張 軍

（廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東 廣州510006）

基于加權(quán)L1最小化的圖像小波域壓縮感知重構(gòu)＊

張 軍

（廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東 廣州510006）

壓縮感知理論因?yàn)槟芤陨倭康牟蓸泳_地重構(gòu)原始信號(hào)而得到廣泛關(guān)注.通過在壓縮感知的框架下研究小波域圖像重構(gòu)問題，提出了一類小波域的加權(quán)l(xiāng)1最小化方法.該方法不僅利用了信號(hào)稀疏性的先驗(yàn)信息，而且在重構(gòu)模型中，通過對(duì)不同小波子帶上的系數(shù)施加不同的權(quán)重，從而整合了圖像小波域的結(jié)構(gòu)信息，與經(jīng)典的壓縮感知算法相比具有更好的信號(hào)可恢復(fù)性.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，選用該方法能夠以更少的采樣得到同等精度的重構(gòu)圖像，驗(yàn)證了該方法的有效性.

壓縮感知；圖像重構(gòu)；小波；基追蹤

在香農(nóng) －奈奎斯特（Shannon－Nyquist）采樣定理的框架下，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)獲取技術(shù)經(jīng)常陷入高速采樣再大量丟棄的“怪圈”中，這個(gè)過程浪費(fèi)了寶貴的采樣與計(jì)算資源.近年來，Donoho［1］、Candes等［2］提出的壓縮感知理論將傳統(tǒng)的對(duì)信號(hào)的采樣方式轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)信息進(jìn)行直接采樣，從而可以以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率的要求采樣就獲取信號(hào)的所有（或者絕大部分）信息.壓縮感知理論極大地降低了信號(hào)采樣、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)拇鷥r(jià)，被認(rèn)為是對(duì)香農(nóng) －奈奎斯特采樣理論的革命性突破.CS理論的主要思想來源于稀疏表示領(lǐng)域的這樣一個(gè)結(jié)論：只要信號(hào)足夠稀疏，就可以通過非線性優(yōu)化的方法在欠定情況下有效地恢復(fù)原始信號(hào).而對(duì)于n維原始信號(hào)S∈Rn×1，總能找到（至少對(duì)于自然界中的絕大多數(shù)信號(hào)是如此）某組正交基Ψ∈Rn×n，使得S在Ψ中的表示X＝Ψ－1S是稀疏的.因此，只需要設(shè)計(jì)一組特定波形Φ∈Rm×n去感知信號(hào)S，即將信號(hào)S投影到給定波形上面，就可以采樣到一組壓縮數(shù)據(jù)Y.而壓縮數(shù)據(jù)Y則包含了原始信號(hào)S的所有信息，可以利用某個(gè)重構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)對(duì)壓縮數(shù)據(jù)Y解密得到稀疏信號(hào)X，最后利用逆變換

重構(gòu)出原始信號(hào)S.在壓縮感知中，Ψ，Φ分別稱為變換矩陣與感知矩陣，而A＝ΦΨ稱為觀測(cè)矩陣.近年來，壓縮感知作為一種新的信號(hào)采樣理論得到了廣泛的關(guān)注［3－4］.

在壓縮感知的實(shí)現(xiàn)過程中，稀疏表示、非相關(guān)觀測(cè)和信號(hào)的重構(gòu)方法是3個(gè)關(guān)鍵的因素.其中信號(hào)的稀疏表示壓縮感知的前提，非相關(guān)觀測(cè)和信號(hào)重建是壓縮感知的手段.為了精確地重構(gòu)原始信號(hào)，Donoho等［5］提出了基追蹤（Basis Pursuit，BP）算法.BP算法將信號(hào)重構(gòu)轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題來進(jìn)行求解，具有穩(wěn)定、對(duì)噪聲魯棒的優(yōu)點(diǎn).另一類被廣泛采樣的信號(hào)重構(gòu)方法是Mallat等［6］提出的匹配追蹤（Match Pursuit，MP）算法及其后續(xù)的變種，例如正交匹配追蹤（OMP）［7］與壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP）算法［8］等.與BP算法相比，MP算法具有運(yùn)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，但解的質(zhì)量不如BP算法.之后，Vaswani等［9］整合信號(hào)的部分已知支撐信息，提出一個(gè)改進(jìn)的BP算法：Modified－CS方法.而Khajehnejad等［10］發(fā)現(xiàn)，如果信號(hào)呈現(xiàn)非均勻稀疏性，那么對(duì)信號(hào)具有不同稀疏度的塊施加不同的權(quán)重，將能有效提高算法的信號(hào)可恢復(fù)性.

筆者重點(diǎn)研究了基于壓縮感知的圖像小波域重構(gòu).眾所周知，小波良好的時(shí)頻局部化特性使得它能有效地稀疏表示數(shù)字圖像，然而小波變換的特點(diǎn)使得圖像在各小波子帶下呈現(xiàn)顯著的結(jié)構(gòu)特性.基于這一現(xiàn)象，提出一類小波域的加權(quán)l(xiāng)1最小化方法并用于圖像重構(gòu)問題.

1 圖像重構(gòu)及小波域L1最小化方法

在圖像的幾類主要的稀疏表示域中，小波域因?yàn)槠涠喾直媛侍匦耘c優(yōu)異的稀疏化能力而得到了廣泛的應(yīng)用.二維圖像通過按行（或者列）排列可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)n×1維信號(hào)S，對(duì)于某組小波基，可以構(gòu)造一個(gè)大小為n×n的正交小波字典Ψ，則小波變換可以表示為（1）式的形式，其本質(zhì)為得到信號(hào)S在字典Ψ下的稀疏表示X.如圖1為Barbara圖像（即信號(hào)S）及其在小波字典下的小波系數(shù)（即稀疏表示X），小波系數(shù)X的大部分分量的值接近于0，因此X是一個(gè)稀疏向量.根據(jù)小波域經(jīng)典的壓縮感知框架，通過構(gòu)造m×n的矩陣Φ來觀測(cè)信號(hào)S得到觀測(cè)向量Y＝ΦS＋Z，其中Z為噪聲或者系統(tǒng)誤差，則BP算法是通過求解以下優(yōu)化問題來求解稀疏向量X，從而利用（1）式重構(gòu)原圖像S：

現(xiàn)在以少量的采樣（m?n）就可以精確地重構(gòu)X.

圖1 Barbara圖像及其小波系數(shù)

然而，小波變換所采用的金字塔算法的特點(diǎn)決定了圖像的小波系數(shù)呈現(xiàn)出了結(jié)構(gòu)上的規(guī)律性，例如對(duì)于圖1中的小波系數(shù)，可以將其分為低頻分量、第1層高頻分量與第2層高頻分量，根據(jù)小波分析理論易知，低頻分量往往是比較大的系數(shù)，而第1，2層高頻分量的系數(shù)的幅值依次降低，稀疏程度依次提高.這一特性可以通過在圖像重構(gòu)方法中加以利用，從而提高重構(gòu)方法的信號(hào)可恢復(fù)性.

基于上述分析，提出小波域加權(quán)l(xiāng)1最小化方法：將圖像小波系數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以權(quán)重的形式加以體現(xiàn)，稀疏度高的區(qū)域（例如圖1中的第2層高頻分量）施加大的權(quán)重，稀疏度低的區(qū)域（例如圖1中的第1層高頻分量）施加小的權(quán)重，而低頻分量施加的權(quán)重為0.對(duì)于M層小波變換后的圖像，具體的圖像重構(gòu)模型可以表示為

其中：w0＝0，wM＝1，wj＝2j－M，j＝1，…，M －1；L0表示低頻帶；Hj（j＝1，2，…，M）表示第j個(gè)高頻帶.

2 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證小波域加權(quán)l(xiāng)1最小化方法的有效性，在欠定采樣下重構(gòu)圖1中的Barbara圖像.首先基于小波域多尺度CS框架采樣Barbara圖像：利用Haar小波來構(gòu)建變換矩陣，同時(shí)生成一個(gè)隨機(jī)高斯感知矩陣，所構(gòu)建的觀測(cè)矩陣對(duì)Barbara圖像的3層小波域稀疏系數(shù)進(jìn)行觀測(cè).在不同的采樣率下，基于模型（2）來重建圖像.顯然，由本實(shí)驗(yàn)的采樣方案可知，模型（2）中的M＝3.為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）的性能，將模型（2）在不同采樣率下的圖像重構(gòu)結(jié)果與經(jīng)典的基追蹤（BP）算法重建結(jié)果進(jìn)行比較.在實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)＾X是重構(gòu)圖像，X是原圖像，則選擇

圖2 重構(gòu)誤差曲線

作為重構(gòu)誤差（Reconstruction Error，ER）的衡量標(biāo)準(zhǔn).Barbara圖像在不同采樣下的重構(gòu)誤差曲線如圖2所示.

從圖2可以看出，小波域加權(quán)l(xiāng)1最小化方法取得了比BP算法更小的重構(gòu)誤差，原因在于文中模型利用了小波域的結(jié)構(gòu)信息.眾所周知，BP算法在眾多的經(jīng)典壓縮感知重構(gòu)方法中具有最好的信號(hào)可恢復(fù)性，因此仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性.

3 結(jié)語

利用圖像在小波域的結(jié)構(gòu)信息，提出了一類用于圖像重構(gòu)的小波域加權(quán)l(xiāng)1最小化方法.因?yàn)槌诵盘?hào)稀疏性的先驗(yàn)信息外，該方法有效地整合了其他信息，所以能夠取得很好的圖像重構(gòu)精度.在將來的工作中，將進(jìn)一步從理論上分析文中模型的信號(hào)可恢復(fù)性，并研究相應(yīng)的快速算法.

［1］DONOHO D L.Compressed Sensing［J］.IEEE Trans.Inf.Theory，2006，52（4）：1 289－1 306.

［2］CANDES E J，ROMBERG J，TAO T.Robust Uncertainty Principles：Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information［J］.IEEE Trans.Inf.Theory，2006，52（2）：489－509.

［3］CANDES E，WAKIN M.An Introduction to Compressive Sampling ［J］.IEEE Signal Process Mag.，2008，25（2）：21－30.

［4］ROMBERG J.Imaging via Compressive Sampling［J］.IEEE Signal Process Mag.，2008，25（2）：14－20.

［5］CHEN S S，DONOHO D L，SAUNDERS M A.Atomic Decomposition by Basis Pursuit［J］.SIAM Rev.，2001，43（1）：129－159.

［6］MALLAT S，ZHANG Z.Matching Pursuits with Time－Frequency Dictionaries［J］.IEEE Trans.Sig.Proc.，1993，41（12）：3 397－3 415.

［7］NEEDELL D，TROPP J.CoSaMP：Iterative Signal Recovery from Incomplete and Inaccurate Samples［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，26（3）：301－321.

［8］TROPP J，GILBERT A.Signal Recovery from Random Measurements via Orthogonal Matching Pursuit［J］.IEEE Trans.Inf.Theory，2007，53（12）：4 655－4 666.

［9］VASWANI N，LU W.Modified－CS：Modifying Compressive Sensing for Problems with Partially Known Support［J］.IEEE Trans.Sig.Proc.，2010，58（9）：4 595－4 607.

［10］KHAJEHNEJAD M，XU W，AVESTIMEHR S，et al.Analyzing Weighted l1Minimization for Sparse Recovery with Nonuniform Sparse Models［J］.IEEE Trans.Sig.Proc.，2011，59（5）：1 985－2 001.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

Weighted Minimization for Compressive Sensing Image Reconstruction in Wavelet Domain

ZHANG Jun
（School of Information Engineering，Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China）

Compressive sensing has

much attention in the signal processing field for it can reconstruct a signal or image from surprisingly few samples.In this paper，the author investigates the wavelet domain image reconstruction problem and proposes a weighted liminimization algorithm to reconstruct the images.The proposed method utilizes not only the sparsity of signals，but also incorporates the structure information of images in wavelet domain.Hence，compared with the classical compressive sensing algorithm，the proposed method has better recoverability.Simulation results show that the proposed method has achieved the same equality image from few samples，which demonstrates the validity of the proposed method.

compressive sensing；image reconstruction；wavelet；basis pursuit

TN911.72

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2012.04.019

1007－2985（2012）04－0083－04

2012－02－24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60901027）

張 軍（1979－），男，湖南新化人，廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院講師，博士，主要從事壓縮感知、稀疏表示及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用研究.