岳崇山

（河北北方學(xué)院理學(xué)院，河北 張家口075000）

雙切圓技術(shù)是考察區(qū)域的邊界曲線的對稱性的一種重要的方法.現(xiàn)在，許多文獻已經(jīng)對曲線的雙切圓進行了細致的研究，文獻 ［1］中Peter J.Gibin和S.A.Brassett討論了平面閉曲線的雙切圓的存在性問題；文獻 ［2］中Peter J.Gibin和Donal B.O’shea又對雙切圓問題的高維情形進行了進一步的推廣.在平面曲線的雙切圓問題中，切割函數(shù)是一個重要工具.文獻 ［3－6］從各種角度研究了切割函數(shù)的一些基本的性質(zhì)，特別是文獻 ［6］討論了平面曲線的切割函數(shù)對參數(shù)s的連續(xù)性和可導(dǎo)性.本文將討論切割函數(shù)對第二參數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性.

1 基本概念

約定r?（s）為平面上的Cm（m≥2）類正則曲線，參數(shù)s為弧長.定義一個集合

2 主要結(jié)果

先來考察平面曲線的切割函數(shù)對第二參數(shù)s0的連續(xù)性.

定理1 平面曲線的切割函數(shù)關(guān)于第二參數(shù)s0是連續(xù)函數(shù).

證明 f（s0，s）是平面曲線（s）的切割函數(shù).只需說明s0∈S是f（s0，s）的可去間斷點.不妨設(shè)（s0）→（s）時，s0→s.此時，切割函數(shù)f（s0，s）的分子分母都趨于零，故可以考慮使用羅比達法則.

即f（s0，s）關(guān)于參數(shù)s0是連續(xù)函數(shù).這樣，如果視切割函數(shù)為二元函數(shù)的話，切割函數(shù)是連續(xù)的.

下面的定理考察了平面曲線切割函數(shù)關(guān)于第二參數(shù)s0的可導(dǎo)性.

定理2 如果平面曲線關(guān)于參數(shù)s0是Cm（m≥2）類的，那么適當?shù)匮a充值之后，其切割函數(shù)關(guān)于第二參數(shù)s0是C（m－2）類的.

證明 當s?S時，由于平面曲線r?（s）是Cm類的，而其切割函數(shù)的表達式為

故此時f（s0，s）關(guān)于第二參數(shù)s0也是Cm類的.

下面研究f（s0，s）在s0∈S處的可導(dǎo)性.

由于新的表達式中，分子分母都是關(guān)于第二參數(shù)s0C（m－2）類的，且分母有意義，故適當?shù)匮a充值可以使得切割函數(shù)f（s0，s）是關(guān)于第二參數(shù)s0C（m－2）類的.

由定理1和定理2立即可得下面的推論.

推論1 如果平面曲線是光滑的，那么其切割函數(shù)對關(guān)于第二參數(shù)s0是光滑的.

結(jié)合文獻 ［6］的結(jié)果，由推論1還可以得到平面曲線的切割函數(shù)的非常好的結(jié)果.

定理3 如果平面曲線是光滑的，那么其切割函數(shù)關(guān)于參數(shù)s0和參數(shù)s都是光滑的.

［1］ Giblin PJ，Brassett SA.Local sy mmetr y of plane curves［J］.Amer Mat h Month，1985，（92）：689－707

［2］ Gibin PJ，O＇shea DB.The bitangent sphere problem ［J］.Amer Math Month，1990，97 （01）：5－23

［3］ 岳崇山，宋旭華.切割函數(shù)為常值的曲線的一個結(jié)果 ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，26（03）：13－15

［4］ 岳崇山.切割函數(shù)的運動不變性 ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，26（05）：10－13

［5］ 岳崇山，張蒲修.切割函數(shù)與參數(shù)選擇的關(guān)系 ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，27（05）：10－12

［6］ 岳崇山，宋旭華，景海斌.平面曲線的切割函數(shù)的分析性質(zhì) ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，26（04）：14－16