徐崇斌

(1．溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東廣州 510640)

李代數(shù)W[G]的自同構(gòu)群與Verma模

徐崇斌1,2

(1．溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東廣州 510640)

設(shè)F是特征0的域，G是它的加法子群，相應(yīng)于F和群G，定義一類李代數(shù)W[G]．在本文里，李代數(shù)W[G]的自同構(gòu)群與Verma模的可約性得到仔細(xì)地研究．其中自同構(gòu)群的確定主要依賴于一些特殊自同構(gòu)的構(gòu)造，而Verma模的可約性完全取決于W[G]中元I0的作用是否為零．

李代數(shù)W[G]；自同構(gòu)群；Verma模

1 李代數(shù)W[G]

眾所周知，Virasoro代數(shù)是一個(gè)重要的無(wú)限維李代數(shù)，無(wú)論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還是在物理領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．因此，Virasoro代數(shù)自產(chǎn)生以來(lái)就一直是人們研究的重要對(duì)象，不僅如此，人們還研究了許多與之相關(guān)的李代數(shù)，其中具有代表性的有廣義 Witt代數(shù)、廣義 Virasoro代數(shù)、Heisenberg-Virasoro及廣義Schr?dinger-Virasoro代數(shù)等[1-4]．

2006年，M. Henlel等人在研究一類物理現(xiàn)象的過(guò)程中又引入了一個(gè)與Virasoro代數(shù)相關(guān)的李代數(shù)W[5]，該代數(shù)是復(fù)數(shù)域上由基生成的一個(gè)無(wú)限維李代數(shù)，它上面的李運(yùn)算[?,?]定義如下：

容易看出李代數(shù)W是Witt代數(shù)與它的冪零理想的半直積．文獻(xiàn)[6-7]對(duì)李代數(shù)W的導(dǎo)子代數(shù)、中心擴(kuò)張及自同構(gòu)群都進(jìn)行了研究．受到前人工作的啟發(fā)，本文定義了廣義的李代數(shù)W，并對(duì)它的自同構(gòu)群和Verma模進(jìn)行了仔細(xì)地研究．

設(shè)F是特征0的域，G是它的加法子群．相應(yīng)于子加群G，首先定義一類李代數(shù)W[G]．

2 李代數(shù)W [ G ]的自同構(gòu)群

3 李代數(shù)W[G]的Verma模

[1] Mazorchuk V. Verma module over genenralized Witt algebras [J]. Compos Math, 1999, 115: 21-25.

[2] Hu J, Wang X, Zhao K. Verma module over genenralized Virasora algebras Vir[G] [J]. J Pure Appl Alg, 2003, 177: 62-69.

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[4] Tan S, Zhang X. Automorphism group and Verma module for generalized Schr?inger-Virasoro algebras [J]. J Alg, 2009, 322: 1379-1394.

[5] Henkel M, Scott R, Stoimenov S, et al. The Poincaré algebra in the context of ageing systems: Lie structure, representations, Appell systems and coherent states [EB/OL]. [2011-08-08]. http://arxiv.org/abs/math-ph/0601028v1.

[6] 高壽蘭, 姜翠波, 裴玉峰. 一類李代數(shù)的導(dǎo)子及中心擴(kuò)張與自同構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 52(2): 281-288.

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Automorphism Group and Verma Module for Lie AlgebraW[G]

XU Chongbin1,2
(1. College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035; 2. Department of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou, China 510640)

LetFbe a field of characteristic 0, G an additive subgroup ofF. Associated toFand G , a class of Lie algebraW[G] could be defined. In this paper, the automorphism group of Lie algebraW[G] and reducibility of Verma module were investigated carefully. Results showed that the determination of automorphism group is based on constructions of some special automorphisms and the reducibility of Verma module depends on whether the action of the elementI0is zero.

Lie AlgebraW[G]; Automorphism Group; Verma Module

(編輯：王一芳)

O152.5

A

1674-3563(2012)03-0013-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.03.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2011-09-15

徐崇斌(1977- )，男，湖北黃梅人，講師，碩士，研究方向：代數(shù)

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