郭高榮

（安陽工學院數(shù)理學院，河南 安陽455000）

1 引 言

文獻 ［1］討論了一類奇異半線性反應擴散方程初值問題整體解的存在性唯一性及解的增長性.文獻［2－3］討論了一類半線性奇異反應擴散方程組解的爆破性，但對這樣一類特殊的奇異半線性發(fā)展方程組的解研究比較少見.這里需要說明的是用Fourier變換法很容易得到如下二元奇異線性反應擴散方程組的解，但是我們用另一種方法來解決它，同時用這種方法可以得到N元奇異線性反應擴散方程組解.

2 正 文

本文討論如下二元奇異線性反應擴散方程組解的估計式.

其中u0（x），ν0（x）∈L∞（RN），u0（x）≥0，ν0（x）≥0，且u0（x），ν0（x）不恒為零.為書寫方便，有時把u（t，x）記為u（t）或u，ν（t，x）類似.

問題 （1）（2）在帶形區(qū)域ST＝ （ε，T）×RN中有廣義解（u（t，x），ν（t，x）），其含義是函數(shù)對（u（t，x），ν（t，x））在ST滿足 （1）（2）式，且對一切ε＜τ＜T，該函數(shù)對在帶形區(qū)域Sτ中有界.以下簡稱這樣的函數(shù)對為解.

引入有界線性算子半群 T（t）如下：任給φ（x）∈Lp（RN）（1≤p ≤ ∞），（T（t）φ（x）＝∫RNGt（xy）φ（y）dy，其中Gt（x）＝ （4πt）－N／2exp［－x2／（4t）］.

與問題 （1）（2）相應的積分方程為：

引理2 設u0（x），ν0（x）∈L∞（RN），u0（x）≥0，ν0（x）≥0，且u0（x），ν0（x）不恒為零，則問題（1）（2）的非負非平凡解 （u（t，x），ν（t，x））滿足下式：

證明 由（3）式知u（t，x）≥T（ln t－lnε）（u0＋ν0）

將上式代入（4）式得ν（t，x）≥T（l n t－l nε）ν0＋（t－ε）T（l n t－l nε）u0

由Gr on wall不等式，得

由（10）（11）得（7）式.引理得證.

引理3 設u0（x），ν0（x）∈L∞（RN），u0（x）≥0，ν0（x）≥0，且u0（x），ν0（x）不恒為零，則問題（1）（2）的非負非平凡解 （u（t，x），ν（t，x））滿足下式：

證明 由（9）得

將（11）式中的et－ε展開成（t－ε）的冪級數(shù)，結(jié)合（13）得

由（15）（16）得（12）式.引理得證.

由引理2與引理3整理可得下面的定理：

定理1 設u0（x），ν0（x）∈L∞（RN），u0（x）≥0，ν0（x）≥0，且u0（x），ν0（x）不恒為零，則問題（1）（2）的非負非平凡解的集合可由下列函數(shù)給出：

其中φi（x）∈L∞（RN），φi（x）≥0，且φi（x）不恒為零.

用上述方法可以得到問題（17）解的集合如下：

［1］彭大蘅，王志成，蘇醒，等.一類奇異半線性反應擴散方程初值問題整體解的存在性唯一性及解的增長性［J］.數(shù)學學報，2001，22 A：（04）：483－490

［2］彭大蘅，韓茂安，王志成，具奇異系數(shù)反應擴散方程組Cauchy問題［J］.數(shù)學物理學報，2005，25 A（02）：220－229

［3］彭大衡，韓茂安，奇異半線性反應擴散方程組Cauchy問題［J］.數(shù)學年刊，2004，25 A（06）：23－29

［4］Escobedo M，Herrero MA.Boundedness and blow up for a semilinear Reaction－diffusion system［J］.J differ equat，1991，89，176－202