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        * 韌度與分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界消去圖

        2012-01-11 08:22:30高煒
        關(guān)鍵詞:韌度蘇州大學(xué)子圖

        高煒

        (1.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006;2.云南師范大學(xué) 信息學(xué)院,云南 昆明 650092)

        *韌度與分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界消去圖

        高煒1,2

        (1.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006;2.云南師范大學(xué) 信息學(xué)院,云南 昆明 650092)

        圖;韌度;分?jǐn)?shù)臨界圖;分?jǐn)?shù)臨界消去圖

        若去掉G中的任意n′個頂點(diǎn)的剩余子圖仍有一個分?jǐn)?shù)k-因子,則稱此圖為分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界圖.若去掉G中的任意一條邊的剩余圖仍有分?jǐn)?shù)k-因子,則稱G為分?jǐn)?shù)k-消去圖.一個圖G稱為分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界消去圖,若去掉G中的任意n′個頂點(diǎn)的剩余子圖仍是分?jǐn)?shù)k-消去圖.

        Chvátal[2]首次引入韌度的概念:若G是完全圖,則t(G)=∞.若G不是完全圖,

        這里ω(G-S)表示G-S的連通分支數(shù).在下文中,我們用n表示圖G的頂點(diǎn)個數(shù).關(guān)于韌度與分?jǐn)?shù)因子、分?jǐn)?shù)消去圖、分?jǐn)?shù)臨界圖的關(guān)系,[3-5]做了研究,部分重要結(jié)果如下.

        特別地,當(dāng)g(x)=a,f(x)=b且a=b=k時有

        引理4[6]設(shè)G是一個圖,k≥1是正整數(shù).設(shè)n′為非負(fù)整數(shù).G是分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界消去圖當(dāng)且僅當(dāng)對任意滿足|S|≥n′的V(G)的不交子集S,T成立.

        主要結(jié)論的證明

        下面我們給出定理4的詳細(xì)證明,其證明思路主要參考文獻(xiàn)[4].

        定理4的證明當(dāng)G是完全圖時,t(G)=∞.但由頂點(diǎn)數(shù)條件,易知G是分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界消去圖.下面設(shè)G不是完全圖.另外,n′=0的情況即為定理2,因此不妨假設(shè)n′≥1.

        設(shè)G滿足定理4的條件但不是分?jǐn)?shù)(k,n′)-臨界消去圖.顯然,T≠?,否則ε(S,T)=0且(1)成立.由引理4知,存在不交的S,T滿足

        [1] Bondy J A,Mutry U S R.Graph Theory[M].Berlin:Spring,2008.

        [2] Chvátal V.Tough Graphs and Hamiltonian Circuits[J].DiscreteMath,1973,5:215-228.

        [3] Liu G,Zhang L.Toughness and the Existence of Fractionalk-factors of Graphs[J].DiscreteMath,2008,308:1741-1748.

        [4] 高煒,梁立,夏幼明.韌度與分?jǐn)?shù)k-消去圖[J].山西大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,33(3):358-365.

        [5] Liu Shu-li.On Toughness and fractional(g,f,n)-critical Graphs[J].InformationProcessingLetters,2010,110:378-382.

        [6] 高煒.關(guān)于分?jǐn)?shù)消去圖的若干結(jié)果[D].蘇州:蘇州大學(xué)博士學(xué)位論文,2012.

        Toughness and Fractional(k,n′)-critical Deleted Graphs

        GAO Wei1,2
        (1.DepartmentofMathematics,SoochowUniversity,Suzhou215006,China;
        2.DepartmentofInformation,YunnanNormalUniversity,Kunming650092,China)

        graph;toughness;fractional critical graph;fractional critical deleted graph

        O157

        A

        0253-2395(2012)04-0626-06*

        2012-01-10;

        2012-03-23

        國家自然科學(xué)基金(11071223)

        高煒(1981-),男,浙江紹興人,博士,講師,主要從事圖論、統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的研究.

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