及萬(wàn)會(huì)，馬東娟

（銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部，寧夏 銀川750105）

熟知fibonacci序列的通項(xiàng)公式an＝，Pell序列通項(xiàng)公式2）n＋1－（1 －2）n＋1｝，這些封閉形公式簡(jiǎn)捷賞心悅目，尋求函數(shù)封閉形和式是許多人研究的對(duì)象.文獻(xiàn)［1，2］中討論了二項(xiàng)式系數(shù)和的封閉形和式與級(jí)數(shù)計(jì)算，文獻(xiàn) ［3］給出一類(lèi)Lucas數(shù)與三角函數(shù)乘積的封閉形和式.文獻(xiàn) ［4，5］得到含有三角函數(shù)的切貝雪夫多項(xiàng)式的封閉形和式與兩個(gè)三角函數(shù)積的和的封閉形和式.利用反正切函數(shù)公式arctan F（n）－arctan F（n＋1）＝arctan，選擇尋適當(dāng)F（n），給出計(jì)反正切函數(shù)序列封閉形和式.再用微分法得到分式序列封閉形和式，最后給出一些反正切級(jí)數(shù)與分式級(jí)數(shù)閉形和恒等式.

命題1 設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則反正切序列封閉形和式為

故 （1）式成立.

在 （1）式依次令a＝0；b＝0；c＝0；d＝0；得到 （2），（3），（4），（5）式.

命題2 設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，下列分式封閉形和式成立

證明 在 （1）式兩端分別依次對(duì)a，b，c，d微分并令A(yù)＝a2＋c2，B＝a2＋c2＋2ab＋2cd，C＝ab＋cd＋b2＋d2得到 （6），（7），（8），（9）式.

例1 在 （1）中令1）a＝1，b＝2，c＝3，d＝1；2）a＝1，b＝3，c＝3，d＝1；3）a＝2，b＝3，c＝1，d＝1；4）a＝1，b＝3，c＝2，d＝1.下列反正切序列閉形和式成立

在 （2），（3），（4），（5），中依次令，b＝c＝d＝1；a＝2，b＝c＝1；a＝1，c＝2，d＝1；得到封閉形和式

例2 在命題2中令a＝1，b＝2，c＝3，d＝1代入 （6），（7），（8），（9），得到下列分式序列封閉形和式

命題3 設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，下列反正切級(jí)數(shù)和式成立

2）在 （10）式依次令a＝0；b＝0；c＝0；d＝0；得到 （11），（12），（13），（14）式

3）在 （10）式，令bc－ad＝x，ab＋cd＝y(tǒng)，a2＋c2＝1，則

命題4 設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列分式級(jí)數(shù)封閉形恒等式成立

依次得到 （16），（17），（18），（19）式.在 （15）式兩端分別依次對(duì)x和y微分得到 （20），（21）式

例3 在 （10）依次令1）a＝1，b＝2，c＝3，d＝1；2）a＝1，b＝4，c＝3，d＝2；在 （11），（12），（13），（14）依次令b＝2，c＝1，d＝2；a＝1，c＝1.d＝3；a＝1，b＝3.d＝3；a＝2，b＝1.c＝3；

反正切級(jí)數(shù)和式成立

例4 在 （16），（17），（18），（19）依次令a＝1，b＝1，c＝2，d＝0；a＝1，b＝1，c＝0，d＝2；a＝1，b＝0，c＝2，d＝1；a＝0，b＝1，c＝1，d＝2.得到分式級(jí)數(shù)和式

例5 在 （20）中令1）x＝1，y＝1，2）x＝2，y＝1；在 （21）中令3）x＝1，y＝1，4）x＝2，y＝1.則分式級(jí)數(shù)和為

［1］ Wheelon AD，On the summation of infinite series in closed for m ［J］.J Appl Phys，1954，25 （01）：113－118

［2］ Sofo A.Closed for m representation of binomial sums and series［J］.Le.Matematiche，1999，54 （01）：175－186

［3］ 及萬(wàn)會(huì)，顧銀魯.一類(lèi)Lucas數(shù)與三角函數(shù)乘積的封閉形和式 ［J］.重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27（03）：16－18

［4］ 及萬(wàn)會(huì)，郭明普.含有三角函數(shù)的切貝雪夫多項(xiàng)式的封閉性和式 ［J］.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，25（04）：10－12

［5］ 及萬(wàn)會(huì)，李忠寧.兩個(gè)三角函數(shù)積的和的封閉形和式 ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（04）：8－10