方鐘波，付 超

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

圓錐區(qū)域中變系數(shù)半線性拋物型微分不等式的劉維爾型定理＊

方鐘波，付 超

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

研究圓錐區(qū)域中變系數(shù)半線性拋物型微分不等式及其耦合不等式組的劉維爾型定理。先給出弱解的定義，再利用構(gòu)造試驗函數(shù)法建立不依賴于初始值的解的universal估計，最后得到非負(fù)非平凡整體弱解的在適當(dāng)?shù)呐R界指數(shù)范圍內(nèi)不存在的結(jié)論，此種方法的主要特點是不用比較原理和極值原理。

微分不等式；試驗函數(shù)；劉維爾型定理

0 引言

本文討論圓錐區(qū)域中變系數(shù)半線性拋物型微分不等式：及其耦合不等式組的非負(fù)整體弱解的劉維爾型定理，其中2＞α＞1－N，2－α＋β＞0，N≥3，q＞1。

微分不等式（1）出現(xiàn)在擴散現(xiàn)象、生化理論及生物群體力學(xué)等領(lǐng)域中的許多問題［1－4］。近年來，區(qū)域RN×（0，∞）中拋物型微分不等式及其耦合不等式組的劉維爾型定理吸引了許多學(xué)者的興趣。例如，Kartsatos等研究了在全空間上當(dāng)α＝β＝0時適當(dāng)?shù)呐R界范圍內(nèi)整體解的非存在性結(jié)論［5］；Piccirillo等在全空間上用試驗函數(shù)法對一類一般演化不等式的整體解的非存在性進行了介紹［6］；對橢圓型問題的研究參見文獻［7－9］。最近，在圓錐區(qū)域中問題也受到關(guān)注。比如，Kondrat’ev等在圓錐鄰域中利用比較原理研究了線性橢圓型邊值問題［10－14］；Bandle，Levine對圓錐區(qū)域中的拋物型問題做了開創(chuàng)新的研究后［15］，G.G.Laptev，G.Caristi等用試驗函數(shù)法討論了線性和半線性拋物型微分不等式（組）問題的非負(fù)整體解［16－18］。尤其是G.G.Laptev［16］等用試驗函數(shù)法討論了變系數(shù)半線性拋物型微分不等式及其耦合不等式組的問題。盡管如此，他們的研究只涉及到常系數(shù)或有界區(qū)域、半平面或整體空間中的問題，而對于圓錐區(qū)域中問題的研究卻較少，特別是對于源項也帶有變系數(shù)的半線性拋物型情形。據(jù)查文獻所知，不等式（組）（1）的研究還未得到展開。對這種問題研究的重要意義在于考慮了圓錐區(qū)域且變系數(shù)半線性拋物型不等式（組）的情形、沒有對初始值作任何正則性假設(shè)（這有時導(dǎo)致初值在超平面t＝0上可能沒有很好的‘跡’），不用比較原理和極值原理等。

本文則是側(cè)重研究擴散項和源項都帶有變系數(shù)的情形中，半線性拋物型微分不等式及其耦合不等式組的劉維爾型定理，其難點在于找到變系數(shù)指數(shù)α，β及非線性源項指數(shù)q之間的關(guān)系對整體弱解的影響，而它的臨界指數(shù)與在Kω中具有齊次邊界條件下拉普拉斯－貝爾特拉米算子邊值問題的第一特征值有著密切的聯(lián)系。

1 基本知識回顧

令Kω是RN中單位球面SN－1中的一個子區(qū)域，且有分段光滑的邊界Kω。圓錐K是用集合來表示，其中（r，ω）是表示空間變量x的球坐標(biāo)，ω∈SN－1。記K為K的側(cè)面。Ω是RN＋1中的一個有分段光滑邊界的無界子區(qū)域及（Ω）是t向異性索伯列夫空間，Lq，loc（Ω）是局部可積空間，且對于每個緊子集中的元素屬于表示連續(xù)函數(shù)空間表示閉區(qū)域上有直到m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體。記Δ為拉普拉斯算子是偏導(dǎo)數(shù)向量，對于不同函數(shù)為u的圓錐邊界K的外法線方向的導(dǎo)數(shù)。

通過簡單的微分計算，易得Δ在球坐標(biāo)（r，ω）下有如下形式：

其中Δω是單位球面SN－1上的拉普拉斯－貝爾特拉米算子，對應(yīng)于它的第一特征值記為，相應(yīng)的特征函數(shù)記為Φ（w），則Φ（w）實際上是邊值問題：

緊接著詳細(xì)介紹構(gòu)造試驗函數(shù)的全過程。其實，利用分離變量法構(gòu)造試驗函數(shù)。先考慮關(guān)于變量t的函數(shù)，它是在標(biāo)準(zhǔn)截止函數(shù)存在的基礎(chǔ)上構(gòu)造無窮光滑函數(shù)，且ζ（y）有如下性質(zhì)當(dāng)時；當(dāng)時

其中p0是待定常數(shù)，cη為正常數(shù)。于是有

引入一個參數(shù)ρ和一個正指數(shù)θ，來考察含有變量t≥0的函數(shù)，直接計算易得

進而可知

類似地，可構(gòu)造關(guān)于變量x的試驗函數(shù)，它的區(qū)域是圓錐形的?？紤]2個函數(shù)的乘積，其中指數(shù)s＞0。對其關(guān)于r變量進行求導(dǎo)可得

其中常數(shù)cpsη只與ρ，r有關(guān)。同理可得二階導(dǎo)數(shù)的估計式

其次，考慮上述估計式的應(yīng)用。先介紹拉普拉斯算子Δ，考慮函數(shù)，由計算可得

引入?yún)?shù)

下面，建立一個類似于（2）的估計式。

當(dāng)θ＝2時，（3），（4）式右端的指數(shù)相同，從而有

2 變系數(shù)半線性拋物型不等式

本節(jié)主要介紹變系數(shù)拋物型問題的劉維爾型定理。

下面考慮如下定義的弱解。

現(xiàn)引入?yún)?shù)

證明 （反證法）假設(shè)u（x，t）為（1）的一個非平凡弱解，

于是，在K中通過直接計算可得

同樣，類似于引言中的推導(dǎo)，也可得到如下積分估計式

取θ＝2－α＞0，上述2個估計式右端的指數(shù)次冪相等，故

當(dāng)ρ→∞時，

注1：沒有考慮a≥2的情況，這時對于x＝0處算子的退化導(dǎo)致了解的不存在性，這種現(xiàn)象稱為解的完全爆破。在某些適當(dāng)?shù)臈l件下，可得到解的生命時間和瞬時爆破結(jié)論。

3 臨界指數(shù)對初始值的依賴性

定理1證明了（1）的一個先驗估計式，本節(jié)把它作為已知的結(jié)論來處理。

引理1 設(shè)u（x，t）為（1）的一個解，對于充分大的ρ和q＞1，有：

令u（x，t）為滿足假設(shè)條件的（1）的一個整體弱解，對于，有，由引理1知，對于，有

進而得

下面單獨考慮當(dāng)γ＝β時的情形。

證明 由引理1，定理2的證明可知，當(dāng)γ＝β時，（8）式可相應(yīng)地?fù)Q成。因α＜2，q′＞1，，故導(dǎo)致矛盾。從而可知（1）是無解的。

定理證畢。

類似的方法可得到下面的定理。

4 變系數(shù)半線性拋物型耦合不等式組

本節(jié)將討論如下耦合不等式組整體弱解的劉維爾型定理。

其中2＞α＞1－N，2－α＋β＞0，u≥0，v≥0，q1＞1，q2＞1。定義2 稱非負(fù)函數(shù)u，v∈C（珡K×［0，∞））為（9）的整體弱解，如果對于任意非負(fù)的關(guān)于r＝｜x｜，t變量具有緊支集的試驗函數(shù)有

證明 令u（x，t），v（x，t）為（9）的一個非平凡弱解，選擇與定理1證明中相同的試驗函數(shù)

同理

由估計式（6）即得

再由（10），（11）知，

于是有

簡化指數(shù)得

同理可知，當(dāng)γ2≥γ1時，非平凡解u（x，t）是不存在的。

顯然，如果u（x，t），v（x，t）中只要一個恒等于零，那么另一個也恒等于零，故不等式組只有平凡解的條件是

定理證畢。

［1］ Berestycki H，Capuzzo Dolcetta I，Nirenberg L.Superlinear indenite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems［J］.Topol Methods Nonlinear Anal，1994，1：59－78.

［2］ Birindelli I，Demengel F.Some Liouville theorems for the p－Laplacian［J］.Elec J Differential Equations，Conference，2002，8：35－46.

［3］ Birindelli I，Mitidieri E.Liouville theorems for elliptic inequalities and applications［J］.Proc Royal Soc Edinburgh，1998，128：1217－1247.

［4］ Dancer E N，Du Y.Some remarks on liouville type results for quasi－linear elliptic equations［J］.Proc Amer Math Soc，2002，131：1891－1899.

［5］ Kartsatos A G，Kurta V V.On the critical Fujita exponents for solutions of quasilinear parabolic inequalities［J］.J Math Anal Appl，2002，269：73－86.

［6］ Piccirillo A M，Toscano L，Toscano S.Blow－up results for a class of first－order nonlinear evolution inequalities［J］.J Differential E－quations，2005，212：319－350.

［7］ Fujita H.On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut＝Δu＋u1＋α［J］.J Fac Sci Univ Tokyo Sect，1966，13：119－124.

［8］ Hayakawa K.On nonexistence of global solution of some semilinear parabolic differential equations［J］.Proc Japan Acad Ser A，1979，49：503－505.

［9］ Mitidieri E，Pohozaev S L.A priori estimates and blow－up of solutions to non－linear partial differential equations and inequalities［J］.Proc Steklov Inst Math，2001，234：1－383.

［10］ Kondrat'ev V A.Boundary－value problems for elliptic equations in domains with conic and angular points［J］.Trans Moscow Math Soc，1967，16：209－292.

［11］ Bon Fig.ioli A，Lanconelli E.Liouville－type theorems for real sub－Laplacians［J］.Manuscripta Math，2001，105：111－124.

［12］ Laptev G G.Non－existence of solutions of semilinear parabolic dierential inequalities in cones［J］.Matematicheskii Sbornik，2001，192：51－70.

［13］ Marco Rigoli，Alberto G Setti.A Liouville theorem for a class of superlinear elliptic equations on cones［J］.Nonlinear dier equ appl，2002，9：15－36.

［14］ Tomomitsu Teramoto，Hiroyuki Usami.A liouville type theorem for semiliear elliptitc systems［J］.Pacific Journal of Mathematics，2002，204：247－255.

［15］ Bandle C，Essen M.On positive solutions of Emden equations in cone－like domains［J］.Arch Rational Mech Anal，1990，4：319－338.

［16］ Laptev G G.Absence of solutions to semilinear parabolic differential inequalities in cones［J］.Mat Sb，2001，192：51－70.

［17］ Laptev G G.Nonexistence of Solutions of Elliptic Dierential Inequalities in Conic Domains［J］.Mat Zametki，2002，71（6）：855－866.

［18］ Caristi G.Existence and nonexistence of global solutions of degenerate and singular parabolic systems［J］.Abstr Appl Anal，2000，5：265－284.

Liouville Theorems of Semi－linear Parabolic Differential Inequalities with Variable Coefficients in Cone

FANG Zhong－Bo，F(xiàn)U Chao
（School of Mathematical Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

In this paper，the Liouville type theorems of semi－linear parabolic differential inequalities and systems of coupling inequalities with variable coefficients in cone were invertigated.First global weak solution was defined and the Universal estimation（independent of the initial value）of the solution was ertablished by constructing the test function，then the nonexistence of nonnegative non－trivial global weak solution within the appropriate critical exponent was achieved.The specialty of this method is that it does not use comparison theorems or the maximum principle.

differential inequalities；test function；Liouville type theorems

O175

A

1672－5174（2012）04－092－05

國家留學(xué)回國人員科研啟動基金項目（910937020）資助

2011－04－29；

2011－06－26

方鐘波（1968－），男，副教授。E－mail：fangzb7777＠hotmail.com

AMS Subject classifications:35K30；35K45；35B53

責(zé)任編輯 朱寶象