蔡永梅， 王 偉， 謝禹鈞

（1.中國石油大學（華東）儲運與建筑工程學院，山東青島266555；2.遼寧石油化工大學機械工程學院，遼寧撫順113001）

接觸問題會引起局部的應力集中，當物體的幾何條件、物理參數(shù)滿足一定條件時會產生局部急劇的應力變化梯度，甚至奇異應力場。與裂紋情形類似，當載荷達到臨界值時，在應力奇異環(huán)處開裂，形成一個圓環(huán)形的淺（微）裂紋。尤其是剛性壓頭沖壓彈性半平面基體時，在兩個角點處產生奇異應力場。這類應力場不僅會導致材料的開裂和失效，也會引起觸壓邊界的開裂［1］。在這兩種情況下，應力強度因子均表現(xiàn)為斷裂參數(shù)，也是奇異應力場的唯一控制參量。該斷裂參量是導致工程部件失效的主要因素［2－4］。本文將基于文獻［5］提出利用無裂紋接觸問題生成I型奇異應力場的原理進行數(shù)值分析。

1 接觸問題和守恒律

壓頭的幾何形狀如圖1（a）所示。假設接觸表面足夠光滑，使接觸面沒有因摩擦產生的剪應力。剛性方形壓頭寬為2l，作用載荷P，壓在無摩擦的半平面上，泊松比為μ。文獻［6］經典分析給出的接觸壓力分布如下：

改變坐標x1＝r－l，應用二項分布擴展方程，當r非常小時，得到壓頭尖角附近的壓力變化

這些應力分量和圖1（b）所示的x2＝0時I型裂紋產生的應力分量的表達式一樣，實際上，沿線x2＝0的邊界條件等同于接觸裂紋問題，這兩個問題內部應力狀態(tài)的奇異性相同，文獻［5］給出其應力分布如下：

（3）式中延用了裂紋問題的應力強度因子習慣表示方法，但為壓應力場。其中KI定義為基體近表面壓頭角點處的奇異應力場的應力強度因子，或壓痕邊緣處奇異應力場的應力強度因子，表示為：

Fig.1 A schematic representation of the contact between a two－dimensional rectangular punch and a substrate圖1 二維矩形壓頭和基體的接觸

如果方程（3）中的負號改為正號，這個結果和在遠場承受載荷P時的無限平板裂紋（裂紋韌帶長度為2l）的情形一樣。與裂紋問題類似，表明壓頭拐角附近存在I型奇異應力場和K－控制區(qū)。如方程（3）所示，應力強度因子KI是唯一控制應力場的參數(shù)，這意味著，沿著接觸表面的邊界裂紋和I型裂紋有著同樣的破壞機理。實際工程結構中可利用奇異應力場，研究材料的破壞行為、測試材料的機械性能。

對于二維彈性體，文獻［7］由守恒定律得出下面的積分

方程（5）有兩個分量J1和J2。其中w是應變能密度；nj是外法線矢量；Ti是沿積分路徑的應力矢量；ui，j位移分量。對于沒有裂紋和空穴的封閉積分路徑，Ji為0。J1稱為J－積分和J2稱為G＊－積分［8］。它們都可用于計算彈性體裂紋的應力強度因子［9－10］。下面給出J1積分在剛性壓頭沖壓彈性平面情況下計算應力強度因子中的應用。

2 沖壓彈性半平面應力強度因子

平板承受壓頭沖壓如圖2所示。在每個壓頭的2個拐角處有I型奇異應力場。應力場由方程（3）來表述。取沿sc＝sba＋safe＋sed＋sdcb封閉路徑積分，如圖2所示，當sdcb在壓頭尖角處的K控制區(qū)內時，由文獻［8］已得出如下結果。

Fig.2 The panel under indentation and integration path圖2 平板承受壓頭時的積分路徑

按照Griffith’s理論［11］，彈性固體產生新的斷裂表面所需要的能量來自彈性體的能量釋放外力所做的功。Griffith理論給出的臨界載荷為最小的邊界開裂載荷，開裂方向為最大能量釋放率的方向。當壓痕沿開裂的能量釋放率達到臨界值即開裂韌性Gc時，邊界將開裂，即：

如果將壓痕邊界開裂所需的能量理解為與裂紋開裂的情形相同，即：

KIC為裂紋擴展的斷裂韌性。觸壓臨界開裂條件為：

由方程（6）得出應力強度因子可以利用J積分來計算，對于不同的材料可以得出不同的KIC。工程中許多材料遇到斷裂問題，因此本文選用一些常用材料的彈性模量和泊松比分析K值變化。

3 數(shù)值分析

基于守恒律及方程（6），應用有限單元法進行數(shù)值計算，數(shù)值分析計算中采用了有限元分析系統(tǒng)ANSYS13.0，有限元模型選用平面應變單元。平板基體材料泊松比μ，彈性模量E（MPa）如表1所示，剛性壓頭寬度2l，l＝10mm；平板寬度為40l，高度隨著l／t的取值而變化。壓頭與平板觸壓形成奇異點處的網(wǎng)格如圖3所示，接觸邊緣采用四分點單元。邊界條件：平板底端，uy＝0，在剛性壓頭控制點施加載荷P＝10 000MPa；基于表1，針對不同彈性模量、泊松比和不同的l／t值進行多組數(shù)據(jù)求解，結果如表2和圖4－6所示。

表1 不同材質彈性模量及泊松比Table 1 Different elastic modulus and poisson ratio

表2 不同材質應力強度因子Table 2 Stress intensity factors in different material

Fig.3 The mesh of singular point（l／t＝0.2）圖3 奇異點網(wǎng)格（l／t＝0.2）

Fig.4 Stress and contact pressure（l／t＝0.2）圖4 應力和接觸壓力（l／t＝0.2）

Fig.5 Elastic panel is subject to indentations圖5 平端圓柱壓頭沖壓半平面壓痕

圖4（a），（b）分別描述當l／t＝0.2時，應用有限元軟件計算出模型的應力和接觸壓力分布，圖5給出圓柱形剛性平端壓頭沖壓半平面實驗結果，比較圖4和圖5，很顯然在壓頭角點處會產生的奇異應力場，且該應力場將引起微裂紋。圖6繪制出基于數(shù)值計算得出KⅠ，P和l／t的關系。隨著l／t的增加，正則化的應力強度因子和斷裂韌性逐漸減小，表明了邊界對應力強度因子的影響；隨著材質彈性模量減少，正則化的應力強度因子逐漸減小，表明了材料彈性模量及泊松比對應力強度因子的影響。

Fig.6 Normalized fracture toughness for different ratio of l／t圖6 不同l／t下的正則化應力強度因子

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