摘要：數(shù)學(xué)建模就是學(xué)習(xí)如何把物理的復(fù)雜的世界用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述出來，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的手段對(duì)模型加以分析，然后再用所得結(jié)論回歸現(xiàn)實(shí)，指導(dǎo)實(shí)踐。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系實(shí)際與理論的橋梁，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的必經(jīng)環(huán)節(jié)。將初等數(shù)學(xué)知識(shí)與生活中的實(shí)際問題相結(jié)合，介紹了幾種常見類型的數(shù)學(xué)建模方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；最優(yōu)化問題；金融與經(jīng)濟(jì)；估算與測(cè)量

中圖分類號(hào)：G640文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-291X（2011）18-0321-02

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。生活中的數(shù)學(xué)建模涉及到的問題比較貼近我們的實(shí)際，具有一定的實(shí)踐性和趣味性，所需知識(shí)以初等數(shù)學(xué)為主，較容易入手與普及。因此，生活中的數(shù)學(xué)建模應(yīng)成為培養(yǎng)大眾數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平、分析和解決實(shí)際問題的能力的重要途徑。

本文擬將初等數(shù)學(xué)知識(shí)與生活中的實(shí)際問題相結(jié)合，對(duì)幾種常見類型的建模技巧進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析、歸納。

一、基本概念

數(shù)學(xué)模型：把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系抽象出來，用數(shù)學(xué)語言概括地或近似的表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它是對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個(gè)近似的反映。

數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題過程的簡(jiǎn)稱。

二、建模步驟

這里所說的建模步驟只是大體上的規(guī)范，實(shí)際操作中應(yīng)針對(duì)具體問題作具體分析，靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模的一般步驟如下：

1.準(zhǔn)備模型。熟悉實(shí)際問題，了解與問題有關(guān)的背景知識(shí)，明確建模的目的。

2.建立模型。分析處理已有的數(shù)據(jù)、資料，用精確的數(shù)學(xué)語言找出必要的假設(shè)；利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具描述有關(guān)變量和元素的關(guān)系，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（如方程、不等式、表格、圖形、函數(shù)、邏輯運(yùn)算式、數(shù)值計(jì)算式等）。在建模時(shí)，盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，以使模型得到更廣泛的應(yīng)用與推廣。

3.求解模型。利用數(shù)學(xué)工具，對(duì)模型進(jìn)行求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、性質(zhì)討論等。對(duì)模型求解的結(jié)果進(jìn)行分析，根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)分析各變量之間的依賴關(guān)系，有時(shí)需要根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)式的預(yù)測(cè)和最優(yōu)決策、控制等。

4.檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。把模型分析的結(jié)果返回到實(shí)際應(yīng)用中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院蛯?shí)用性，即驗(yàn)證模型的正確性。通常，一個(gè)成功的模型不僅能夠解釋已知現(xiàn)象，而且還能預(yù)言一些未知現(xiàn)象。

如果檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際不符或部分不符，而且求解過程沒有錯(cuò)誤，那么問題一般出在模型假設(shè)上，此時(shí)應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)。如果檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際相符，并滿足問題所要求的精度，則認(rèn)為模型可用，便可進(jìn)行模型應(yīng)用與推廣。

三、分類討論

我們將按照初等數(shù)學(xué)知識(shí)在不同生活領(lǐng)域的應(yīng)用，也即生活中的數(shù)學(xué)建模的不同題型作分類討論。本文節(jié)選三類問題進(jìn)行分析：最優(yōu)化問題；金融與經(jīng)濟(jì)；估算與測(cè)量。

（一）最優(yōu)化問題

最優(yōu)化應(yīng)用題包括工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、日常生活、試驗(yàn)、銷售、投資、比賽等方面，分最值問題、方案優(yōu)化的選擇、試驗(yàn)方案的制定等類型。對(duì)于最值問題，一般建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的（最值）知識(shí)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；而對(duì)于方案的優(yōu)化選擇問題是將幾種方案進(jìn)行比較，選擇最佳的方案。

例1（客房的定價(jià)問題）：一個(gè)星級(jí)旅館有150個(gè)客房，每間客房定價(jià)相等，最高定價(jià)為198元，最低定價(jià)為88元。經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營實(shí)踐，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：每間客房定價(jià)為198元時(shí)，住房率為55%；每間客房定價(jià)為168元時(shí)，住房率為65%；每間客房定價(jià)為138元時(shí)，住房率為75%每間客房定價(jià)為108元時(shí)，住房率為85%.欲使旅館每天收入最高，每間客房應(yīng)如何定價(jià) ？

分析與思考：

據(jù)經(jīng)理提供的數(shù)據(jù)，客房定價(jià)每下降30元，入住率即提高10個(gè)百分點(diǎn)。相當(dāng)于平均每下降1元，入住率提高1/3個(gè)百分點(diǎn)。因此，可假設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)。

這樣，我們可通過建立函數(shù)模型來求解本題。設(shè)y表示旅館一天的總收入，與最高價(jià)198元相比每間客房降低的房?jī)r(jià)為x元，可建立數(shù)學(xué)模型：

y=150×（198-x）×0.55+x

解得，當(dāng)x=16.5時(shí)，y取最大值16 471.125元，即最大收入對(duì)應(yīng)的住房定價(jià)為181.5元。如果為了便于管理，定價(jià)為180元/（間#8226;天）也是可以的，因?yàn)榇藭r(shí)總收入y=16 470元，與理論上的最高收入之差僅為1.125元。

本題建模的關(guān)鍵在于：根據(jù)房?jī)r(jià)的降幅與住房率的升幅關(guān)系，假設(shè)兩者存在著線性關(guān)系。

（二）金融與經(jīng)濟(jì)

現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)生活中，人與金融之間的關(guān)系日益密切。金融類的題目注重了針對(duì)性、典型性、新穎性和全面性，因而對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)方面的要求就更高。

涉及金融與經(jīng)濟(jì)的建模題常見的有投資問題、住房貸款問題、分期付款問題、證券問題等。一般的做法是通過數(shù)學(xué)建模將此類題型轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)中的常用知識(shí)點(diǎn)來解決，如數(shù)列問題、冪函數(shù)問題、不等式問題等。

例2（購房貸款）：小李年初向銀行貸款20萬元用于購房。已知購房貸款的年利率優(yōu)惠為10%，按復(fù)利計(jì)算。若這筆貸款要求分10次等額歸還，每年一次，并從借款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元（精確到1元） ？

分析與思考：

已知貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限，要求出每年的歸還額。本題即可化為求每年的歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限的關(guān)系。

不妨先把這個(gè)問題作一般化處理。設(shè)某人向銀行貸款元M0，年利率為α，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息記入次年的本金生息），并從借款后次年年初開始每次k元等額歸還，第n次全部還清。那么，一年后欠款數(shù)M1=（1+α）M0-k

兩年后欠款數(shù)M2=（1+α）M1-k =（1+α）2M0-k[（1+α）+1]

………………

n年后欠款數(shù)Mn=（1+α）Mn-1-k=（1+α）M0-

由Mn=0可得k=

這就是每年歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限之間的關(guān)系式。

對(duì)于上述購房問題，將α=0.1，M0=200 000，n=10代入得

k= ≈32 549.6（元）

故每年應(yīng)還32 550元。

本題建模的關(guān)鍵在于：將求每年的歸還額與貸款數(shù)額、貸款利率、歸還年限的關(guān)系化為數(shù)列計(jì)算問題。

（三）估算與測(cè)量

估計(jì)與測(cè)量是數(shù)學(xué)中最古老的問題。估算與測(cè)量類的建模題，其背景包括人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)、科學(xué)技術(shù)等方面的一些測(cè)量、估算、計(jì)算。

對(duì)于估算與測(cè)量的題目，一般要先理解好題意，正確建模，然后通過周密的運(yùn)算，找出結(jié)論。這類題目常?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式、數(shù)列、二項(xiàng)式定理展開式、三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行處理。

例3（挑選水果問題）：上街買水果，人們總喜歡挑大的，這是否合理呢 ？

分析與思考：

從什么角度來分析此問題呢 ？要判斷合理與否，首先要明確判斷的標(biāo)準(zhǔn)。一般來說，買水果主要供食用。故下面從可食率這個(gè)角度加以分析。

水果種類繁多，形狀各異，但總的是近似球形居多。故可假設(shè)水果為球形，半徑為R，建立一個(gè)球的模型來求解此題。

挑選水果的原則是可食率較大。由于同種水果的果肉部分的密度分布均勻，則可食率可以用可食部分與整個(gè)水果的體積之比來表示。分以下幾種不同類型的水果分別剖析：

1.果皮較厚且核較小的水果，如西瓜、橘子等。同類水果的皮厚度差異不大，假設(shè)是均勻的，其厚為d，易得

可食率＝=1-3

2.果皮較厚且有核（或籽集）較大的水果，如南方的白梨瓜等。此類水果計(jì)算可食率時(shí)，不但要去皮且要去核。設(shè)核半徑為kR（k為常數(shù)，0

可食率==1-3-k3

上兩式中，d為常數(shù)，當(dāng)R越大即水果越大時(shí)，可食率越大，越合算。

3.有些水果盡管皮很薄，但考慮衛(wèi)生與外界污染，必須去皮食用，如葡萄等。此類水果與（1）類似，可知也是越大越合算。

本題建模的關(guān)鍵在于：從可食率入手，利用水果的近似球形，建立一個(gè)球的模型，將求可食率的大小轉(zhuǎn)化為求關(guān)于水果半徑R的單調(diào)性。

生活中的數(shù)學(xué)建模是在實(shí)際問題與初等數(shù)學(xué)知識(shí)之間架起一座橋梁，使初等數(shù)學(xué)知識(shí)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用得以生動(dòng)地展示，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成和應(yīng)用的過程。

我們的數(shù)學(xué)建模應(yīng)該密切關(guān)注生活，將知識(shí)綜合拓廣，使之立意高，情境新，充滿時(shí)代氣息。這對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性，敏捷性，深刻性，廣闊性，創(chuàng)造性是大有益處的。

參考文獻(xiàn)：

[1]卜月華.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)[M].江蘇:東南大學(xué)出版社，2002.

[2]馬春華，鄭小玲.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題題型突破例釋[M].北京:龍門書局，2002.

[3]李云鼎，許少華.點(diǎn)擊解析幾何[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中)，2006，(1):45-48.

[4]上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競(jìng)賽委員會(huì).中學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)競(jìng)賽題萃[M].上海:華東師范大學(xué)出版社，2002.

[5]金明烈.中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用[M].烏魯木齊:新疆大學(xué)出版社，2000.[責(zé)任編輯 魏杰]

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文