張新華

(浙江省天臺(tái)中學(xué) 浙江 臺(tái)州 317200)

一艘漁艇停泊在距岸9 km處，今需派人送信給距漁艇15 km處的海岸漁站，如果送信人步行每小時(shí)5 km，船速每小時(shí)4 km,問(wèn)應(yīng)該在何處登岸，再步行可以使抵達(dá)漁站的時(shí)間最省？

解法一：矢量分解法

不妨先設(shè)人從岸上出發(fā)，再跳入水中到達(dá)船原來(lái)所在的位置，該過(guò)程所花的時(shí)間與坐船沿相同路徑到岸邊再跑至漁站所花的時(shí)間相等．

如圖1，A為漁站，B為漁艇原來(lái)的位置，AB與岸方向夾角為θ．

圖1

設(shè)人在岸上先經(jīng)C點(diǎn)，再進(jìn)入水中．

tAC=tEC

(1)

又

故直接從A到B，在AH段所花時(shí)間與從E到C(即A到C的分運(yùn)動(dòng))所花時(shí)間相等．所以

tAH=tEC

(2)

由式(1)、(2)可知

tAC=tAH

(3)

人從C到B所用時(shí)間等于從C到F所用時(shí)間，即

tCB=tCF

(4)

所以tHB

(5)

由式(4)、(5)可知

tHB

(6)

綜上所述

tAHB=tAH+tHB

所以，在本題中選A→H→B的路線(即直航路線)最合適．

有同學(xué)會(huì)認(rèn)為本題中直航的走法具有偶然性．若漁站在A點(diǎn)左側(cè)A′點(diǎn)(如圖2)，應(yīng)當(dāng)怎么走呢？

圖2

答案是先從A′點(diǎn)走到A點(diǎn)，再在A點(diǎn)下水直達(dá)B，此時(shí)A點(diǎn)是與B連線與岸夾角為θ的點(diǎn)

下面給出證明：

情況一：人過(guò)A點(diǎn)后繼續(xù)跑，直到C點(diǎn)才下水．那么人在后半段，即A→C→B所花的時(shí)間將大于從A直接到B所花的時(shí)間．

tA′A=tEA

(7)

若人在C點(diǎn)下水，則其軌跡為A′→C→B，且

tA′C=tD C=tEH

(8)

而由圖可知CB>HB，又因?yàn)槿嗽贑B段的速度為

v2=4 m/s

在HA段及AB段(即為HB段)的速度也為4 m/s．

所以tCB>tHB

(9)

由式(7)～(9)可知

tA′CB=tA′C+tCB=tEH+tCB>

tEH+tHB=tEA+tAB=tA′A+tAB=tA′AB

綜上可得：結(jié)論是tA′AB為最短時(shí)間．

解法二：邊界法

如圖3，以岸為x軸，漁站為O點(diǎn)，建立坐標(biāo)系．

圖3

設(shè)經(jīng)時(shí)間Δt，作一以O(shè)C=v2Δt為半徑的圓，這是不跑，直接進(jìn)入水中的一種狀態(tài)．再在x軸上作一直線長(zhǎng)為OA=v1Δt,這是不跳水，只跑的狀態(tài)，兩個(gè)狀態(tài)均用掉Δt時(shí)間．

過(guò)A作圓O的切線交于B點(diǎn)，設(shè)AB與x軸負(fù)方向夾角為θ．

設(shè)經(jīng)時(shí)間Δt′(Δt′<Δt)后跳水，則在岸上行OD=v1Δt′，作DH⊥AB，且交AB于H點(diǎn).則

所以

DH=v2(Δt-Δt′)

而這即是在岸上用掉時(shí)間Δt′后，在水中所能游的最大半徑．

又因?yàn)樵摪霃脚c直線AB垂直，故圓D與AB相切．因?yàn)镈是任意點(diǎn)，故對(duì)所有的0≤Δt′≤Δt，上述結(jié)果均成立，故AB是無(wú)數(shù)個(gè)圓組成的包絡(luò)線．

而CBA與x軸、y軸圍成的區(qū)域即為Δt內(nèi)可能到達(dá)的最大范圍．

又因?yàn)镃BA是界限，而到達(dá)界限是一個(gè)臨界狀態(tài)，即沖在最前頭．

而到達(dá)界限所選擇的路徑恰巧是先在岸上走，再垂直于邊界游，直至到達(dá)到目的地．此時(shí)所花時(shí)間最短(單位時(shí)間內(nèi)能游到最遠(yuǎn)處)，而此時(shí)在水中游的速度方向與x軸的夾角α滿足

由題意，漁站與漁艇的連線與x軸恰好成α，故直通最省時(shí)．

解法三：類比法

由費(fèi)馬原理可知：光沿光程為極值的路徑傳播．若人所選擇的路線最省時(shí)，不妨將人類比為光．

設(shè)人在岸上走的速率為v1，在水中的速率為v2．

圖4

如圖4，根據(jù)光的折射定律得

所以人進(jìn)入水后的速度方向與岸的夾角為

即直通最省時(shí)．

解法四：求導(dǎo)法

如圖4，設(shè)AC=x,則CD=12-x.

在直角△BCD中

則

故總時(shí)間

上式中t對(duì)x求導(dǎo)后，令t′=0,解得x=0.

故在A處登岸最合適．

解法五：微元法

圖5

如圖5，設(shè)A→E→B為最合適的路徑．

在E的右邊取一點(diǎn)C，令EC=Δx且Δx→0

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，tAEB為總時(shí)間t是關(guān)于x(x=AE)的一個(gè)極值．

在極值處，t的導(dǎo)數(shù)值為零，故在該處附近，t關(guān)于x的變化率為零，即Δt→0.

故人沿ACB行走所花的時(shí)間與沿AEB行走所花時(shí)間之差Δt=0.

而人從E→C代表在岸上多跑了時(shí)間

在水中(C→B)少花的時(shí)間可近似為

因

Δt=tEC-tEH=0

故可解得

由題意，直通最合適．

因時(shí)間t關(guān)于x(x=AE)的函數(shù)極值附近有左極限和右極限，以上只證明了其中一個(gè)．

對(duì)于另一種的討論，請(qǐng)讀者參照?qǐng)D6自行證明，本文不再贅述．

圖6

點(diǎn)評(píng)：

一道題目，五種解法，殊途同歸，各有千秋．

方法一淺顯易懂、思維嚴(yán)密，是解決此類問(wèn)題的“通法”，是重要的物理模型；

方法二受“惠更斯原理”啟發(fā)，知識(shí)覆蓋面廣，應(yīng)用靈活；

方法三思路清晰，運(yùn)算量少，體現(xiàn)了類比的思想方法；

方法四體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)強(qiáng)有力的“工具性”，也是一種十分可取的方法；

方法五體現(xiàn)了微元的思想，與方法四原理類似，但運(yùn)算量大大減?。?/p>

由此可見(jiàn)，本題的五種解法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性的思維能力，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力都大有裨益．