楊詠東 王君美

(煙臺(tái)大學(xué)光電信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 山東 煙臺(tái) 264005) (煙臺(tái)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院 山東 煙臺(tái) 264005 )

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)作為一種新型教學(xué)手段，以其生動(dòng)、直觀、形象的特點(diǎn)，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的聽覺、視覺器官，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；因此越來(lái)越多地被許多教師應(yīng)用于大學(xué)物理的教學(xué)當(dāng)中.其中Powerpoint是絕大多數(shù)教師所采用的教學(xué)軟件；用它來(lái)進(jìn)行多媒體課件的制作、演示非常簡(jiǎn)單方便.但是Powerpoint制作多媒體課件有其局限性，物理學(xué)中的許多最終結(jié)果，特別是圖像的繪制難以用Powerpoint來(lái)完成，而Matlab教學(xué)軟件正好可以彌補(bǔ)Powerpoint在這方面的缺陷[1].

Matlab是由美國(guó)Mathworks公司開發(fā)的一套大型科學(xué)計(jì)算軟件.主要用于數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、圖形圖像處理、信號(hào)處理和仿真等[2].Matlab簡(jiǎn)單易學(xué)，具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算功能以及強(qiáng)大的繪圖功能，并且有專業(yè)性比較強(qiáng)的學(xué)科性工具箱可供使用[3]，可以充分滿足大學(xué)理工科學(xué)生的計(jì)算及專業(yè)需要，各大學(xué)也因此開設(shè)了相應(yīng)的Matlab課程，并成了理工科學(xué)生必須掌握的工具之一.

下面通過(guò)幾個(gè)實(shí)例，介紹Matlab在大學(xué)物理熱學(xué)課件制作中，特別是在麥克斯韋速率分布和卡諾循環(huán)中的應(yīng)用.

1 Matlab在麥克斯韋速率分布中的應(yīng)用

氣體動(dòng)理論中麥克斯韋速率分布律是熱學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).這是因?yàn)辂溈怂鬼f速率分布律公式比較復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明比較繁瑣，其圖像難以用Powerpoint來(lái)表現(xiàn)；如果借助Matlab就可以比較方便地解決這些問(wèn)題.麥克斯韋速率分布函數(shù)表達(dá)式為

其中， k=1.38×10-23J·K-1為玻爾茲曼常量，m，T，v 分別為氣體分子的質(zhì)量，氣體的熱力學(xué)溫度和氣體分子的速率.

最概然速率為

先編寫一個(gè)獨(dú)立的Maxwell函數(shù)文件，以便后續(xù)調(diào)用.

functionf=Maxwell(T,M,v)

R=8.31;%普適常量

globalkNam

m=M/Na;%氣體分子的質(zhì)量

若將麥克斯韋速率分布函數(shù)在整個(gè)速率區(qū)間積分，將得到所有速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)百分比的總和，顯然等于1，即所謂的歸一化.可由以下Matlab代碼加以驗(yàn)證：

symsv;ra=int(Maxwell(300,28e-3,v),0,inf);gyh=vpa(ra,2)

運(yùn)行結(jié)果：

gyh=

1.0

在用Powerpoint制作多媒體課件的過(guò)程中，遇到的首要問(wèn)題是麥克斯韋速率分布函數(shù)圖像的繪制問(wèn)題，可以用Matlab中的plot函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn).首先調(diào)用上面的Maxwell函數(shù)，取得圖像縱坐標(biāo)，然后調(diào)用plot函數(shù)繪制分布曲線.核心代碼如下：

f=Maxwell(T,M,0:vmax);

plot(0:vmax,f,′k′,′LineWidth′,1);%繪制麥克斯韋速率分布律

代碼中的T表示熱力學(xué)溫度，M表示氣體的摩爾質(zhì)量，vmax表示速率范圍的上限，默認(rèn)下限是零，使用時(shí)要代入具體的參數(shù).

改變參數(shù)，可以得到不同溫度、不同氣體的麥克斯韋速率分布曲線，如圖1所示.圖中加入了最概然速率的計(jì)算.

圖1

在實(shí)際應(yīng)用中，還會(huì)遇到求速率處于某個(gè)范圍的分子數(shù)所占的百分?jǐn)?shù)及其圖像繪制問(wèn)題.實(shí)現(xiàn)的Matlab核心代碼如下：

g=quad(@(v)Maxwell(T,M,v),v1,v2);%積分計(jì)算所給速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率

f=Maxwell(T,M,0:3000);

plot(v,f,′k′,′LineWidth′,1);%畫分布律曲線

holdon;f=Maxwell(T,M,v1:v2);

fill([v,vend,vorigin],[f,0,0],[0.7,0.7,0.7]);%將所給速率范圍畫上陰影

其中v1，v2分別表示速率區(qū)間的始末值，使用時(shí)要代入具體參數(shù).選取T=1000K， v1=300m/s，v2=500m/s，M=28×10-3kg/mol，得到的圖像如圖2所示.即300～500m/s速率區(qū)間范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為0.12，即圖中的陰影范圍.

圖2 某速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率

2 Matlab在卡諾循環(huán)中的應(yīng)用

卡諾循環(huán)圖的繪制也是多媒體課件制作過(guò)程中必不可少的環(huán)節(jié)，可以用Matlab準(zhǔn)確地繪制卡諾循環(huán)圖像，如圖3(a)所示.首先確定等溫膨脹過(guò)程始末體積，也就是兩條絕熱線與等溫膨脹線的兩個(gè)交點(diǎn).然后利用plot函數(shù)繪制分別經(jīng)過(guò)a，b兩交點(diǎn)的兩條絕熱線，再繪制兩條等溫線.核心代碼如下：

R=8.31;Y=(i+2)/i;%比熱比

Pa=R*T2/Va;Pb=R*T2/Vb;

Vd=Vc*Va/Vb;Pc=R*T1/Vc;Pd=R*T1/Vd;

V2=1.1*Vc;V=0.9*Va:(V2-Va)/1000:V2;

plot(V,Pj1,′b′,V,Pj2,′b′,′LineWidth′,1);%繪制兩條絕熱線

Pt1=(R*T1)./V;Pt2=(R*T2)./V;

plot(V,Pt1,′k′,V,Pt2,′k′,′LineWidth′,1); %繪制兩條等溫線

其中，i是氣體分子自由度；T1是低溫?zé)釒?kù)溫度，T2是高溫?zé)釒?kù)溫度；Va，Vb分別為等溫膨脹始末體積.取i=3，T1=300K，T2=400K，Va=3×10-3m3，Vb=5×10-3m3.得到圖像如圖3(a)所示.

圖3 卡諾循環(huán)

由熱力學(xué)第一定律，可以證明兩條絕熱線bc，da與橫軸所包圍的面積相等，如圖3(b)所示.很多教師繪制的卡諾循環(huán)圖像不嚴(yán)格，不滿足這個(gè)條件，是不準(zhǔn)確的.用Matlab可以將圖像畫出來(lái)，亦可計(jì)算二者面積，證明其相等.首先，利用上面的代碼繪制卡諾循環(huán)圖，然后用fill函數(shù)將bc，da與橫軸所包圍的面積加上陰影，最后可以用trapz函數(shù)計(jì)算二者的面積.取i=3，T1=300K，T2=400K，Va=3×10-3m3，Vb=5×10-3m3.得到圖像如圖3(b)所示.

3 小結(jié)

由以上例子可以看出Matlab在大學(xué)物理熱學(xué)教學(xué)中有很大用處；特別是其強(qiáng)大的繪圖功能、簡(jiǎn)單的編程，給教師制作多媒體課件帶來(lái)了方便.在實(shí)際應(yīng)用中，更多的復(fù)雜問(wèn)題都可以根據(jù)具體情況，用Matlab方便快捷的解決.

參考文獻(xiàn)

1 張星輝. 在大學(xué)物理教學(xué)中使用Matlab制作圖像和動(dòng)畫的幾個(gè)實(shí)例.大學(xué)物理，2004，23(9):59

2 葛哲學(xué). 精通MATLAB.北京：電子工業(yè)出版社，2008

3 劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用 .(第二版).北京：高等教育出版社，2009