張靜文， 劉德友， 吳文娟

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

常見的二次優(yōu)化問題

(1)

其中，M∈Rm×n,a∈Rn,Ω是一個凸集.二次優(yōu)化問題在社會科學及工程中具有廣泛的應(yīng)用,其中包括回歸分析、圖像和信號處理、參數(shù)估計、濾波器設(shè)計、機器人控制等等.當M是正定矩陣時,式(1)為嚴格凸二次優(yōu)化問題;當M是半正定矩陣時,式(1)為退化的凸二次優(yōu)化問題.在很多情況下,矩陣M是不精確已知的,可能包含在一段區(qū)間上,這樣的問題被稱為區(qū)間二次優(yōu)化問題.在許多實際應(yīng)用中,最優(yōu)化問題還有一個自然時變亟待解決.目前,主要利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實現(xiàn)優(yōu)化方法,在運行時間程度上遠遠超過最受歡迎的數(shù)字計算算法.最近,有一些投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實現(xiàn)了解決此二次優(yōu)化問題.文獻[1]給出了最初的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),解決了嚴格凸二次優(yōu)化問題.為了克服處罰參數(shù),當Ω是一個有界閉集時,文獻[2]提出了投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù),解決了嚴格凸二次規(guī)劃和它的二元性,并得出全局指數(shù)穩(wěn)定.文獻[3-4]提出時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),解決了二次優(yōu)化問題,當Ω是一個無界閉集時,分析了該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[5]提出了時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于線性投影方程解的分析及其應(yīng)用,得出二次優(yōu)化最優(yōu)解新的充分條件.文獻[6]又對非線性時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性進行了分析，文獻[7]給出了一種改進的進化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計方法.在此基礎(chǔ)上,本文進一步把正定矩陣推廣到廣義正定矩陣,利用時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和Lyapunov函數(shù)的特性,給出判斷這種特殊二次優(yōu)化最優(yōu)解的充分條件.

1 模型及預備知識

根據(jù)[8-12]的方法，考慮時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

(2)

其中,τ≥0表示傳輸延遲,α是大于零的常量,M∈Rn×n給出線性映射方程[13]PΩ(u-α(Au+q))=u,其中α是大于零的常量,A是n維矩陣,q∈Rn,

Ω={u∈Rn|di≤ui≤hi,i∈S},S?L,L={1,2,…,n},

PΩ:Rn→Ω表示從Rn到Ω的映射影,并且有

引理1投影算子PΩ滿足不等式[14](x-PΩ(x))T(PΩ(x)-z))≥0,?z∈Ω,x∈Rn.

引理2?x,y∈Rn,投影算子PΩ滿足不等式

(PΩ(x)-PΩ(y))T(x-y)≥(PΩ(x)-PΩ(y))T(PΩ(x)-PΩ(y)).

引理3A∈Rn×n,對?0≠x∈Rn×1,都有可逆實對稱矩陣S,使得xTSAx>0,則稱A是廣義正定矩陣.

引理4對每一個φ(t)∈CC([-τ,0])在整個時間區(qū)間[0,∞),(2)式存在一個唯一的連續(xù)解u(t).

定理1時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(2)式全局指數(shù)穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定[15],當I-αM是非退化的.

因此，時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以確保線性投影方程有解，并能夠解決一類新的二次優(yōu)化問題.

2 二次優(yōu)化問題的應(yīng)用

考慮二次優(yōu)化問題

(3)

其中,M∈Rn×n,a∈Rn,M是一個對稱的廣義正陣,

Ω={x∈Rn|d≤x≤h},x=(x1,x2,…xn)T.

根據(jù)文獻[8-12]的結(jié)論，為了解決此二次優(yōu)化問題，提出時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中τ≥0表示傳輸延遲，α是大于零的常量,M∈Rn×n,M是一個對稱的廣義正定矩陣,并且滿足I-αM是非退化的.假設(shè)對于二次優(yōu)化問題的解是一個非空集合,若x*是(3)的最優(yōu)解,當且僅當x*滿足變分不等式

(x-x*)T(Mx*+a)≥0,x*∈Ω,?x∈Ω.

(4)

此外,x*是(3)的最優(yōu)解當且僅當對?α≥0,u*是G(x)的一個零點映射,

G(x)=PΩ(x-α(Mx+a))-x.

為了得出(3)的最優(yōu)解，借助時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，

(5)

顯然,(5)的平衡點對應(yīng)于(4)的最優(yōu)解.根據(jù)文獻[16]的結(jié)論,就能借助時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(5)來解決最優(yōu)化問題(3).可構(gòu)造一個新的Lyapunov函數(shù)來證明系統(tǒng)(5)是全局收斂的.

定理2時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(5)全局穩(wěn)定于二次優(yōu)化(3)的解,當矩陣M是一個對稱的廣義正定矩陣.

證明假設(shè)x*是(5)的平衡點,考慮Lyapunov函數(shù),

其中I是n維的單位向量.根據(jù)引理3,一定存在可逆的實對稱矩陣D使得xTDMx>0,并且

其中,<·，·>表示內(nèi)積.

α

=α+

x*,PX[x(t)-α(Mx(t)+a)]-x(t)>+,

(6)

α

=α-α

α(Mx(t)+a)]-x*>+α,

(7)

α

=<αf′(x)-x(t)+PX[x(t)-α(Mx(t)+a)],PX[x(t)-α(Mx(t)+a)]-x*>+

=α

x*>+

x(t)>+.

(8)

結(jié)合(4),(6)～(8)和引理1,得

αDM+I是對稱的正定矩陣,所以存在對稱矩陣A,使得

αDM+I=A2.

A(x(t-τ)-x*))T×(A(x(t)-x*)-A(x(t-τ)-x*))

=-‖x(t)-PX[x(t)-α(Mx(t)+a)]‖2-

=-‖x(t)-PX[x(t)-α(Mx(t)+a)]‖2-

≤0.

(9)

V(xt)是系統(tǒng)(5)的Lyapunov函數(shù).通過引理4,系統(tǒng)(5)的最大區(qū)間解為[0,∞).由壓縮不變原理[17],一定存在常數(shù)τ,有xt→E∩V-1(τ),t→∞,其中E包含在最大不變集S中,S={xt|dv/dt=0}.通過(9)和定義V(xt),有dv/dt=0,當且僅當dx/dt=0,即E∩{x∈Ω|dx/dt=0},則動力系統(tǒng)(5)全局收斂于平衡點,即為不定二次優(yōu)化(3)的最優(yōu)解.

3 仿真實例

通過實例驗證二次優(yōu)化解的有效性.

例題1考慮二次優(yōu)化問題

(10)

其最優(yōu)解為x*=[-1 1-1]T，則給出時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(11)式解決二次優(yōu)化問題,

(11)

x(t)的初始值區(qū)間為[-1,0].通過定理2,則有系統(tǒng)(11)是全局收斂于平衡點x*,即(10)的最優(yōu)解.

4 結(jié)束語

借助時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解線性映射方程的模型,證明一種新的二次優(yōu)化問題,把優(yōu)化問題更進一步推廣.且通過數(shù)值例子,驗證了本文結(jié)果的有效性.

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