概念是認識的起點，是思維的基本單位，如果沒有概念，這個世界將會陷入極度的混亂，交流會變得非常困難，概念會幫助我們很好地認識世界、有效地與他人交流。一直以來，概念教學(xué)都是教育學(xué)和心理學(xué)研究的主要問題之一。
　　以數(shù)學(xué)教學(xué)中的“方程”概念為例，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，學(xué)生對此概念記得很熟，但在做“某同學(xué)買了2塊橡皮，每塊花了X元，買1個筆記本花了6元，一共花去9元，問每塊橡皮幾元，請列出方程”的題目時，仍然列出了這樣的方程：（9-6）÷2=X。教師們發(fā)出困惑：我們清清楚楚地教了概念，學(xué)生也能熟練地誦讀，為什么一到應(yīng)用時就出問題？癥結(jié)在哪里？
　　癥結(jié)在哪里？這里涉及概念內(nèi)涵的豐富性問題。許多數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵往往是豐富的，要透徹理解一個概念需要多維度、多層次的感悟，經(jīng)歷概念形成的過程，不要指望靠背誦抽象的概念名詞就能掌握其內(nèi)涵。概念是對豐富多彩的現(xiàn)象世界的抽象，它是簡約的，但它反映的事物是多維的、立體的，對于抽象思維水平不高、經(jīng)驗閱歷有限的學(xué)生來說，就越需要從各個角度、不同層次加以認識。所以認識概念不僅要區(qū)分開概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，還面臨著概念本質(zhì)屬性如何豐富起來的問題。
　　通過對上例的分析發(fā)現(xiàn)，由于簡單的背誦，學(xué)生對“方程”的認識非常單薄，僅有兩個維度：含有未知數(shù)和有等號，所以會列出“（9-6）÷2=X”的方程。然而，方程的內(nèi)涵非常豐富，比如與四則運算的運算加工或普通等式比較，方程的一個屬性是“現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)描述，這種描述可以是已知量，也可以含有未知量”，也就是說，它是不經(jīng)過運算加工的數(shù)學(xué)問題，只是對問題情境的數(shù)學(xué)描述，同時揭示出它的另一個屬性：既可以用已知量進行描述，也可以用未知量進行描述。
　　那么怎樣才能成功地進行概念教學(xué)，讓概念豐富和立體起來呢？變異理論為我們提供了一個視角，它的提出者是世界著名教學(xué)論專家瑞典哥德堡大學(xué)的馬飛龍（又譯作“馬騰”）教授。
　　
　　一、以本學(xué)科常用的認識概念的基本維度為線索，多方面認識概念
　　
　　變異理論認為：“對于學(xué)習(xí)來說，一定數(shù)量的重復(fù)是絕對有必要的。但并不是說學(xué)習(xí)能從一成不變的簡單重復(fù)中產(chǎn)生。另一方面，我們也不認為學(xué)習(xí)能從毫無重復(fù)、變化無端中產(chǎn)生。學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變異?！儺惱碚摰幕居^點是，為了認識某個事物，就必須注意到91cMmNs5dRdw+VUDPP2Bl/3WrD7dEjPaFULFiXldsWc=這個事物與其他事物之間的不同?！盵1]
　　學(xué)習(xí)不能從一成不變的簡單重復(fù)中產(chǎn)生，讓學(xué)生把概念記熟、背誦，顯然不是學(xué)習(xí)的最佳選擇。學(xué)習(xí)也不能從毫無重復(fù)、變化無端中產(chǎn)生，所以讓學(xué)生每天面對陌生的學(xué)習(xí)內(nèi)容也不是最佳選擇。學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)地重復(fù)和變異，而要發(fā)現(xiàn)與其他事物之間的重復(fù)或不同，就必須首先進行比較。因此，變異理論的基本方法是對比。馬飛龍在他的另一篇文章中，引用了19世紀英國哲學(xué)家和神學(xué)家James Martineau的一段話，很好地說明了對比的分化力量：“先看一個象牙球，然后把它拿走，它會給我們留下一個內(nèi)在表征，其各方面特征同時存在，不能區(qū)分。接下來出現(xiàn)一個白球，這時，而不是剛才，通過對比的作用，一個因素即顏色，從球里分離出來，顯現(xiàn)到突出地位。再用一個雞蛋替換白球，這個新的差異會將形狀從沉睡狀態(tài)喚醒到我們的意識中。由此，對我們而言，最開始只是與某個背景相分離的一個物體，逐漸成為一個紅色的物體，再是一個紅色球體”。[2]對比使人注意到事物的變異，并通過變異把反映事物的維度（即上述引用中的因素如顏色、形狀）揭示出來。我們認為揭示出反映事物的維度是非常重要的，維度是支撐概念圖式的一個個支架，多一個維度，這個概念就更立體一些，這些維度有機聯(lián)系在一起，支撐起這個概念圖式?！八^‘客觀的現(xiàn)實’是如此難以接近，使人們有必要以圖式結(jié)構(gòu)來處理世界?！盵3]維度就是搭建概念圖式的框架，多一條維度，對概念的理解就多一條線索，維度越多，概念就越豐滿，接近“客觀的現(xiàn)實”的可能性就越大。
　　所以，變異理論認為，學(xué)習(xí)發(fā)生的最佳條件，感悟最容易發(fā)生的情境，是在進行比較、辨別的時候?！氨鎰e是指找出使一事物區(qū)別于其他事物的突出特征或關(guān)鍵差異。這些突出特征就是事物的變異維度，可以用來說明哪些是這個事物（正例）和哪些不是（反例）。因此，知覺學(xué)習(xí)就是找出突出特征或關(guān)鍵性的變異維度?！盵4]那么反過來是不是可以說，根據(jù)維度就容易找出突出特征或關(guān)鍵性的變異，也就是容易辨別概念呢？比如上例中，根據(jù)顏色、形狀等維度的情況，能否容易辨別、認識“紅色球體”這個概念呢？回答是肯定的，知道的維度越多，揭示出概念本質(zhì)屬性的可能性就越大。概念尤其是數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，這種抽象性往往掩蓋著它與具體事物的聯(lián)系，例如方程有多種屬性，其中既包括定義中揭示的“含有未知數(shù)的等式”兩個屬性，也包括定義中未揭示的屬性，這些未揭示的屬性是隱含的，如果學(xué)生們能認識到這些屬性，就可以通過在不同維度的比較中喚醒并使它們凸顯出來。比如從表達形式上看，方程是用數(shù)、符號等表示的相等關(guān)系；從算式表達形式的實質(zhì)上看，是兩個等價事件的不同表述用等號連接起來；從表述形式對數(shù)量關(guān)系加工程度上看，只是現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)描述而不是加工，這種描述可以是已知量，也可以含有未知量；從運算方式上看，方程是通過相等關(guān)系去尋找未知量的值，可以把未知量看做已知量參與列式和運算。上述四個維度的屬性體現(xiàn)了方程不同于普通等式的特別之處，如果沒有對這些維度的比較，概念的內(nèi)涵就不會被學(xué)生所認識。可以說，沒有在各個維度上的比較就不會有特性，也就不會認識到概念內(nèi)涵的豐富性。
　　所以在概念教學(xué)中，除了準確認識定義中揭示的本質(zhì)屬性外，還應(yīng)該在概念其他維度的情況上，特別是在那些反復(fù)出現(xiàn)、具有一般性的學(xué)科基礎(chǔ)維度方面，通過比較加以多維度的認識，以揭示出隱含在其中的屬性。比如數(shù)學(xué)學(xué)科概念的基本維度：表達什么數(shù)量關(guān)系，運算特點是什么，要解決什么問題，有什么應(yīng)用，幾何意義是什么等。上述的方程屬性就是在方程的表達形式、表述內(nèi)容、運算方法、組成要素等幾個維度上的情況。建議教師們要搜集、整理本學(xué)科常用的概念基本維度，在教學(xué)時從這些維度多方面加以認識。概念在多維度上的屬性之間不是孤立的，而是具有邏輯性的。在日常生活中，我們常根據(jù)事物的各種可能性關(guān)系對它們進行認識，試圖通過推理將各個方面聯(lián)系起來，克服在初識概念時受表面知覺的局限，而更關(guān)注其內(nèi)在的本質(zhì)。所以對于某個維度的屬性，還可以利用因果關(guān)系或等級關(guān)系對此屬性進行分析推理以得到新的屬性，使學(xué)生對概念的認識逐漸豐富、立體起來。
　　
　　二、以學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)為依托，提高豐富概念的效率
　　
　　對概念這種立體、多維的認識需要較長時間才能達到，因此比較高效率的方式是從學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)里構(gòu)建的概念體系中加以認識。在學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，存在著概念圖，將有關(guān)某一主題按照上位、下位、平等級別的概念連接，形成關(guān)于該主題的概念網(wǎng)絡(luò)，它反映著學(xué)習(xí)者現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)。奧蘇貝爾認為，新概念的學(xué)習(xí)是在原有概念的基礎(chǔ)上，形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程。原有認知結(jié)構(gòu)對新的學(xué)習(xí)始終是一個最關(guān)鍵的因素：一切新的學(xué)習(xí)都是在過去學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，所以用舊概念常常能表征新概念。為什么呢？用變異理論解釋就是：知覺學(xué)習(xí)就是找出突出特征或關(guān)鍵性的變異維度。但“識別的條件是什么呢？鮑頓和馬飛龍指出，當(dāng)某個現(xiàn)象或某個事物的一個方面發(fā)生變化，而另外一些方面保持不變時，變化的方面就會被識別出來。”[5]新概念與學(xué)生概念圖中的舊概念比較，新概念脫胎于它們，繼承了它們的許多屬性，在很多方面（或維度）是不變的，只是在幾個方面變化（但是通過一個一個方面的變化聚合起來），符合容易識別的條件。所以，在掌握舊概念的基礎(chǔ)上，識別了變化的方面，就抓住了新概念的本質(zhì)屬性；把舊概念變化的方面說出來，就表征了新概念。
　　
　　學(xué)生已經(jīng)掌握了的舊概念，在學(xué)生的大腦中已經(jīng)形成了系統(tǒng)的體系，在學(xué)生眼里它們是理所當(dāng)然的，隱含著除定義外經(jīng)過推理、聯(lián)系得到的許多屬性，相對于沒有掌握的概念，它們是立體的、多維的、形象生動的、豐富多彩的。因此新概念的掌握除關(guān)注與舊概念發(fā)生變化的維度外，還要關(guān)注與舊概念相同的維度，它們可以快速使新概念的屬性豐富起來。例如方程的上位概念是等式，平位概念是不含未知數(shù)的等式，理解方程時等式的許多維度如目的、意義、運算法則等對方程同樣適用。而與平位概念加以對比，也可以使新概念的維度豐富起來?！耙粋€單詞的含義不僅來自它所指的事物，或它之前或之后搭配的詞，而且可以來自它能替換的詞。例如‘棕色’的含義可以通過不是紅色、藍色，也不是黃色來解釋。疑問句的含義也可以部分地理解為既不是陳述句，也不是祈使句或感嘆句。語言是一個系統(tǒng)，我們運用其某些組成部分的時候，整個系統(tǒng)就會出現(xiàn)在我們的意識中并產(chǎn)生一定的意義”[6]。所以方程與它的平位概念“不含未知數(shù)的等式”比較，其諸多屬性便顯示出來：它與數(shù)量的關(guān)系不是加工數(shù)量的關(guān)系，而是描述、運算的順序；它不是順運算，而是逆運算、算理的表達；它不是逆向推理，而是正向推理等。
　　在學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，不僅有共時性的對比，而且有歷時性的對比，通過在不同維度上的對比，不僅從結(jié)構(gòu)的共時性中尋找概念之間的關(guān)聯(lián)，而且還應(yīng)該從結(jié)構(gòu)的歷時性中尋找它們之間的邏輯?！皼]有接觸過關(guān)于同一現(xiàn)象的另一種理論，我們（如果不是不可能）就很難理解一種理論……但這同時意味著我們不可能理解首次遇到的理論。于是，有人提出應(yīng)將科學(xué)史作為科學(xué)課程的組成部分”，“因此，因為有對比（很多時候是互相對立），學(xué)習(xí)亞里士多德關(guān)于力與運動關(guān)系的學(xué)說可以促進對牛頓相關(guān)觀點的理解；學(xué)習(xí)笛卡兒對重力的解釋有助于學(xué)生理解牛頓的重力學(xué)說；絕對的時空觀可以揭示相對論的含義；地心說可以促進對日心說的理解”[7]?？疾炜茖W(xué)史可以知道，人類認識一個新概念或新結(jié)論，總是在實踐中感到原有的概念或結(jié)論的不足，在個別的具體實踐中，對其中數(shù)量關(guān)系、空間形式產(chǎn)生了本質(zhì)的、一般性的認識，并能用來解決新問題，便提出新概念或新結(jié)論。課堂教學(xué)顯然不能一成不變地重復(fù)那漫長而曲折的歷史過程，但對于那些至關(guān)重要的概念，可以把人類發(fā)現(xiàn)這個概念的過程濃縮加工后呈現(xiàn)給學(xué)生，這等于為學(xué)生認識新概念提供了多維度的信息：它產(chǎn)生的前提、價值、意義、適用范圍等；它們邏輯性地聯(lián)系在一起，成為新概念的隱含屬性，并為以后產(chǎn)生新的概念屬性打下邏輯基礎(chǔ)。“基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)有四個層次：（1）數(shù)及其運算（即算術(shù)）；（2）式及其運算（包括因式分解、配方變形、合并同類項等）；（3）式與變量的數(shù)學(xué)（函數(shù)可以說是兩個之間的一個特殊關(guān)系式）；（4）極限運算下的變量數(shù)學(xué)（即微積分）。在這四個層次中，方程起到了紐帶的作用。方程基于“式的運算”，又為函數(shù)概念打基礎(chǔ)。方程是通向“未知的隧道”……實際上，方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，而在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系。也就是說，學(xué)習(xí)方程，目的是求未知數(shù)，方法是“拉關(guān)系”，具體策略是通過等式變換進行“還原與對消”。這符合“代數(shù)學(xué)”的本意是“還原和對消的科學(xué)”，也就是要把淹沒在方程中的未知數(shù)暴露出來，還原x的本來面目。這好比要結(jié)識朋友，就得通過別人介紹，借助中介關(guān)系，如此而已。[8]
　　三、在優(yōu)化的教學(xué)情境中豐富概念
　　學(xué)生在建構(gòu)一個概念的心理表征時，既有可以用語言表達的語言維度的屬性，又有難以用語言表達的非語言維度的屬性，而且，非語言屬性遠遠多于語言屬性。當(dāng)學(xué)生完成對某個概念的建構(gòu)時，其語言屬性的表征僅僅是可以表達出來的外部形式，而不能以外部形式表達出來的非語言屬性的表征則與語言表征緊密聯(lián)系，并給予語言表征有力的支撐。在概念的理解中，語言和非語言表征同樣重要。在對客體的主動活動中，主體在獲得語言表征的同時，還可獲得情節(jié)屬性的表征和動作屬性的表征。語言表征是活動中經(jīng)驗的抽象與概括。情節(jié)表征是活動中的視覺映象或其他映象，動作表征則是行動中獲得的直接體驗。通過這些語言、動作、情節(jié)屬性表征的建立，豐富復(fù)雜的概念心理表征就獲得了。如果只有語言屬性的表征，而沒有非語言屬性的表征，那么認識必定是機械的、單調(diào)的、不完整的。單純的語言符號概念教學(xué)，情節(jié)維度的屬性和動作維度的屬性是非常有限的，所以情境教學(xué)不失為一條有效的彌補途徑?！敖?jīng)過教師的選擇、設(shè)計、整理和條理化，作為蘊涵特定概念的優(yōu)化的情境，其實是幫助學(xué)生以結(jié)構(gòu)化的方式理解世界的主要途徑”。[9]
　　“偵察員在破案現(xiàn)場量得嫌疑人的鞋印長度為27厘米。資料顯示：成人腳長約是身高的1／7，是鞋長的8／9，嫌疑人身高大約是多少？用方程解決這個問題，學(xué)生可以經(jīng)歷下面的過程：（1）找一個相等關(guān)系：腳長=腳長。（2）等價事件的不同表達：用X 厘米表示身高，腳長=（符號表達），用鞋長表示的腳長=27×。（3）用語言表達相等關(guān)系：用身高表示的腳長=用鞋長表示的腳長。（4）用數(shù)學(xué)符號表達相等關(guān)系：X=27×。（5）解方程求出未知數(shù)的值：X=168?！盵10]
　　在這個情境中的方程里，學(xué)生可以得到關(guān)于方程的許多視覺映象和動作映象，使方程的“相等關(guān)系”、“等價事件”等這些抽象維度頓時鮮活生動起來。而且一些無法用詞語表達的屬性也以動態(tài)的映象貯存在頭腦中，學(xué)生通過情境提供的各種刺激和信息，充分利用情節(jié)、動作、語言維度所提供的意象蒙太奇，形成自己對概念的多維度的、立體的、生動的理解。
　　學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變異，概念學(xué)習(xí)也同樣如此，通過重復(fù)中的變異，認識到概念蘊涵的一個個維度。這些維度都包含了獨特的屬性，它們有機地、邏輯地聯(lián)系在一起，建構(gòu)起了立體的、豐富的概念內(nèi)容。
　　
　　參考文獻：
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