王衛(wèi)勤,陳 軍

(泰州師范高等?？茖W(xué)校，江蘇 泰州 225300)

1 引言

Fáry[1]用積分幾何方法證明了三維歐氏空間中關(guān)于閉曲面的不等式：

其中K是曲面∑上的Gauss曲率.

顯然，這個(gè)不等式中等號(hào)一定不成立.

我們也稱p為Minkowshi支函數(shù)，[3]中的P4恒為0，從而(68)[3]成立，而且結(jié)論可以改成

2 閉曲面的Fáry不等式的n維推廣

這是本文的主要結(jié)論，下面證明這個(gè)定理.

其中

p1=y1，p2=y2，p3=p，p4=…=pn=0，ω13∧ω23=k0dσ，k0=k3稱為∑的支持曲率.

可以得到

h=4，…，n

且

從而得到

定理得證.

3 結(jié)束語

Fáry不等式是經(jīng)典的微分幾何不等式，重要的是將三維歐式空間中的閉曲面的Fáry不等式推廣到了高維歐氏空間中，得到了新的結(jié)果.對(duì)二維閉曲面∑，能否將|K3|改為|K|?三維閉曲面∑的面積有無類似公式?這就有待于我們進(jìn)一步研究.雖然這一類是老課題[4-8]，已有幾十年的歷史，但仍不斷有新的進(jìn)展，足以說明Fáry不等式的魅力所在，并且仍有進(jìn)一步研究的必要與潛力.

參考文獻(xiàn)：

[1]F.ry. Istv.n Sur certaines in.galit es g.om.triques.( French) Act a Sci Math Szeged 12，Leopoldo Fejer et Frederico Riesz LXX annos natis dedicatus，Pars A.1950:117- 124.

[2]Chakerian G D. An inequality for closed space curves[J].Pacific J .Math.，1962，12:53 -57.

[3]馬宏賓，孫振組.微分幾何中幾個(gè)不等式及其推廣[J].中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)， 2004，21(2).

[4]蘇步青.微分幾何五講[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979.

[5]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].北京:高等教育出版社，1988.

[6]吳大任.微分幾何講義[M].北京:高等教育出版社，1959.

[7]陳省身，陳維桓.微分幾何講義[M].北京:北京大學(xué)出版社，1983.

[8]Hopf H.整體微分幾何[M].吳大任，譯.北京:科學(xué)出版社，1987.