趙眾，齊麗華

（北京化工大學自動化研究所，北京100029）

聚乙烯（PE）生產(chǎn)中往往承擔著多種牌號的生產(chǎn)任務(wù)，從一種牌號到另一種牌號的生產(chǎn)需要滿足一些特定的要求。在產(chǎn)品牌號切換時，通常把熔融指數(shù)（MI）和密度（ρ）作為調(diào)控指標。產(chǎn)品的用途不同，對MI和ρ的要求也不同。氣相聚乙烯反應(yīng)中，聚合物在反應(yīng)器中平均停留時間為2.5h，每完成一次過渡都需要很長時間，不可避免地產(chǎn)生大量廢料。理想的牌號切換應(yīng)盡可能地使切換時間最短、生產(chǎn)的不合格過渡料最少且過渡過程安全。為實現(xiàn)這一目的，首先必須提出一個包含約束條件、動態(tài)及穩(wěn)態(tài)方程組的目標函數(shù)，然后采用動態(tài)優(yōu)化方案極小化此目標函數(shù)，得到最優(yōu)切換過程的操作變量、狀態(tài)變量和關(guān)鍵性能指標的變化軌跡［1］。1992年McAuley等最先對牌號切換進行了研究［2］。在此基礎(chǔ)上文獻［3］針對Unipol線性低密度聚乙烯生產(chǎn)工藝，研究了牌號切換的最優(yōu)操作，但McAuley和王靖岱等人均未考慮切換時間最短問題，為此文獻［4］指出切換時間最短和過渡料最少這兩個目標不能同時達到，實際的切換軌跡是這兩個目標的折衷。

然而實際生產(chǎn)必須滿足一定的冷凝操作約束，且切換過程中需要抑制瞬時熔融指數(shù)等狀態(tài)變量的劇烈波動［5－6］。為此，筆者在牌號切換過程中首次引入了露點溫度（Td）及產(chǎn)率（Pr）等冷凝操作約束，同時也考慮了路徑約束。同步策略算法是解決路徑約束問題的一種行之有效的方法［7］。針對傳統(tǒng)同步策略算法可能存在求解性能低，且最優(yōu)值受罰函數(shù)的影響等問題，通過對微分變量在有限元端點處增加導數(shù)約束，并引入罰函數(shù)自由的線搜索方法對優(yōu)化命題進行求解，給出仿真結(jié)果。

1 優(yōu)化命題構(gòu)造

1.1 優(yōu)化目標

聚乙烯牌號切換中，MI和ρ為狀態(tài)變量，反應(yīng)溫度（T）、氫烯質(zhì)量摩爾濃度比、丁烯乙烯質(zhì)量摩爾濃度比為控制變量，MI主要受氫氣控制，ρ主要受丁烯控制，在考慮冷凝操作約束和路徑約束條件下，為達到最優(yōu)牌號切換的目的，筆者提出以下的目標函數(shù)：

式中：Prsp，Tsp，Td，sp——Pr，T，Td的設(shè)定值；MIc，MIi——累積熔融指數(shù)和瞬時熔融指數(shù)值，g／（10min）；ρc，ρi——累積密度和瞬時密度值，g／cm3；M Isp，ρsp——熔融指數(shù)和密度設(shè)定值；β——時間t的加權(quán)系數(shù)，β＝0表示不考慮過渡時間長短；t0——開始切換時刻，tf——切換完成時刻；wi——切換操作過程中樹脂性能所具有的重要性；Xupper，Xlower——變量X的上下限。

1.2 氣相流化床聚乙烯生產(chǎn)過程模型

氣相聚乙烯反應(yīng)中，乙烯、氫氣、丁烯、催化劑等持續(xù)進入反應(yīng)器中，在流態(tài)化條件下進行反應(yīng)。MIi和ρi的預(yù)測模型為

根據(jù)全混流反應(yīng)器的混合特征，采用一階動態(tài)過程來描述MIc和ρc：

式中：Ai，Bi——模型參數(shù)；τ——聚合物顆粒在反應(yīng)器內(nèi)的平均停留時間。

考慮冷凝操作約束，符合公式（6）～（8）的溫度即為循環(huán)混合物流的露點溫度Td（假定安托因方程適用）：

式中：Ai，Bi，Ci——i組分的安托因常數(shù)；xi——液相組成；yi——氣相組成；p——系統(tǒng)壓力；——i組分的飽和蒸汽壓。根據(jù)能量平衡方程推導產(chǎn)率：

式中：QL——熱損失；FRxin，HRxin——進料流量和熱焓；Fvap，Hvap——氣相流量和熱焓；Fliq，Hliq——液相流量和熱焓；HRxn——反應(yīng)熱。

2 解決方案

2.1 同步策略算法

同步策略主要是將狀態(tài)變量和控制變量實施有限元節(jié)點配置，利用殘差為零將模型中的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，然后在正交多項式根的位置得到殘差量［8］。假設(shè)將時間長度分成NE段（有限元個數(shù)），在有限元i上，取k次Radau正交多項式的根為配置點，對微分狀態(tài)變量z（t），代數(shù)狀態(tài)變量y（t），控制變量u（t）分別進行拉格朗日多項式正交配置，得到：

式中：t＝ti－1＋hiτ，τ∈［0，1］，τ1，…，τk是正交多項式的根，hi為第i個有限元的長度。

經(jīng)上述離散化，將原最優(yōu)控制式（1）轉(zhuǎn)化為一般的NLP問題：

約束條件：

簡化為

式中：x＝（zi，j，yi，j，ui，j，tf，hi）；f：Rn→R；c：Rn→Rm，采用內(nèi)點rSQP求解此問題［8－9］。

2.2 改進的算法

2.2.1 同步策略算法改進

每個有限元上采用拉格朗日函數(shù)逼近微分變量時，并不能保證其在有限元端點處的可導性，這樣就帶來了較大的逼近誤差。筆者對微分狀態(tài)變量增加了導數(shù)約束，要求在分段點處，左導數(shù)等于右導數(shù)。即第i個有限元末端導數(shù)值與第i＋1個有限元始端導數(shù)值相等：

若配置點數(shù)K＝3，并將τ＝0，1代入，則由式（20）推導得：

2.2.2 NLP算法改進

障礙內(nèi)點采用對數(shù)障礙項代替不等式約束并將其添加到目標函數(shù)中，式（19）轉(zhuǎn)化為

式中：x（i）——向量x的第i個元素；μ∧——障礙因子，μ∧＞0，且為一遞減序列?；镜膬?nèi)點rSQP算法通過線搜索得到搜索步長，評價函數(shù)和罰乘子對算法影響較大，罰乘子過大使得約束的影響較大，過小則會導致算法收斂過慢。文獻［10－11］提出罰函數(shù)自由的線性搜索方法。筆者將這種罰函數(shù)自由的非單調(diào)線搜索運用到原始對偶內(nèi)點SQP算法中，將目標函數(shù)和約束不可行度分開，將原問題看成雙目標優(yōu)化問題。其基本思路是將式（22）看成雙目標優(yōu)化：最小化目標函數(shù)φ（x）和最小化約束函數(shù)h（c（x））

罰函數(shù)自由非單調(diào)線搜索下降性能：

引理1［11］：令，若滿足條件：，目標函數(shù)的“充分下降條件”為

引理2［11］：新的迭代點被接受的充要條件是：

式中：η＝（0，0.5）；Rk＝max｛Tk，Ml，k｝；；定義趨于零的遞減序列｛bi｝，則Tk≤max｛bi｝，

如果同時滿足條件（23）和（24），則接受當前試驗步為新的迭代點，否則若式（24）不滿足，且步長α≠1，則令a＝t×a（t為收縮因子），重新判斷條件式（23），（24）。

3 改進算法在PE多牌號切換中的應(yīng)用

針對中石化某化工研究院氣相法工藝的聚乙烯生產(chǎn)過程，考慮實際生產(chǎn)中的兩個牌號A和B的切換情況，它們各自穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)時參數(shù)見表1所列。

表1 牌號A和B穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)時各變量值

3.1 實施步驟

a）初始化：z0＝（x0，v0）；B0＝I；E＝1.0e－6；M＝2；L＝0.5×ones（31，1）；t＝0.8；k＝0；ζ1＝1；ζ2＝2.5；τ＝0.2；τ1＝0.9；β＝0.5；μ0＝0.8×ones（31，1）；σ＝0.2；η＝0.2；η1＝0.2；η2＝0.3；ξ＝0.2。

c）判斷障礙問題的收斂性［8］。

d）計算搜索方向。

2）計算零空間搜索方向dQ＝－［Bk＋為Hessian陣）。

e）罰函數(shù)自由線搜索得到搜索方向［11］。

f）擬牛頓法更新Bk，B0為單位陣，令k＝k＋1，返回b）。

3.2 仿真結(jié)果對比

a）CPU計算時間和牌號切換時間對比，見表2所列。

表2 算法改進前后對比

b）算法改進前后各變量的最優(yōu)軌跡對比，如圖1～5所示。

圖1 切換過程中熔融指數(shù)變化軌跡

圖2 切換過程中密度變化軌跡

圖3 切換過程中的控制變量變化軌跡

圖4 切換過程中露點溫度軌跡

從圖1～5可以看出，改進算法易快速穩(wěn)定收斂到理論值、操作平穩(wěn)、使得切換過程所需時間縮短，提高了產(chǎn)品產(chǎn)率。

圖5 切換過程中產(chǎn)率變化軌跡

4 結(jié)束語

筆者以氣相流化床聚乙烯生產(chǎn)為對象，研究了實際生產(chǎn)過程中牌號切換優(yōu)化問題。為避免切換過程中熔融指數(shù)和密度的劇烈波動，引入了狀態(tài)變量約束。由于傳統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化算法不能有效處理這種約束，筆者采用同步策略算法對優(yōu)化命題進行求解。為提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性與準確性，對算法進行了改進。仿真結(jié)果表明，筆者所提出的算法不僅能夠穩(wěn)定收斂到最優(yōu)解，而且僅用1.52h就完成了牌號之間的快速切換，產(chǎn)率有所提高，在求解準確性和快速性上都具有一定的優(yōu)勢。

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