楊 輝， 趙恒華， 付紅栓

（遼寧石油化工大學機械工程學院，遼寧撫順113001）

并聯(lián)機床作為一種新概念機床［1－2］，其具有許多傳統(tǒng)機床所無法取代的優(yōu)點。在對機構性能的分析中，機構的奇異性、運動靈巧性以及平穩(wěn)性是評價并聯(lián)機床運動性能和靜力學性能的基礎，也是衡量并聯(lián)機床工作性能優(yōu)劣的重要指標。本文基于一種3－TPT型并聯(lián)機床作為研究對象，建立該機床的數(shù)學模型，求出雅可比矩陣及其逆矩陣，并在此基礎上，運用MATLAB軟件以及LabVIEW軟件對該并聯(lián)機構的奇異性、靈巧性和穩(wěn)定性進行仿真分析，并將其作為以后最優(yōu)化設計和控制系統(tǒng)設計的理論基礎。

1 機構的組成

本文所依據(jù)的并聯(lián)機構［3－5］主要由運動平臺、固定平臺、平行機構和驅動桿等幾部分組成，其結構如圖1所示。其中，平行機構由虎克鉸、支撐桿和從動平臺組成。固定平臺與運動平臺上的虎克鉸均按正三角形分布排列，三根驅動桿并聯(lián)安裝；平行機構通過上、下虎克鉸將固定平臺和運動平臺連接起來。機構中的3個移動副為3個驅動副，在伺服電機的驅動下，通過改變桿的長度，從而調(diào)整運動平臺的位置。由于空間平行機構限制了該并聯(lián)機構的3個轉動自由度，所以運動平臺只能在空間運動中保持平動。

Fig.1 The diagram of 3－TPT parallel mechanism圖1 3－TPT并聯(lián)機構簡圖

2 運動學方程的建立

建立如圖2所示的空間坐標系［5］。機構上下平臺的鉸鏈中心點均按等邊三角形布置，對應邊分別平行，兩平臺相對位置在運動中總是保持平行，姿態(tài)上沒有變化。首先，將基礎坐標系Ob－XbYbZb建立在固定平臺中心點上，其中Zb軸垂直向下，Yb過三角形頂點B1，Xb軸正向與邊B1B3相交；然后，在運動平臺的中心點上建立移動坐標系Op－XpYpZp，其中Zp垂直向下，Yp過三角形頂點A1，Xp軸正向與邊A1A3相交。

Fig.2 Space coordinate system of 3－TPT parallel mechanism圖2 3－TPT并聯(lián)機構的空間坐標系

令固定平臺的外接圓半徑為R，運動平臺的外接圓半徑為r，使得R＞r；設三根驅動桿A1B1，A2B2，A3B3的長度分別為l1，l2，l3。由此可知固定平臺3個頂點在基礎坐標系Ob－XbYbZb中的坐標為：

同理，運動平臺的3個頂點在移動坐標系Op－XpYpZp中的坐標為：

因為運動平臺和固定平臺保持平行，所以Op－XpYpZp相對Ob－XbYbZb的齊次變換矩陣為：

其中（xp，yp，zp）為移動坐標系的原點Op在基礎坐標系Ob－XbYbZb中的坐標。

根據(jù)坐標變換理論，動平臺3個頂點在基礎坐標系Ob－XbYbZb中的位置可表示為：

根據(jù)式（1）和式（5），由兩點間距離公式可得：

其中c＝R－r，xp，yp，zp為移動坐標系的原點Op在基坐標系Ob－XbYbZb中的坐標。該式稱為機構位置反解表達式。

由式（6）可得出機構位置正解表達式為：

3 并聯(lián)機構的奇異性研究

特殊位形是機構的固有性質，對于機構，特別是機器人機構的工作性能有著很大的影響。當機構處于某個特定形位時，其雅可比矩陣為奇異陣，且行列式為零，此時機構的速度反解不存在，這種機構的位形稱為奇異位形。當機構處于該位形時，機構的操作平臺將獲得多余的不可控自由度或者變得剛化而失去部分自由度。當機構喪失某些自由度的同時也會失去一些功能，而如果機構增加了額外的自由度，將會使機構失控。所以機構在工作時要避開奇異位置。

在本文中用一階影響系數(shù)作為評判3－TPT并聯(lián)機構奇異性的標準。一階影響系數(shù)是指從關節(jié)空間運動速度向操作空間運動速度傳遞的廣義傳動比，也即雅可比矩陣，其定義式為：

式中，w′為機器人末端在操作空間中的廣義速度矢量，q′為關節(jié)速度矢量。按定義式，對式（7）兩邊求導，則可得到并聯(lián)機構的雅可比矩陣為：

由MATLAB軟件計算雅可比矩陣的行列式為：

由運動學正解方程（7）可知，zp≥0，所以移動平臺只能處在固定平臺的一側，而不能翻轉到另一側。又因為實際機構中運動平臺不能與固定平臺重合，所以zp≠0。故而可知雅可比矩陣行列式｜J｜＞0且不趨于∞，由此可知實際上該機構不存在不定位形。

4 并聯(lián)機構靈巧性研究

機器人運動的靈巧性是指該系統(tǒng)在當前位形狀態(tài)下沿指定方向運動的能力。它是機器人運動幾何特性的一項重要指標，能夠深刻地反應機器人的運動學性能。

為了使機器人在作業(yè)空間內(nèi)任一位置的操作能力都能得到定量的評估，本文將利用雅可比矩陣的條件數(shù)K（J）作為評價機構靈巧性的衡量標準。通過矩陣的譜范數(shù)可知條件數(shù)與奇異值的關系為：

式中σmax和σmin是雅可比矩陣J的最大和最小奇異值。該指標稱作各向同性指標，強調(diào)各方向的映射放大倍數(shù)不能差距太大。由式（11）可以看出矩陣條件數(shù)取值范圍是：

當K（J）＝1時，表示沿各個方向進行的映射放大倍數(shù)完全相等，這種位形稱作各向同性。所以在設計機構時應使最小條件數(shù)在操作范圍內(nèi)盡量的小。

根據(jù)實驗樣機結構尺寸，取3－TPT并聯(lián)機構各桿最小桿長Lmin＝8 5 0mm，最大桿長Lmax＝1 300mm，由此利用LabVIEW軟件和MATLAB軟件就可以仿真出K（J）在不同位形時的變化情況［7－8］，仿真結果如圖3，4所示。

Fig.3 Dexterity analysis of parallel mechanism1圖3 并聯(lián)機構靈巧性分析1

由圖3可以看出，條件數(shù)K（J）的變化與c的取值有著很大的關系，所以在滿足機構合理的前提下，應使c的取值滿足條件數(shù)最小的原則。由圖3，4可知，條件數(shù)K（J）隨機構位姿的變化而連續(xù)變化，沒有突變發(fā)生，這表明機構沒有奇異現(xiàn)象，并且在不同的運動狀態(tài)下均存在最小K（J）值。這樣在機器人結構設計時，可以根據(jù)仿真結果，避開K（J）值較大的范圍，在滿足工作要求的前提下，使K（J）的值盡可能的接近于1。

Fig.4 Dexterity analysis of parallel mechanism2圖4 并聯(lián)機構靈巧性分析2

Angeles和Rojas于1987年提出把最小條件數(shù)K（J）min的倒數(shù)定義為度量機構靈巧性的指標［6］，其定義式為：

對于3－TPT并聯(lián)機構而言，由參數(shù)搜索和仿真結果可知，其K（J）min＝1.13，即該機構的靈巧性為88.5%，這表明3－TPT并聯(lián)機構具有較好的靈巧性，且在其運動空間沒有明顯的奇異位姿。

5 并聯(lián)機構平穩(wěn)性研究

平穩(wěn)性是衡量機構運動性能的重要指標之一。本文用3－TPT并聯(lián)機構速度和加速度變化曲線的光滑程度作為平穩(wěn)性的衡量標準。由（8）式可得，

式中q′為關節(jié)速度矢量，w′為機器人末端在操作空間中的廣義速度矢量，雅可比逆矩陣為：

將公式（14）兩邊對時間求導，則可得到機構加速度表達式：

假設動坐標系原點Op在Z＝1m的截面內(nèi)，（xp，yp，zp）為移動坐標系的原點Op在基礎坐標系Ob－XbYbZb中的坐標，其運動方程為xp＝0.05cos（t），yp＝0.05sin（t），運動時間t＝10s。根據(jù)實驗樣機的結構尺寸，R＝600mm，r＝200mm。用MATLAB軟件和LABVIEW軟件得到的驅動桿l1，l2，l3伸縮速度及加速度變化曲線如圖5所示。由圖5可以看出，三根驅動桿的伸縮速度曲線和伸縮加速度曲線連續(xù)且非常光滑，故該機構具有較好的平穩(wěn)性。

Fig.5 Stretching speed and stretching acceleration of the rods l1，l2，l3圖5 l1，l2，l3三桿的伸縮速度和伸縮加速度

6 結束語

奇異性、靈巧性以及平穩(wěn)性均是分析并聯(lián)機構運動性能的重要指標。本文針對3－TPT并聯(lián)機構，建立運動學方程、求解雅可比矩陣，利用MATLAB軟件和LabVIEW軟件對該機構的奇異性、靈巧性和平穩(wěn)性做了仿真分析，結果發(fā)現(xiàn)該機構不存在奇異位形，并擁有較好的靈巧性和平穩(wěn)性，為確定工作形位和機構尺寸提供了設計依據(jù)。

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