摘要：文章詳盡闡述了數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的一些相關(guān)應(yīng)用，通過(guò)對(duì)它基本形式的學(xué)習(xí)和理解，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法在解決和正整數(shù)相關(guān)的類型題中的作用做出肯定。對(duì)與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、整除性問(wèn)題和幾何問(wèn)題等，用相應(yīng)的實(shí)例進(jìn)行解析說(shuō)明在各類型中數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用。在很多時(shí)候?qū)W生的錯(cuò)誤就是在于不能真正理解數(shù)學(xué)歸納法和存在的一些數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的思維定勢(shì)。我們應(yīng)該去除學(xué)生在學(xué)習(xí)歸納法時(shí)的這些弊端，充分了解它的好處和局限，更好的去應(yīng)用它來(lái)幫助我們解決相應(yīng)的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：歸納法；應(yīng)用數(shù)學(xué)；教學(xué)

中圖分類號(hào)：FG633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１６７３－２９１Ｘ（２０11）14－０304－02

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數(shù)有關(guān)的命題，但它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用是不可或缺的。因此，它不僅是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)考點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。在看似簡(jiǎn)單易懂，形式固定的外表下，它卻使得很多學(xué)生不能真正掌握，難以理解其實(shí)質(zhì)。有些同學(xué)僅僅只是生硬的記憶和牽強(qiáng)的套用，沒(méi)有真正體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法的核心思想。我們應(yīng)該怎樣理解數(shù)學(xué)歸納法，在高中數(shù)學(xué)中又有哪些方面的應(yīng)用？在哪些類型題上使用可以更加方便？數(shù)學(xué)歸納法又有哪些局限性？我們應(yīng)該怎樣具體問(wèn)題具體分析，更好的學(xué)習(xí)和利用數(shù)學(xué)歸納法呢？

在本文中通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本形式理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步論述了在解決很多和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除和幾何等問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。當(dāng)然數(shù)學(xué)歸納法，在很多時(shí)候也會(huì)使解題變的復(fù)雜繁瑣，因此我們要理解其實(shí)質(zhì)，真正掌握正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的能力。

數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：

（1）驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)，命題正確：

（2）假設(shè)n＝k時(shí)命題正確，證明n＝k+1時(shí)命題也正確：

（3）根據(jù)（1） （2）斷定命題對(duì)于全體自然數(shù)都正確。

例1： 證明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）

證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＝右邊，等式顯然成立。

（2）假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2

那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]

＝（2k-1）2+8k＝（2k+1）2＝[2（k+1）-1]2

即當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式也成立。故對(duì)于任意正整數(shù)n等式都成立。

通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法基本形式和例題可以看出其原理就是遞推思想，其中（1）是遞推的基礎(chǔ)，沒(méi)有它歸納假設(shè)就失去了依據(jù)，后面遞推就沒(méi)有了奠基。（2）是遞推的依據(jù)是數(shù)學(xué)歸納法證明最根本的一步，是整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明的核心，只有通過(guò)它無(wú)限次遞推成為可能，人們的認(rèn)識(shí)才達(dá)到了質(zhì)的飛越——通過(guò)有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，所以數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。

數(shù)學(xué)歸納證題的兩個(gè)步驟雖然都很重要，但在證題時(shí)第一步較易，第二步較難。學(xué)生往往感到很困難，絞盡腦汁都難以完成這一步，到底我們應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化，不同的問(wèn)題我們又應(yīng)該怎樣去解決？下面我們來(lái)探討一下數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過(guò)程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）

證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＝（2×1-1）2＝右邊，等式成立。

（2）假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2

那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]+8k

＝（2k-1）2+8k

＝4k2+4k+1

＝（2k+1）2

＝[2（k+1）-1]2

即當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式也成立，故對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立。

二、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種，嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。對(duì)于非嚴(yán)格不等式而言，情況略顯復(fù)雜。

例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正數(shù)，試證：

+++…≥x1，x2，x3…，xn

證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)椋絰1，所以原不等式成立（取等號(hào)）

（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)原不等式成立，即

+++…≥x1，x2，x3…，xk

那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式的左邊

+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）

顯然，只要證明

+≥xk-1

原不等式即可得證。但此式難以直接證明，經(jīng)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，原不等式關(guān)于變量x1，x2，x3…，xn是輪換對(duì)稱的，于是不妨設(shè)xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，則xk-12-xk2＞0。

+≥+＝＝xk-1

故當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立。即原不等式對(duì)于所有自然數(shù)都成立。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一。這類問(wèn)題涉及到整除性的知識(shí)，如果a能被c整除，那么a的倍數(shù)ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除，從整數(shù)的基本入手，通過(guò)添項(xiàng)去項(xiàng)進(jìn)行”配湊“，使之能夠獲證。

例3：證明f（n）＝5n+2#8226;3n+1能被8整除。

證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，f（n）＝5n+2#8226;3n+1＝8顯然能被8整除，命題成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，原命題成立，即f（k）＝5k-1+2#8226;3k+1能被8整除，那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，f（k+1）＝5k-1+2#8226;3k+1

＝5#8226;5k+6#8226;3k+1+4#8226;3k-1-4#8226;3k-1

＝5#8226;5k+10#8226;3k-1+5-4#8226;3k-1-4

＝5#8226;f（k）-4（3k-1+1）

這里第一項(xiàng)由歸納假設(shè)能被8整除，第二項(xiàng)中3k-1是奇數(shù)，則3k-1+1是偶數(shù)。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性質(zhì)可知，它們的差也能被8整除，這就是說(shuō)：當(dāng)n＝k+1時(shí)命題也成立。即原命題對(duì)所有自然數(shù)n都成立。

四、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。有很多與正整數(shù)有關(guān)的幾何問(wèn)題，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，而后才能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。

例4：證明凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)f（n）＝n（n-3）.（n≥3）

證明：（1）當(dāng)n＝3時(shí)，f（3）＝0，因三角形沒(méi)有對(duì)角線，所以原命題成立。

（2）假設(shè)：當(dāng)n＝k（n≥3）時(shí)命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線條數(shù)為f（k）＝k（k-3）。那么當(dāng)n＝k+1，凸k邊形的k個(gè)頂點(diǎn)增加一個(gè)頂點(diǎn)Ak-1成為凸k+1邊形時(shí)，由頂點(diǎn)Ak-1與它不相鄰的另外k－2個(gè)頂點(diǎn)A2，A3，A4，…，Ak－1可畫出k－2條對(duì)角線，同時(shí)原來(lái)凸k邊形的一條邊A1Ak變成一條對(duì)角線。這樣從凸k邊形到凸k+1邊形一共增加了k-1條對(duì)角線。由此凸 邊形的對(duì)角線條數(shù)為：

f（k+1）＝f（k）+（k+1）

＝k（k-3）+（k-1）

＝（k2-k-2）

＝（k+1）（k-2）

＝（k+1）[（k+1）-3]

這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k+1時(shí)，命題也成立。

需要指出，雖然數(shù)學(xué)歸納法是一種論證與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但并非結(jié)論是自然數(shù)的函數(shù)的命題都適合用數(shù)學(xué)歸納法證明。有些題目應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，過(guò)程相當(dāng)繁瑣，尤其是由n＝k到n＝k+1的變化過(guò)程很多，不易操作。事實(shí)上，很多與正整數(shù)有關(guān)的命題，若能避開(kāi)數(shù)學(xué)歸納法的思維定勢(shì)，利用其命題本身的特點(diǎn)，采用非數(shù)學(xué)歸納法的證明，則能避繁就簡(jiǎn)。

例5：n∈N*，求證1+++…+＜2。

證：令bn＝2，則bn＝b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）

當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1＝2（-）＝＞＝，從而1+++…+＜b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）＝bn＝2

即1+++…+＜2。

通過(guò)以上例題，只是想說(shuō)明對(duì)于有關(guān)自然數(shù)的命題的證明，不一定都采用數(shù)學(xué)歸納法這一種方法而應(yīng)該針對(duì)題目本身的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟ_(dá)到簡(jiǎn)化證明過(guò)程的目的。從另一個(gè)角度來(lái)講也能克服學(xué)習(xí)中的思維定勢(shì)，使知識(shí)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。

以上我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式，及在中學(xué)數(shù)學(xué)中和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除問(wèn)題和幾何問(wèn)題等，一些常見(jiàn)題型中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的舉例，并通過(guò)相應(yīng)的例題對(duì)這幾種方法進(jìn)行了解析，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了更進(jìn)一步的了解?？v觀科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的當(dāng)今時(shí)代，我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，對(duì)于它的更加優(yōu)越的性質(zhì)和更廣泛的應(yīng)用仍需要我們繼續(xù)努力鉆研。深入探討數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)性質(zhì)，究竟何時(shí)使用歸納法何時(shí)不使用，中學(xué)數(shù)學(xué)歸納法還有哪些應(yīng)用，還有待同學(xué)仔細(xì)研究和探索。

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