劉 熠 劉 靜

(湖南師大附中 湖南 長沙 410006)

在近三年高考全國理綜卷Ⅰ和卷Ⅱ中的6道物理壓軸題中有4份試卷的壓軸題屬于同一類題型——帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動問題.這些試題經(jīng)一次次的陳題翻新，從而轉(zhuǎn)化為對粒子“源”問題的考查.該類題型受到廣大高考命題專家的喜愛.現(xiàn)就高考試題中粒子“源”產(chǎn)生的帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題作一深入探討與剖析，力求尋找解決此類問題的一些規(guī)律性的方法.

1 完全相同的粒子源問題

基本特點(diǎn)：每個(gè)粒子的質(zhì)量、電性、電荷量以及速度都相同.

運(yùn)動特點(diǎn)：它們垂直進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動的圓心和半徑都相同.

問題提升：讓有界磁場為特殊的圓形磁場，使得先后進(jìn)入磁場的粒子在磁場中的圓弧軌跡部分重疊，長短不一，出現(xiàn)磁聚焦問題.

【例1】(2009年高考浙江理綜卷第25題)如圖1所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場.在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸，從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向.

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由.

(3)若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由.

圖1

求解思路展示

明確目標(biāo)：確定帶電粒子出磁場時(shí)的位置.

分析運(yùn)動：各個(gè)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑都相同但圓心不一樣，其出磁場后做勻速直線運(yùn)動.

思維監(jiān)控:

(1)粒子在進(jìn)入磁場前做勻速直線運(yùn)動，說明受力平衡.

(2)粒子在進(jìn)入磁場后,問題的難點(diǎn)在于確定軌跡圓的圓心和半徑.

規(guī)律總結(jié)：此為磁聚焦問題.即如果在圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的邊界上某點(diǎn)向四周發(fā)射速率相同的帶電粒子，且粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑與磁場半徑相同，那么，粒子射出磁場時(shí)運(yùn)動方向一定相同.反之，粒子以相同速度平行射入這樣的磁場，粒子就能匯聚于磁場邊界上的某點(diǎn).

解析：(1)本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動.帶電粒子平行于x軸，從C點(diǎn)進(jìn)入磁場，說明帶電微粒所受重力和電場力平衡.設(shè)電場強(qiáng)度大小為E，由

mg=qE

可得

方向沿y軸正方向.

帶電微粒進(jìn)入磁場后，做勻速圓周運(yùn)動，且r=R.如圖2(a)所示，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.由

得

方向垂直于紙面向外.

圖2

(2)這束帶電微粒都通過坐標(biāo)原點(diǎn).從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動.如圖2(b)所示，設(shè)P點(diǎn)與O′點(diǎn)的連線與y軸的夾角為θ，其圓心Q的坐標(biāo)為(-Rsinθ，Rcosθ)，圓周運(yùn)動軌跡方程為

(x+Rsinθ)2+(y-Rcosθ)2=R2

得

x=0

y=0

或

x=-Rsinθ

y=R(1+cosθ)

(3)帶電微粒在磁場中經(jīng)過一段半徑為r′的圓弧運(yùn)動后，將在y軸的右方(x>0)的區(qū)域離開磁場并做勻速運(yùn)動，如圖3所示.靠近M點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠(yuǎn)處，靠近N點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒會在靠近原點(diǎn)處穿出磁場.

圖3

所以，這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是x>0.

2 速度不同的粒子源問題

此類粒子源射出的粒子，它們的質(zhì)量、電性和電荷量都相同，但是各粒子的速度不同，常常表現(xiàn)有速度大小不同，方向相同;或者速度方向不同，大小相同兩種情形.

類型1:速度方向不同的粒子源問題

基本特點(diǎn):每個(gè)粒子的質(zhì)量、電性、電荷量均相同，速度的大小相同，但方向不同.

運(yùn)動特點(diǎn):它們垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，圓心不同.

基本聯(lián)系:粒子都從粒子源處開始做勻速圓周運(yùn)動；圓心到源的距離都為圓周運(yùn)動的半徑.

(2)此時(shí)刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時(shí)間.

圖4

求解思路展示

明確目標(biāo)：“仍在磁場中……”意味著粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間必大于t0，即粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心角大于120°，關(guān)鍵是確定滿足條件的最大圓心角和最小圓心角(易知最小圓心角為120°) .

關(guān)注聯(lián)系：粒子都從原點(diǎn)O開始做半徑相同的圓周運(yùn)動，圓心的軌跡是以粒子源所在的位置為圓心，以R為半徑的圓弧.

圖5

解析： (1)如圖5(a)所示，粒子沿y軸的正方向進(jìn)入磁場，從P點(diǎn)經(jīng)過，以O(shè)P的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為圓心，根據(jù)幾何知識有

解得

由題意有

則粒子做圓周運(yùn)動的圓心角為120°，周期為T=3t0.粒子做圓周運(yùn)動的向心力由洛倫茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得

化簡得

(2)仍在磁場中的粒子其圓心角一定大于120°，這些粒子角度最小時(shí)從磁場右邊界穿出；角度最大時(shí)從磁場左邊界穿出.角度最小時(shí)從磁場右邊界穿出圓心角為120°，所經(jīng)過圓弧的弦長與(1)中相等，穿出點(diǎn)如圖6(a)M點(diǎn)，根據(jù)弦與半徑、x軸的夾角都是30°，所以，此時(shí)速度與y軸的正方向的夾角是60°.角度最大時(shí)從磁場左邊界N點(diǎn)穿出，半徑與y軸的夾角是60°，則此時(shí)初速度與y軸的正方向的夾角是120°.所以，速度與y軸的正方向的夾角范圍是60°～120°.

圖6

類型2:速度大小不同的粒子源問題

基本特點(diǎn):每個(gè)粒子的質(zhì)量、電性、電荷量均相同 ，速度的方向相同，大小不同.

運(yùn)動特點(diǎn):它們垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動的半徑不同，圓心不同.

基本聯(lián)系:粒子都從粒子源處開始做勻速圓周運(yùn)動；圓心到源的距離隨著速度的增大而增大.

(1)粒子a射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)速度的大?。?/p>

(2)當(dāng)a離開區(qū)域Ⅱ時(shí)，a,b兩粒子的縱坐標(biāo)之差.

圖7

求解思路展示

明確目標(biāo)：“此時(shí)…… b也從P點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域Ⅰ”意味著a在離開區(qū)域Ⅰ時(shí),b開始射入?yún)^(qū)域Ⅰ. 要求“當(dāng)a離開區(qū)域Ⅱ時(shí)，a，b兩粒子的縱坐標(biāo)之差”,一要確定a離開區(qū)域II時(shí)的位置，二要確定此時(shí)粒子b的位置.

分析運(yùn)動：粒子a在組合場中的臨界點(diǎn)速度不變，所畫的圓弧為相切圓弧，磁場同向時(shí)是同一方向的相切圓，磁場反向時(shí)是異向相切圓，兩個(gè)圓心的連線一定通過離開區(qū)域Ⅰ時(shí)的出射點(diǎn).

關(guān)注聯(lián)系：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射速度的大小，其對應(yīng)的軌跡半徑也就確定了.但由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了粒子運(yùn)動軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動，應(yīng)抓住其運(yùn)動軌跡的圓心、半徑和圓心角3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)求解.

思維監(jiān)控：在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動的軌跡圖(對應(yīng)臨界狀態(tài)的速度的方向)，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍.本題情境新穎，是對磁偏轉(zhuǎn)問題的成功創(chuàng)新，全面地考查了學(xué)生綜合運(yùn)用力學(xué)、電磁學(xué)知識與方法及數(shù)學(xué)方法的能力，是一道能有效區(qū)分學(xué)生能力與智力的好題.涉及了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，洛倫茲力計(jì)算式，牛頓第二定律，向心力計(jì)算式，圓周運(yùn)動的圓心及半徑分析，粒子在磁場中的軌道半徑計(jì)算，數(shù)學(xué)幾何上的邊角關(guān)系，圓心、圓弧與角度推導(dǎo)等.

解析：(1)如圖8，設(shè)粒子a在Ⅰ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的圓心為C(在y軸上)，半徑為Ra1，粒子速率為va，運(yùn)動軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P′,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(1)

由幾何關(guān)系得

∠PCP′=θ

(2)

(3)

式中θ=30°，由式(1)～(3)得

(4)

圖8

由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(5)

由式(1)、(5)得

(6)

C,P′和Oa三點(diǎn)共線，且由式(6)知Oa點(diǎn)橫坐標(biāo)

(7)

由對稱性知，Pa點(diǎn)與P′點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即

yPa=Ra1cosθ+h

(8)

式中h是C點(diǎn)的縱坐標(biāo).

設(shè)b在Ⅰ中運(yùn)動的軌道半徑為Rb1，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(9)

設(shè)a到達(dá)Pa點(diǎn)時(shí)，b位于Pb點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為α.如果b沒有飛出Ⅰ，則

(10)

(11)

式中，t是a在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動的時(shí)間，而

(12)

(13)

由式(5)及式(9)～(13)得

α=30°

(14)

由式(1)、(3)、(9)、(14)可見，b沒有飛出.Pb點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

yPb=Rb1(2+cosα)+h

(15)

可得，a,b兩粒子的縱坐標(biāo)之差為

(16)

3 質(zhì)量不同的粒子源問題

基本特點(diǎn)：此類粒子源射出的粒子的電性、電荷量和速度都相同，它們的質(zhì)量不同.其質(zhì)量要么連續(xù)變化，要么以幾個(gè)特定的值呈現(xiàn)出來.

運(yùn)動特點(diǎn)：它們垂直進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動的圓心和半徑都不相同.

基本聯(lián)系：粒子都是從粒子源所在的位置開始做圓周運(yùn)動，所以，圓心的軌跡是垂直初速度方向的一條線段.

【例4】(2010年高考全國卷Ⅱ)圖9中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里，圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面且垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域，不計(jì)重力.

(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量.

(3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？

圖9

求解思路展示

明確目標(biāo)：確定出磁場時(shí)的位置.

分析運(yùn)動：粒子在復(fù)合場中做勻速運(yùn)動，然后以相同的速度垂直進(jìn)入邊界磁場做勻速圓周運(yùn)動.

關(guān)注聯(lián)系：粒子都從H點(diǎn)開始做圓周運(yùn)動，圓心的軌跡是垂直初速度方向的一條線段，下端點(diǎn)為質(zhì)量最輕離子的圓心，上端點(diǎn)為質(zhì)量最重的乙離子的圓心.

圖10

規(guī)律總結(jié)：帶電粒子從某一點(diǎn)以方向不變而大小改變的速度(或質(zhì)量改變)射入勻強(qiáng)磁場，在勻強(qiáng)磁場中做半徑不斷變化的勻速圓周運(yùn)動.把其軌跡連續(xù)起來觀察，好比一個(gè)與入射點(diǎn)相切并在放大(速度或質(zhì)量逐漸增大時(shí))或縮小(速度或質(zhì)量逐漸減小時(shí))的運(yùn)動圓，如圖10.解題時(shí)借助圓規(guī)多畫出幾個(gè)半徑不同的圓，可方便發(fā)現(xiàn)粒子軌跡特點(diǎn)，達(dá)到快速解題的目的. 此題是通過改變粒子質(zhì)量實(shí)現(xiàn)軌跡的變化,求解粒子運(yùn)動過程中的臨界條件.

解析：略.

4 小結(jié)

高考壓軸題以帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動為背景，主要涉及3種重要的運(yùn)動形式，2種重要作用力(電場力、洛倫茲力)以及兩大解題方法的綜合應(yīng)用.一般設(shè)置遞進(jìn)或并列的2～3小問，各小問間的難度遞增，是整個(gè)理綜中難度較大，綜合性強(qiáng)，所占分值較重的題目，也是影響理綜成績高低的關(guān)鍵.

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)這一特點(diǎn)該問題的解決方法一般為：一定圓心，二畫軌跡，三用幾何關(guān)系求半徑，四根據(jù)圓心角和周期關(guān)系確定運(yùn)動時(shí)間.其中圓心的確定最為關(guān)鍵，一般方法為：(1)已知入射方向和出射方向時(shí)，過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)做垂直于速度方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心；(2)已知入射點(diǎn)位置及入射時(shí)速度方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過入射點(diǎn)做入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，做其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心.結(jié)合物體受力分析、數(shù)學(xué)知識、物理規(guī)律和方法綜合解決問題.