯示了系統(tǒng)控制后的相軌跡圖.可見，此混沌軌經(jīng)過控制最終穩(wěn)定在十倍周期軌道上.

圖6 控制后的Poincare截面圖Fig.6 After control Poincare graph

圖7 控制后的相軌跡圖Fig.7 After control phase track graph

圖8(a)、(b)分別是小參數(shù)干擾反饋△u和△ξ與控制步i的關(guān)系圖.可看到△u在0.13和－0.23之間變化，最終穩(wěn)定在－0.05上;△ξ在0.03與－0.05之間變化，最終穩(wěn)定在0.011 2上.如果控制參數(shù)取得過小，將不能穩(wěn)定到周期軌上來.

圖8 控制過程中參數(shù)調(diào)整與控制步i的關(guān)系Fig.8 The relationship between the parameterand control steep i

2.2.2 只對ξ進行小參數(shù)控制

對上述混沌系統(tǒng)實施瞬態(tài)參數(shù)Δξ干擾控制，也可將混沌運動最終穩(wěn)定下來.圖9顯示了系統(tǒng)控制后的Poincare映射點，圖10顯示了系統(tǒng)控制的相軌跡圖.可見，此混沌軌經(jīng)過控制最終穩(wěn)定在多倍周期軌道上.其控制效果不如上述同時對u和ξ進行控制的效果.圖11是小參數(shù)干擾反饋△ξ與控制步i的關(guān)系圖.可見，△ξ在0.15與－0.20之間變化，最終穩(wěn)定在－0.051 3上.若△ξ取得過小將不能穩(wěn)定到周期軌上來.

圖9 控制后的Poincare截面圖Fig.9 After control Poincare graph

圖10 控制后的相軌跡圖Fig.10 After control phase track graph

圖11 控制過程中參數(shù)調(diào)整與控制步i的關(guān)系Fig.11 The relationship between the parameterand control steep i

2.2.3 只對u進行小參數(shù)調(diào)整

對上述混沌系統(tǒng)實施瞬態(tài)參數(shù)干擾控制Δu，也可將混沌最終穩(wěn)定下來.控制參數(shù)u的調(diào)整量Δu取值范圍不同，其控制效果也不同.

如圖12(a)、(b)、(c)，圖13(a)、(b)、(c)，圖14(a)、(b)、(c)所示為偏心調(diào)整量Δu的最大值分別為0.05、0.01、0.005時，系統(tǒng)控制后的Poincare映射圖、相軌跡圖和調(diào)整量Δu隨控制步i變化的關(guān)系圖.

圖12 偏心調(diào)整量Δu的最大值為0.05時的控制圖Fig.12 The maximum eccentric Δu is 0.05 graph

圖13 偏心調(diào)整量Δu的最大值為0.01的控制圖Fig.13 The maximum eccentric Δu is 0.01 graph

圖14 偏心調(diào)整量Δu的最大值為0.005的控制圖Fig.14 The maximum eccentric Δu is 0.005 graph

經(jīng)過計算可知，Δumax大于0.003時，能夠?qū)⒒煦邕\動控制在不穩(wěn)定的周期軌上.當(dāng)Δumax小于0.003時不能將混沌控制住.

3 結(jié)論

利用控制混沌力學(xué)特性的小參數(shù)瞬態(tài)干擾反饋最優(yōu)控制方法，對非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)外部可調(diào)參數(shù)偏心量u和阻尼ξ同時制作一個小的干擾反饋序列進行控制，及分別只對偏心量u或阻尼ξ作一個小的干擾反饋序列控制，有效地將系統(tǒng)的混沌運動逐步控制到不穩(wěn)定周期軌上，并使之穩(wěn)定下來.結(jié)果表明:對兩參數(shù)分別控制不如同時對兩個參數(shù)控制的效果好，同時也說明該控制算法對非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌控制是有效的.

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［6］ 張進思，路啟韶，王士敏.碰摩轉(zhuǎn)子映射系統(tǒng)的延遲反饋混沌控制［J］.固體力學(xué)學(xué)報，2001，22(1): 89－94.

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［8］ 于洪潔.多自由度轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)數(shù)值分析及混沌控制［D］.大連:大連理工大學(xué)，2002.

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