段晨霞，王貴君

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

模糊系統(tǒng)中方形分片線性函數(shù)依K－積分模的泛逼近性

段晨霞，王貴君

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

首先引入方形分片線性函數(shù)和K－擬可加積分的概念，應(yīng)用誘導(dǎo)算子及積分轉(zhuǎn)換定理證明了方形分片線性函數(shù)在K－積分模意義下對(duì)一類可積函數(shù)的泛逼近性.該結(jié)果表明：模糊系統(tǒng)中方形分片線性函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近能力可以推廣為對(duì)一般可積系統(tǒng)的逼近能力.

方形分片線性函數(shù)；K－擬可加積分；＾μ－可積函數(shù)；K－積分模；泛逼近性

模糊系統(tǒng)是模擬人腦推理性能的一類有效模型，模糊系統(tǒng)的泛逼近性是人腦對(duì)于客觀世界認(rèn)識(shí)能力在這類模型上的體現(xiàn).目前，對(duì)于一般連續(xù)系統(tǒng)已經(jīng)初步形成系統(tǒng)的理論，諸多相關(guān)成果在通信［1］、工業(yè)過(guò)程控制［2－3］以及空間技術(shù)［4］等工程領(lǐng)域有成功應(yīng)用.但是，除連續(xù)系統(tǒng)外，實(shí)際中還有許多非連續(xù)系統(tǒng)存在，如可積系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)等.因此，如何在非連續(xù)或隨機(jī)性環(huán)境下研究模糊系統(tǒng)的泛逼近性具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值.在多維空間中方形分片線性函數(shù)在模糊系統(tǒng)逼近性的討論中起到橋梁作用，近年來(lái)，關(guān)于方形分片線性函數(shù)在不同積分模意義下對(duì)函數(shù)類逼近性的研究已取得長(zhǎng)足進(jìn)展.劉普寅［5］針對(duì)p－可積函數(shù)類與連續(xù)函數(shù)類，系統(tǒng)研究了方形分片線性函數(shù)關(guān)于這2類函數(shù)的逼近性，得到了很好的逼近效果.自然地，人們會(huì)接著考慮方形分片線性函數(shù)還針對(duì)哪些函數(shù)具有逼近性，在不同的積分模意義下其逼近效果如何.本研究在K－擬可加積分和＾μ－可積函數(shù)概念［6－7］的基礎(chǔ)上，引入K－積分模的定義，進(jìn)而研究方形分片線性函數(shù)對(duì)一類＾μ－可積函數(shù)在K－積分模意義下的泛逼近性問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

作為研究模糊系統(tǒng)泛逼近性的基礎(chǔ)，本節(jié)將引入一種所謂方形分片線性函數(shù)，該分片函數(shù)是分段線性函數(shù)在多元函數(shù)情況下的推廣，其在討論模糊系統(tǒng)的逼近性能時(shí)將起到重要的橋梁作用，也為研究模糊系統(tǒng)的逼近性能提供了一個(gè)有效工具.為了剖分模糊系統(tǒng)的輸入空間，文獻(xiàn)［5］曾引入了方形分片線性函數(shù)，并給出了下面的剖分方法：

2 K－擬可加積分和K－積分模

3 泛逼近性

本節(jié)在K－擬可加測(cè)度空間（Rd，R，＾μ）上，應(yīng)用積分轉(zhuǎn)換定理給出本研究的重要結(jié)果.該結(jié)果表明：模糊系統(tǒng)中方形分片線性函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近能力可以推廣為對(duì)一般可積系統(tǒng)的逼近能力.

定理2 設(shè)（Rd，R，＾μ）為K－擬可加模糊測(cè)度空間，K為給定誘導(dǎo)算子，則d維分片線性函數(shù)類D d按

因K嚴(yán)格遞增，K－1也嚴(yán)格遞增，故?ε＞0，K－12（ε）仍可任意小.因此，存在方形分片線性函數(shù)S（x）依K－積分模以任意精度逼近＾μ－可積函數(shù)f，亦即Dd按K－積分模在L1＋（＾μ）中稠密.

事實(shí)上，方形分片線性函數(shù)具有很多優(yōu)良性質(zhì)，例如：只在Rd的一個(gè)緊集上非零；單邊偏導(dǎo)數(shù)存在而且有界；在Rd上一致連續(xù)等等.這些性質(zhì)為研究連續(xù)函數(shù)類與可積函數(shù)類的逼近性提供了很多便利條件，進(jìn)而也為研究模糊系統(tǒng)的逼近性奠定了良好的基礎(chǔ).

［1］ GHOSH S，RAZOUQI Q.A survey of recent advances in fuzzy logic in telecommunication networks and new challenges［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1998，6：443－447.

［2］ TAKAGI T，SUGENO M.Fuzzy identification of system and its applications to modeling and control［J］.IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1985，15：116－132.

［3］ TSAI H H，YU P T.Adaptive fuzzy hybrid multichannel filters for removal of impulsive noise from color image［J］.Signal Processing，1999，74（2）：127－151.

［4］ JANG J S R.Adaptive－network－based fuzzy inference system［J］.IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1993，23：665－684.

［5］ 劉普寅，李洪興.廣義模糊系統(tǒng)對(duì)于可積函數(shù)的逼近性［J］.中國(guó)科學(xué)：E輯，2000，30（5）：413－423.

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［7］ 王貴君，李曉萍.K－擬可加模糊積分的絕對(duì)連續(xù)性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998，21（3）：251－255.

［8］ 王貴君，李曉萍.K－擬可加模糊數(shù)值積分的零可加性與絕對(duì)連續(xù)性［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，25（1）：117－122.

［9］ 趙緯經(jīng)，王貴君，李洪興.模糊值函數(shù)的對(duì)偶＾μ－可積性及其應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2011，31（1）：113－121.

［10］ 王貴君，李曉萍.K－積分模意義下折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛逼近性［J］.中國(guó)科學(xué)：E輯，2012，42（3）：362－378.

Universal approximation of square pricewise linear functions inK－integral norms in fuzzy system

DUANChen－xia，WANGGui－jun

（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The concepts of square pricewise linear function andK－quasi－additive integral are introduced.By using induced operator and theorem of integral transformation，it is proved that square pricewise linear functions possess universal approximation for a class of integrable functions in the sense ofK－integral norm.The results show that the approximation capability of square pricewise linear functions for continuous functions can be extended to general integrable systems.

square pricewise linear functions；K－quasi－additive integral；＾μ－integrable functions；K－integral norm；universal approximation

O159

A

1671－1114（2012）03－0001－05

2011－09－28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60974144）

段晨霞（1985—），女，碩士研究生.

王貴君（1962—），男，教授，主要從事模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊測(cè)度與積分方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）