文欽若 嚴(yán)立坤 程云云 丁學(xué)成

(河北大學(xué)物理學(xué)院 河北 保定 071002)

1 地面參照物的受力分析

當(dāng)討論質(zhì)點(diǎn)或物體相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常需要在附近區(qū)域(不能太遠(yuǎn))有一個(gè)相對(duì)地面靜止的參照物，當(dāng)參照物確定后，相對(duì)于這個(gè)參照物靜止或做勻速直線平動(dòng)的坐標(biāo)系都可稱為地面坐標(biāo)系．

下面以實(shí)驗(yàn)室中一張水平放置的桌子當(dāng)作地面參照物為例討論其受力情況，桌子所受的力可分為以下三組.

1.1 第一組力——桌子所受的重力與地面彈力

桌子所受的重力也就是地球?qū)ψ雷拥囊?，所以，重力的方向?yīng)指向地心．注意到地球有自轉(zhuǎn)，或者注意到地球?yàn)楸馇蝮w，除赤道與兩極外，重力并不垂直水平面．桌子對(duì)地球的壓力也就是桌子的重量，此壓力的反作用力就是地面對(duì)桌子的彈力，此力應(yīng)垂直于水平面，但除赤道和兩極外，此彈力的作用線并不通過(guò)地心．桌子所受的重力與地面彈力的合力方向應(yīng)垂直于地球的自轉(zhuǎn)軸，此合力就是桌子隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)所需要的向心力，此力與緯度有關(guān)．根據(jù)地球的自轉(zhuǎn)角速度可求得不同緯度處的向心加速度．

1.2 第二組力——太陽(yáng)與月亮等對(duì)桌子的引力

桌子與太陽(yáng)、月亮之間的距離可近似等于地球與太陽(yáng)、月亮的距離，從而可近似計(jì)算出太陽(yáng)、月亮等對(duì)桌子的引力．應(yīng)注意，太陽(yáng)、月亮等對(duì)桌子引力的合力是變化的，這是由于太陽(yáng)、月亮等相對(duì)于桌子的位置在不停地變化之故．對(duì)于地球兩極附近的地面參照物，第二組力起著重要的作用．

1.3 第三組力——所討論的質(zhì)點(diǎn)或物體對(duì)桌子的作用力

當(dāng)在桌子或桌子附近討論質(zhì)點(diǎn)或物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所討論的質(zhì)點(diǎn)或物體對(duì)桌子可能存在作用力，此作用力包括摩擦力、電磁力、引力等，由于桌子相對(duì)于地面應(yīng)保持靜止，則第三組力可引起地面對(duì)桌子產(chǎn)生附加的作用力．將桌子視為剛體，則第三組力與地面對(duì)桌子附加的作用力基本上是剛體的平衡力系，但第一組力與第二組力不是剛體的平衡力系．在第一、二組力的作用下，桌子跟隨地球一起做加速運(yùn)動(dòng)．

2 自由落體運(yùn)動(dòng)

2.1 運(yùn)動(dòng)方程

考慮小球在地球引力作用下的自由落體運(yùn)動(dòng)．將小球與地球都視為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)小球的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，在坐標(biāo)系S中( S為一般慣性系或非慣性系)，小球與地球的運(yùn)動(dòng)方程可以用下式描寫

(1)

其中，r1與r2分別為小球與地球在S系中的位矢；f為地球?qū)π∏虻囊?；F1與F2分別為太陽(yáng)、月亮等對(duì)小球與地球的引力；F1i與F2i分別為小球與地球在S中的慣性力．作變量替換

(2)

則式(1)化為

(3)

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能量關(guān)系式

(4)

(5)

(6)

式(6)兩邊乘以dr得

-▽U(r)·dr=μvdv

(7)

式(7)兩邊從r0至r積分得

(8)

式(8)右邊的積分可在數(shù)學(xué)手冊(cè)中查到[1]．將式(8)改寫為

(9)

其中E稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能量，它是不隨時(shí)間變化的守恒量．由萬(wàn)有引力定律[2]可知

(10)

(11)

2.3 地面坐標(biāo)系中地球的運(yùn)動(dòng)

因地面坐標(biāo)系應(yīng)相對(duì)于地面參照物靜止或做勻速直線平動(dòng)，而地面參照物相對(duì)與地球靜止，所以，在地面參照系中，地球必靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)．必須注意，在式(1)中第二式中，(-f+F2+F2i)并不等于零，所以，求得的地球在地面坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不是靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)．出現(xiàn)這種矛盾的原因是由于在建立地面坐標(biāo)系時(shí)不允許將地球視為質(zhì)點(diǎn)，而在式(1)中將地球視為質(zhì)點(diǎn)的緣故，所以，在地面坐標(biāo)系中，不能根據(jù)式(1)中的第二式討論地球的運(yùn)動(dòng)．

2.4 地面坐標(biāo)系中小球的能量關(guān)系式

在地面坐標(biāo)系中，式(1)中的第一式可近似地寫為

(12)

(13)

注意到v2只能是常矢量，則式(13)從r10至r1積分得

(14)

其中，h為地面附近(r1-r10)在(r2-r1)方向上的投影．式(14)也可改寫為

(15)

E是近似的守恒量．如果在沿豎直方向或沿斜坡方向勻速上升的電梯上觀察自由落體運(yùn)動(dòng)，則能量關(guān)系應(yīng)按式(14)或式(15)考慮．如果地面坐標(biāo)系相對(duì)于地面靜止不動(dòng)，則v2=0，這時(shí)，式(14)化為

(16)

注意到r=r1-r2而r2為常矢量，則v=v1，所以式(16)與式(11)基本相同．

參考文獻(xiàn)

1 數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè).北京：高等教育出版社，1979.439

2 周衍柏.理論力學(xué).南京：江蘇教育出版社，1961.125