希爾伯特第八問題
　　
　　希爾伯特第八問題是黎曼假說和“其他質(zhì)數(shù)問題”。黎曼假說（即關于ζ函數(shù)零點的分布的猜想）：ζ 函數(shù)的所有非平凡零點的實數(shù)部分都是1/2?！捌渌|(zhì)數(shù)問題”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一個大于 2的偶數(shù)，都可表示成兩個質(zhì)數(shù)之和（數(shù)學圈里稱其為 1+1，就是說可表示成一個質(zhì)數(shù)加另一個質(zhì)數(shù)）。
　　哥德巴赫猜想看上去真是很簡單，對任何一個比較小的偶數(shù)，似乎都不難把它寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。比如偶數(shù) 8 可表示成 3+5，3 和 5 是質(zhì)數(shù)；又如偶數(shù) 12 可表示成 5+7，5 和 7 是質(zhì)數(shù)等等。可要證明對任何一個大于 2 的偶數(shù)都能成立，卻比登天還難。對哥德巴赫猜想以及和它連在一起的一個名字——陳景潤（一九三三——一九九六），很多人可能并不陌生。在文化大革命剛剛結(jié)束的一九七八年，陳景潤可以說是家喻戶曉的超級明星，這在很大程度上是拜名作家徐遲的一篇報告文學《哥德巴赫猜想》（《人民文學》一九七八年一月號）所賜。文章發(fā)表后，一時間“洛陽紙貴”，各大報刊爭相轉(zhuǎn)載。陳景潤成為科學與獻身的代名詞，至于他究竟在哥德巴赫猜想上證明的是什么反而成了次要問題。其實陳景潤的這項工作在一九六六年五月就已經(jīng)完成了，只是由于“文革”正好在那年開始，沒辦法拿出來發(fā)表。他所證明的是（陳氏定理）：任何充分大的偶數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)與一個自然數(shù)之和，而后者最多僅僅是兩個質(zhì)數(shù)的乘積（即他證明了任何大偶數(shù)都可寫成一個質(zhì)數(shù)加不超過兩個質(zhì)數(shù)的乘積，所以稱為1+2）。陳氏定理看上去離證明哥德巴赫猜想只有一步之遙，可這最后一道坎時至今日也沒人能跨得過去。
　　有人將哥德巴赫猜想比做數(shù)學皇冠上的一顆明珠，但與黎曼假說相比，它的重要性終究還是略遜一籌。這主要是因為ζ函數(shù)與質(zhì)數(shù)的分布緊密相關，而質(zhì)數(shù)的分布不但在數(shù)論的研究中至關重要，在實際應用上也意義重大。特別是在密碼的加密與解密方面，比如公開金鑰加密的RSA算法就是以大質(zhì)數(shù)為基礎的。
　　黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866）在數(shù)學史上占有極重要的地位，是黎曼幾何學創(chuàng)始人及復變函數(shù)論創(chuàng)始人之一，對數(shù)學分析、微分幾何和微分方程都有重要貢獻。黎曼自上小學開始就被視為數(shù)學天才，校長專門派了一位老師教他數(shù)學。但是很快老師就發(fā)現(xiàn)，他從黎曼那兒學到的東西比他能教給黎曼的要多得多！在中學里，校長干脆讓黎曼到他的私人圖書室（那里有很多高深的數(shù)學專著）去自己找書看。有一次黎曼要求校長給他推薦一本難一點的書，為了試試黎曼的潛力，校長建議他去讀勒讓德（A.Legendre）的八百五十九頁的巨著《數(shù)論》。一星期后，黎曼把書還了回來，校長問他書是否太難，他回答說，非常高興校長給了一本能讓他讀了一星期之久的書。兩年后，黎曼請求學校以勒讓德的《數(shù)論》作為他畢業(yè)考試的一部分。盡管兩年來他從未再摸過這本書，卻對所有的問題對答如流。毫無疑問，《數(shù)論》對黎曼具有很大影響，使他對研究質(zhì)數(shù)的分布產(chǎn)生了濃厚的興趣。
　　提出黎曼假說的論文發(fā)表于一八五九年。為了闡述和解釋這篇僅僅八頁長的論文，愛德華茲（H.M.Edwards）寫了一部三百頁的專著《黎曼的ζ函數(shù)》(一九七四)。黎曼斷言ζ函數(shù)的所有非平凡零點的實數(shù)部分都是1/2。到目前為止，所有已知的十五億個非平凡零點（絕大部分是用計算機得到的）全部都與黎曼的猜想相吻合。
　　希爾伯特在一九二○年的一次演講中說，他認為演講廳里沒人能活到看見希爾伯特第七問題的解決，而他自己應該能活著看到黎曼假說被證明，大廳里最年輕的人則可能看到費爾馬大定理被證明。事實是，只有他對費爾馬大定理的預言是大體正確的——它于一九九四年被證明。其余兩個問題則和他的預言正好相反，他活著看到了第七問題的解決，而黎曼假說時至今日還是沒能被證明。
　　
　　希爾伯特第十三問題
　　
　　一般的七次方程式 x7 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 的七個解，是