韓林，劉斌

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 泉州 362021）

基于彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型的三角網(wǎng)格曲面展開(kāi)算法及其應(yīng)用

韓林，劉斌

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 泉州 362021）

提出一種自調(diào)整初始展開(kāi)方法，對(duì)基于彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型的展開(kāi)優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，保證其初始展開(kāi)平面的拓?fù)渫暾?.同時(shí)，為了防止模型迭代發(fā)散，采用對(duì)能量釋放前后誤差進(jìn)行判斷的方法，有效地遏制算法的發(fā)散.最后，將算法應(yīng)用于制造領(lǐng)域，試驗(yàn)結(jié)果表明算法可取得較高質(zhì)量的展開(kāi)平面.

彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型；自調(diào)整；初始展開(kāi)；三角網(wǎng)格

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制造領(lǐng)域中，許多產(chǎn)品的外形為數(shù)學(xué)意義上的不可展曲面（高斯曲率K≠0），例如船舶、汽車(chē)、飛機(jī)的外殼，鞋幫面和服裝等，但為了設(shè)計(jì)和制造產(chǎn)品，通常需要得到具有復(fù)雜三維曲面產(chǎn)品的二維展平外形圖.在計(jì)算機(jī)圖形（computer graphics，CG）領(lǐng)域中，由于曲面本身的復(fù)雜性，對(duì)曲面的某些操作需要借助曲面的二維展開(kāi)結(jié)果來(lái)實(shí)現(xiàn)，如曲面參數(shù)化、紋理映射等.因此，對(duì)三維曲面的二維展開(kāi)研究，具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值.自20世紀(jì)80年代以來(lái)，曲面展開(kāi)一直是CAD＆CG領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者針對(duì)不同應(yīng)用領(lǐng)域，采用不同的展開(kāi)方法進(jìn)行了一系列的研究.在眾多展開(kāi)方法中，幾何展平法以其變形小、計(jì)算高效（無(wú)需求解大量線(xiàn)性方程組）等優(yōu)點(diǎn)，受到產(chǎn)品設(shè)計(jì)領(lǐng)域研究人員的青睞.Sorkine等［1］給出了由種子三角形開(kāi)始，逐個(gè)展開(kāi)曲面上三角形的方法；王昌凌等［2］給出了類(lèi)似的方法；陳功等［3］也采用類(lèi)似方法并進(jìn)行改進(jìn) .針對(duì)能量釋放中的時(shí)間步長(zhǎng)，嚴(yán)國(guó)彪等［4］提出了一種調(diào)整式.上述方法雖然解決了大部分曲面展開(kāi)問(wèn)題，但是對(duì)表面曲率變化較大的復(fù)雜曲面進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，仍存在一些問(wèn)題，如初始幾何展開(kāi)時(shí)，由于大量三角片的約束展開(kāi)，出現(xiàn)構(gòu)不成三角網(wǎng)格的情況；對(duì)初始展開(kāi)平面利用彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行力學(xué)修正時(shí)，出現(xiàn)震蕩發(fā)散現(xiàn)象，等等.基于此，本文提出一種自調(diào)整初始展開(kāi)方法，使算法更加健壯有效，并在進(jìn)行能量釋放時(shí)，運(yùn)用誤差對(duì)比，遏制算法的發(fā)散.

1 曲面展開(kāi)的彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型

1.1 建立模型

非可展曲面到平面的近似展開(kāi)可歸納為一個(gè)無(wú)約束的極值問(wèn)題［5］.其基本思想是保持展開(kāi)前后曲面上所有網(wǎng)格點(diǎn)之間距離變化最小，即將已知的曲面劃分成網(wǎng)格，將三維的網(wǎng)格點(diǎn)映射到二維平面上，實(shí)現(xiàn)近似展開(kāi).在初始幾何展開(kāi)的基礎(chǔ)上建立彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型，進(jìn)行能量釋放，該過(guò)程符合并展現(xiàn)了極值展開(kāi)的這一基本思想.

三維網(wǎng)格曲面初始展開(kāi)后，得到二維的三角網(wǎng)格平面，據(jù)此可以建立彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型，將網(wǎng)格上的點(diǎn)作為質(zhì)點(diǎn)，邊作為彈簧 .圖1為P0與其一環(huán)鄰域的原始相對(duì)位置及變形后的受力情形 .圖1中：P0為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)P0和其他點(diǎn)之間的連接邊視為彈簧.由于不可展曲面的初始展開(kāi)存在變形，初始展開(kāi)后P0與其一環(huán)鄰域的相對(duì)位置如圖1（b）所示，那么與P0相連的邊，由于變形（被壓縮或拉伸）而存儲(chǔ)能量.

在曲面展開(kāi)成平面的過(guò)程中，如果平面網(wǎng)格中的邊比對(duì)應(yīng)的空間網(wǎng)格邊長(zhǎng)，則對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生拉力（圖1（b）中P1，P2，P5，P6對(duì)P0產(chǎn)生拉力）；反之，則施以推力（圖1（b）中P3，P4對(duì)P0產(chǎn)生推力）.質(zhì)點(diǎn)P0在彈簧力的作用下向所受力的合力方向移動(dòng)，最終會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的最優(yōu)狀態(tài).

在彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型中，系統(tǒng)的物理量與幾何量相對(duì)應(yīng)，如力、彈性變形能及質(zhì)量、面密度是由網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)間的距離和三角片的面積確定的.由于能量是狀態(tài)的單值函數(shù)，與過(guò)程無(wú)關(guān)，所以能量的關(guān)系式比較容易列出.定義質(zhì)點(diǎn)Pi的彈性變形能與彈性力為

圖1 質(zhì)點(diǎn)P0的受力情況Fig.1 Stress in the particle P0

式（1）中：C為彈簧彈性變形系數(shù)；｜PiPj｜為曲面展開(kāi)后的平面上Pi到Pj的距離；dj為空間曲面上的Pi到Pj的距離；nPiPj是從Pi指向Pj的單位矢量；n為質(zhì)點(diǎn)Pi相鄰的質(zhì)點(diǎn)數(shù).

在曲面展開(kāi)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以用拉格朗日方程來(lái)描述，即

式（2）中：M，D和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；gq為局部自由度與全局自由度之差引起的系統(tǒng)內(nèi)力；fq為系統(tǒng)外力.

在彈簧－質(zhì)系統(tǒng)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間間隔Δt很小，質(zhì)點(diǎn)Pi的加速度可被認(rèn)為是常量，則整個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)處于平衡 .利用歐拉法求解拉格朗日方程，可得到

式（3）中：mi是節(jié)點(diǎn)Pi的質(zhì)量；ζ是曲面的面密度；fi（t）是作用在節(jié)點(diǎn)Pi上的彈性力；Ak是包含節(jié)點(diǎn)Pi的所有三角形中第k 個(gè)三角形的面積；¨q（t）是節(jié)點(diǎn)Pi的加速度；˙q（t）是節(jié)點(diǎn)Pi的速度；qi（t）是節(jié)點(diǎn)Pi在時(shí)間t的位置.這里，面密度ζ并非真正意義上的曲面面密度，在多數(shù)基于物理的模型中，ζ和C 只是使變形更為有效的參數(shù)［6］.

1.2 算法中的誤差及評(píng)判準(zhǔn)則

一般采用面積誤差、邊長(zhǎng)誤差和角度誤差作為展開(kāi)精度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn).本文的誤差計(jì)算方法主要為面積誤差和邊長(zhǎng)誤差，計(jì)算式如下

式（4）中：ES，EC分別為相對(duì)面積誤差和相對(duì)邊長(zhǎng)誤差；A，A′分別是曲面片展開(kāi)前的實(shí)際面積和展開(kāi)后所對(duì)應(yīng)的面積；L，L′分別為曲面展開(kāi)前網(wǎng)格的邊長(zhǎng)實(shí)際長(zhǎng)度和展開(kāi)后網(wǎng)格的邊長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度.

2 網(wǎng)格曲面展開(kāi)算法及其改進(jìn)

2.1 曲面網(wǎng)格的初始展開(kāi)

利用三角形法對(duì)曲面三角網(wǎng)格進(jìn)行初始展開(kāi) .首先，從網(wǎng)格曲面上選取第1個(gè)三角片，該三角片稱(chēng)為基三角片，將其不變形地展開(kāi)到平面上；其次，以展開(kāi)的三角片為基礎(chǔ)，將其相鄰的三角片依次展開(kāi)，直到全部展開(kāi)到平面上.此展開(kāi)過(guò)程中，三角片展開(kāi)分為約束三角片展開(kāi)和無(wú)約束三角片展開(kāi).

大量實(shí)驗(yàn)表明，基三角片的位置選取對(duì)初始展開(kāi)的質(zhì)量具有重要影響［7］，文中采用文獻(xiàn)［3］中所述方法，將基三角片選在網(wǎng)格中心.

2.1.1 無(wú)約束三角片展開(kāi) 圖2為無(wú)約束三角片展開(kāi).假定在網(wǎng)格曲面上，T是與T1相鄰的三角片，Q1Q2是它們的公共邊.設(shè)三角片T1已經(jīng)展開(kāi)到二維平面上，而三角片T還未展開(kāi)，即T的兩個(gè)點(diǎn)Q1和Q2的位置已經(jīng)在二維平面確定（即2（b）中的P1和P2）.此時(shí)，三角片T上的第3點(diǎn)Q3可以由兩個(gè)圓的交點(diǎn)來(lái)確定，這兩圓分別以P1和P2為圓心，以r1，3和r2，3為半徑.r1，3和r2，3分別是三維網(wǎng)格中Q1Q3和Q2Q3的歐氏距離.

圖2（b）中的陰影三角片表示已經(jīng)展開(kāi).當(dāng)曲面是可展曲面時(shí)，三角片T在二維平面所確定的P3的位置，與其他包含點(diǎn)P3的三角片在二維平面所確定的位置一致，即不發(fā)生變形扭曲；當(dāng)曲面是不可展曲面時(shí)，點(diǎn)位置有可能不一致，這時(shí)候就會(huì)有層疊和裂縫的現(xiàn)象產(chǎn)生 .因此，為保證拓?fù)渫暾毑捎眉s束三角片展開(kāi).

2.1.2 約束三角片展開(kāi) 圖3為約束三角片展開(kāi) .在圖3（a）中，三角片T與己經(jīng)展平的三角片T1和T2都有共邊時(shí)，由T2決定的Q3在二維平面上的位置為P′3，如圖3（b）所示（陰影部分表示已經(jīng)展開(kāi)的三角片）.如果采用無(wú)約束的三角片展開(kāi)方法，那么由三角片T產(chǎn)生的兩圓的交點(diǎn)將為另一位置P″3，此時(shí)，可用一個(gè)平均位置來(lái)初步解決這種矛盾，從而產(chǎn)生Q3在平面上的唯一位置.此方法可以保證三維曲面上的點(diǎn)到二維平面上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，但是會(huì)導(dǎo)致三角片的扭曲變形而產(chǎn)生誤差.

圖2 無(wú)約束三角片展開(kāi)Fig.2 Unconstrained triangle flattening

圖3 約束三角片展開(kāi)Fig.3 Constrained triangle flattening

2.1.3 自調(diào)整方法 由于約束三角片展開(kāi)方法的大量使用，可能會(huì)出現(xiàn)從空間三角片取出的對(duì)應(yīng)兩邊邊長(zhǎng)與已經(jīng)展開(kāi)的當(dāng)前邊的長(zhǎng)度構(gòu)不成三角形的情形.因此，針對(duì)此類(lèi)情況，需要進(jìn)行自調(diào)整，以保證拓?fù)渫暾?由約束三角片展開(kāi)逐漸積累的誤差，往往會(huì)導(dǎo)致展開(kāi)的中斷.誤差中斷的原因是｜P1P2｜＞r1＋r2或者｜P1P2｜＜｜r1－r2｜.此時(shí)3個(gè)長(zhǎng)度不能構(gòu)成三角形，也就無(wú)法通過(guò)交點(diǎn)計(jì)算出第3點(diǎn)的位置 .為了得到第3點(diǎn)，提出了一種簡(jiǎn)單有效的自調(diào)整方法，如圖4所示.

圖4 自調(diào)整展開(kāi)Fig.4 Self－adjustment flattening

設(shè)Q1和Q2為空間曲面網(wǎng)格上同一個(gè)三角片上的兩點(diǎn)，P1和P2分別為Q1和Q2在二維展開(kāi)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)Q3是該三角片的第3點(diǎn)，r1和r2分別為Q1和Q2到Q3的歐氏距離，如圖4（d）所示.由于誤差的積累，展平到平面上的P1P2已經(jīng)嚴(yán)重變形，如果仍然以r1和r2做為半徑，利用圓弧求交尋找第3點(diǎn)，則必然導(dǎo)致失敗，因?yàn)椴粷M(mǎn)足構(gòu)成三角的條件；如果試圖改變P1P2的長(zhǎng)度，就會(huì)影響到其他已經(jīng)展開(kāi)的三角片，從而引入更多誤差，得不償失.在保證點(diǎn)P1和P2位置不變的前提下，提出一種自動(dòng)調(diào)整第3點(diǎn)P3的方法并提出調(diào)整因子、虛擬邊長(zhǎng)等概念 .調(diào)整計(jì)算式為

式（5），（6）中：l稱(chēng)為調(diào)整因子；r＇i為虛擬邊長(zhǎng)（圖1（d）中的虛線(xiàn)）.

根據(jù)三角形相似的原理，通過(guò)調(diào)整后構(gòu)成的三角形與原三角形相似，必然可以構(gòu)成三角形 .此時(shí)，以Pi為圓心，以r＇1為半徑，就可確定第3點(diǎn)的位置，圖4（e）是用上述方法處理的結(jié)果.當(dāng)｜P1P2｜＞r1＋r2時(shí)，l∈（1，＋∞）；當(dāng)｜P1P2｜＜｜r1－r2｜時(shí)，l∈（0，1）.由于自調(diào)整方法所使用的量都可以在計(jì)算三角片的第3點(diǎn)時(shí)得到，因此，不增加算法的時(shí)間復(fù)雜度.經(jīng)自調(diào)整之后雖然可以獲得第3點(diǎn)的位置，但是引起了三角片一定比例變形，這些變形將產(chǎn)生彈性能量，對(duì)此可以建立彈簧－質(zhì)點(diǎn)模型，進(jìn)行能量的釋放.

2.2 彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型的能量釋放

曲面上所有網(wǎng)格化三角形是根據(jù)上述方法展開(kāi)為平面三角形后，得到曲面的初始展開(kāi)平面網(wǎng)格.由式（1）～（3），即可根據(jù)各質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前時(shí)刻的速度、位置、受力等迭代計(jì)算出下一時(shí)刻的各質(zhì)點(diǎn)的加速度、速度、位置等信息，而循環(huán)終止的條件則是達(dá)到曲面展開(kāi)的誤差閾值或者迭代次數(shù)達(dá)到了系統(tǒng)設(shè)定的最大值.用式（1）計(jì)算三角網(wǎng)格上的每個(gè)點(diǎn)的能量，通過(guò)釋放能量來(lái)改善展開(kāi)的平面.如果整張展開(kāi)網(wǎng)格曲面m個(gè)離散點(diǎn)，則所有離散點(diǎn)的展開(kāi)變形能為

該值的大小反映曲面整體展開(kāi)變形程度.為了減小展開(kāi)的變形，需要能最大程度地減小變形能，進(jìn)行變形能的釋放.大部分情況下，算法是收斂的，但是，當(dāng)三角網(wǎng)格劃分的質(zhì)量不佳時(shí)，容易造成算法的發(fā)散.

針對(duì)發(fā)散問(wèn)題，采用了一種遏制發(fā)散的方法.該方法通過(guò)每次能量釋放后，計(jì)算相對(duì)誤差（相對(duì)面積誤差和相對(duì)邊長(zhǎng)誤差），記錄當(dāng)前誤差值（ES＋EC），并和前一次的誤差值（ES＋EC）＇進(jìn)行比較，如果（ES＋EC）＜（ES＋EC）＇，表明變形能正在釋放，算法目前是收斂的；如果（ES＋EC）＞（ES＋ES）＇，并且記錄次數(shù)n.當(dāng)大于設(shè)定的次數(shù)時(shí)，表明正在發(fā)散，結(jié)束能量釋放.

2.3 曲面展開(kāi)的算法流程

曲面展開(kāi)的算法流程圖，如圖5所示.算法有如下7個(gè)主要步驟.

（1）建立3個(gè)集合V，A和F.V為包含所有尚未展開(kāi)的曲面三角形的集合；A為有序活動(dòng)集合，即從集合V中挑選出來(lái)的三角形集合，這些三角形是與已展開(kāi)三角形共邊而將要被展開(kāi)的三角形；F為所有已展開(kāi)到二維平面的三角形集合.對(duì)這3個(gè)集合進(jìn)行初始化，把所有要展開(kāi)的空間三角形添加到集合V中，置集合A和F為空.

（2）從V 集中選擇展開(kāi)基三角形T0.一般在曲面的對(duì)稱(chēng)中心或曲率較大的部位選擇該三角面片；然后，將該三角面片無(wú)約束展開(kāi)在平面上任意位置，并將該基三角形從V 中刪除，直接加入到F中.

圖5 曲面展開(kāi)的算法流程圖Fig.5 Algorithm flowchart of surface flattening

（3）在V集中尋找與基本三角形T0共邊的所有三角形｛Ti｝，將這些三角形加入到A集中，并從V中減去這些三角形.

（4）判斷A集是否為空.如果不為空，則從A集中取出下一個(gè)三角形Tj，并按步驟（5）或步驟（6）的方法展開(kāi)；如果A集為空則判斷V 集是否為空，如果V 集為空則轉(zhuǎn)到步驟（7）執(zhí)行，否則轉(zhuǎn)到步驟（3）執(zhí)行.

（5）如果計(jì)算的第3點(diǎn)可以構(gòu)成三角形 （其余兩點(diǎn)已在展開(kāi)集F的某個(gè)三角形中），此時(shí)采用普通展開(kāi)方法，并將三角形Ti加入到展開(kāi)集F 中，從A中減去Ti，轉(zhuǎn)到步驟（4）.

（6）如果計(jì)算的第3點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則采用自調(diào)整展開(kāi)方法，調(diào)整后將三角形Ti加入到展開(kāi)集F 中，從A中減去，然后轉(zhuǎn)到步驟（4）.

（7）進(jìn)行能量的釋放，并計(jì)算面積誤差ES，邊長(zhǎng)誤差EC和所有離散點(diǎn)的展開(kāi)變形能E（φ）.令當(dāng)前的誤差值和前一次的誤差值比較，判斷是否發(fā)散，同時(shí)判斷它們的值是否是在閥值內(nèi)，若誤差都小于閥值或者迭代發(fā)散，則結(jié)束；若大于閥值且不發(fā)散，則回到步驟（3）重新進(jìn)行能量釋放，直到超過(guò)迭代次數(shù)N為止.

3 曲面展開(kāi)的應(yīng)用

在皮鞋生產(chǎn)過(guò)程中，為了確定縫制三維鞋幫曲面所需的二維材料的輪廓，包括直接從鞋楦設(shè)計(jì)中取得的曲面還原成符合質(zhì)量要求，可以直接投入批量生產(chǎn)的二維鞋樣，都需要用到曲面展開(kāi)的方法.將上述三維曲面的展平算法應(yīng)用于楦面展平中，結(jié)果如圖6所示.該曲面的頂點(diǎn)數(shù)是1 139個(gè)，三角片個(gè)數(shù)是2 129，采取改進(jìn)算法后，其面積誤差為0.041 4，邊長(zhǎng)誤差為0.006 3，基本符合精度要求.

圖6 曲面展開(kāi)技術(shù)應(yīng)用于鞋幫設(shè)計(jì)Fig.6 Application of surface flattening technology in shoe pattern design

在板料成形中，預(yù)估坯料是縮短設(shè)計(jì)與生產(chǎn)周期的關(guān)鍵步驟之一.因此，將曲面展開(kāi)算法應(yīng)用于板料拉延成形中的坯料預(yù)估，如圖7所示.該曲面頂點(diǎn)數(shù)是757個(gè)，三角片個(gè)數(shù)是1 146，采取改進(jìn)算法后，其面積誤差為0.056 2，邊長(zhǎng)誤差為0.040 7，平均相對(duì)誤差為0.048.用商業(yè)軟件DYNAFORM對(duì)該模型進(jìn)行模擬展開(kāi)，相對(duì)誤差是0.034 0.表明，改進(jìn)算法基本實(shí)現(xiàn)了板料成型毛坯料的快速估計(jì).

圖7 曲面展開(kāi)技術(shù)應(yīng)用于坯料預(yù)估Fig.7 Application of surface flattening technology in prediction of the blank shape

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)幾何展開(kāi)／力學(xué)修正的曲面展開(kāi)算法中存在的不足，提出一種新的改進(jìn)算法，并將算法應(yīng)用于某些制造領(lǐng)域 .試驗(yàn)結(jié)果表明，算法可取得較高質(zhì)量的展開(kāi)平面.該算法不僅可以適用于可展曲面的展開(kāi)，對(duì)于復(fù)雜不可展曲面也可實(shí)現(xiàn)較高精度的展開(kāi)，具有較強(qiáng)的通用性.

［1］SORKINE O，COHEN－OR D，GOLDENTHAL R，et al.Bounded－distortion piecewise mesh parameterization［C］∥Proceedings of the IEEE Visualization Conference.Boston：IEEE，2002.

［2］王弘，王昌凌.基于能量模型的曲面展開(kāi)通用算法［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2001，13（6）：556－560.

［3］陳功，周來(lái)水，安魯陵，等.一種通用的復(fù)雜曲面展開(kāi)方法研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2007，18（24）：2914－2920.

［4］嚴(yán)國(guó)彪，劉斌.一種基于能量模型的曲面展開(kāi)改進(jìn)算法［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，32（2）：135－139.

［5］蘇步青，華宣積，忻元龍.實(shí)用微分幾何引論［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［6］WANG C C L，SMITH S S F，YUEN M M F.Surface flattening based on energy model［J］.CAD Computer Aided Design，2002，34（11）：823－833.

［7］毛昕，毛普元，孫靜.自由曲面最佳展開(kāi)基點(diǎn)的幾何屬性［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29（2）：98－103.

［8］張敬濤，楊光，任海英.曲面展平算法在鞋樣設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28（3）：13－17.

［9］毛國(guó)棟，孫炳楠，徐浩祥.基于彈簧－質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的薄膜結(jié)構(gòu)曲面展開(kāi)算法［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2005，39（8）：1238－1242.

［10］雷軍鵬.一種基于能量法的自由曲面展開(kāi)算法［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2007（4）：28－30.

An Algorithm of Triangular Mesh Surface Flattening Based on Spring－Mass Model and Its Application

HAN Lin，LIU Bin
（College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

To improve the algorithm of surface flattening optimization based on the spring－mass model，this paper presents a self－adjustment initial flattening method，which could retain topological completeness of initial flattening plane.Meanwhile，in order to avoid the divergence of the model iterations，the method is used in which the errors before and after the energy releasing are determined，to eliminate effectively the divergence of the algorithm.Finally the algorithm is applied in the field of manufacturing industry and the results have shown that the flattening plane with higher quality can be obtained using the algorithm.

spring－mass model；self－adjustment；initial flattening；triangular mesh

黃曉楠 英文審校：鄭亞青）

TP 391

A

1000－5013（2011）06－0601－06

2011－04－22

劉斌（1972－），男，副教授，主要從事數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的研究.E－mail：mold＿bin＠hqu.edu.cn.

福建省科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目（2009H0032）