我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)充分必要條件的學(xué)習(xí)普遍感到困難，抓不住要領(lǐng)。雖然教學(xué)大綱對(duì)這部分內(nèi)容的要求不是很高，但它作為一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生判斷問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是很有用的。教師要善于把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成通俗語(yǔ)言，幫助學(xué)生理解問(wèn)題。

問(wèn)題1：到民航售票處買(mǎi)機(jī)票，單擁有人民幣是不夠的，還要有身份證才能買(mǎi)到機(jī)票。

這實(shí)質(zhì)是一個(gè)充分必要條件問(wèn)題。單“擁有人民幣”這個(gè)條件對(duì)于“買(mǎi)到機(jī)票”這件事來(lái)說(shuō)是不夠的，不充分的，必須加強(qiáng)條件。但加到什么程度才能恰好買(mǎi)到機(jī)票呢？顯然，加上身份證明就夠了。然而，人民幣、身份證明對(duì)于買(mǎi)到機(jī)票這件事來(lái)說(shuō)是必不可少的，缺少了任何一種都不能買(mǎi)到機(jī)票。

定義1：如果條件A成立，那么就有結(jié)論B成立，即A=〉B，就說(shuō)A對(duì)于B成立是充分的，A是B成立的充分條件。

這就是說(shuō)，為使結(jié)論B成立，具備條件A就夠了。

定義2：如果沒(méi)有條件A，就沒(méi)有結(jié)論B成立，則A=〉B，那么就說(shuō)A對(duì)于B成立是必要的，A是B成立的必要條件。

對(duì)于問(wèn)題1，“擁有人民幣”或“身份證”只是買(mǎi)到機(jī)票的必要條件。同時(shí)擁有“人民幣”和“身份證”才是“買(mǎi)到機(jī)票”的充分條件。我們用通俗的語(yǔ)言引入充分條件和必要條件的定義，可以很好地幫助學(xué)生理解充分必要條件的要義。

問(wèn)題2：a、b、c是三角形的三條邊，要成為一個(gè)三角形，a、b、c應(yīng)滿(mǎn)足什么條件。

這實(shí)際上是要尋求一個(gè)充分必要條件?？紤]結(jié)論成立的幾個(gè)必要條件。

（A）a＞0，b＞0，c＞0；(B)a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a；(C)|a–b|＜c，|a–c|＜b，|b–c|＜a。（D）“以a、b、c為邊能組成一個(gè)三角形”是結(jié)論。

顯然，條件（A）對(duì)于結(jié)論(D)的成立是不夠的，必須加強(qiáng)。加上條件（B）(C)就能保證結(jié)論D的成立（這是三角形的基本性質(zhì)，學(xué)生不難理解）。因此，條件(A) +(B)+ (C)對(duì)于(D)成立是充分的。進(jìn)一步分析，這個(gè)條件是否多了？顯然，容易證明C=>B，C=>A。因此，條件(C)成立就能保證結(jié)論（D）成立。反過(guò)來(lái)，要使（D）成立，必須要（A）（B）(C)同時(shí)成立，缺少了（A）（B）(C)的任何一個(gè)條件都不能保證（D）成立。因此，（A）（B）(C)三個(gè)條件對(duì)于(D)成立是必不可少的，是必要條件。這就是說(shuō)，（C）是（D）成立的充分必要條件。

定義3：如果A=>B，又有B=>A，就說(shuō)A是B成立的充分必要條件。

例1：

1.x-1=0是x2-1=0的充分條件，但不是必要條件。因?yàn)閤=-1也能保證x2-1=0。

2.“四邊相等”是“一個(gè)四邊形是正方形”的必要條件，但不是充分條件，因?yàn)樗倪呄嗟鹊乃倪呅尾灰欢ㄊ钦叫危赡苁橇庑巍?/p>

3.“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”是“三好學(xué)生”的必要條件，但不是充分條件，因?yàn)橐蔀橐幻脤W(xué)生，必須德、智、體、美全面發(fā)展。

4.“b=0”是直線y=kb+b過(guò)原點(diǎn)的充分必要條件。

深刻理解充分必要條件，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是很有用的，從必要條件到充分條件是一種很好的數(shù)學(xué)思維方法，在解選擇題時(shí)用來(lái)否定選擇支，是一種很有效的辦法。

例2：

如右圖所示（A）∠BAC=90°，(B)AB=AE，AN⊥BE，DM⊥BE，(C)證明：MN=NC。

對(duì)于由（A）(B)=>C是容易證明的。只要延長(zhǎng)DA到F，使AD=DF，證明ΔAFC≌ΔABE。

假設(shè)條件（B）不變，由(C)能保證(A)為真嗎？

簡(jiǎn)單證明：

延長(zhǎng)DA到F，使DA=ADF，D在ΔBAC和ΔEAF中，∵AB=AC，AF=AD=AE，∴2∠ABC+2∠AFE=180°∴∠ABC+∠AFC=90°，∴FE⊥BC，又MN=NC，AF=AD，∴NA∥FC，∴BE⊥AC，∴E為三角形的垂心，∴CA⊥BF=>∠A90°。

這就是說(shuō)，在條件（B）不變的前提下，（A）和（C）是互為充分必要條件，在教學(xué)中采用這變換的方式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是很有效的。

例3：

已知M={(X Y)|y≥x２} N={(X Y)|x２+(y-a)２≤1}，那么要使M∩N=N成立的充分必要條件是（）

（A）a≥(B)a=(C)a≥1D)0

解：先考慮條件成熟的充分條件，把y=x2代入x2+(y-a)2＝1并化簡(jiǎn)得y2+(1-2a)y+a2-1=0，Δ=0，得a=。顯然a=能使1M∩N=N成立。所以（B）對(duì)于結(jié)論是充分條件。但不是必要條件，因?yàn)閍取不少于1frac14;均能使M∩N=N成立。故M∩N=N成立的必要條件是a≥。故選（A）。

例4：

a、b∈R-，且（a+1）(b+1)=2，那么arctga+arctgb=( )

(A) 1/2 （B）1/3 （C）1/4 （D）1/5

分析：

1.題目的已知部分，實(shí)際上給出了點(diǎn)集M＝{（a.b）|(a+1)(b+1)=2，(a、b∈R-}

2.題目的結(jié)論部分，是尋求一個(gè)恒成立的關(guān)系：arctga+arctgb=()，再考慮所給出的結(jié)論是否正確，這實(shí)際上是尋求M的充分條件來(lái)驗(yàn)證結(jié)論。假設(shè)（A）正確，取a=0，b=1，這時(shí)，arctga+arctgb=1/4.所以(A)被否定。同理可以否定（B）(D)，從而可以肯定（C）正確。

事實(shí)上，充分必要條件作為一種數(shù)學(xué)思想，或者說(shuō)數(shù)學(xué)方法，在解決很多推理性的數(shù)學(xué)問(wèn)題中都會(huì)用上。我們教師平時(shí)編制的練習(xí)，特別是一些證明題目，給出的條件和和要證明的結(jié)論很多是互為充分必要條件，或者所給出的條件是結(jié)論的充分條件。由此，我們?cè)谝粋€(gè)題目中，可以編制出很多同一知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)題目，這一思想對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維很有幫助。

（作者單位：廣東省肇慶市技師學(xué)院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文